Commutatore (matematica)

Per commutatore, in matematica, si intende una composizione di due elementi di una struttura algebrica, riferita a un'operazione binaria che fornisce un terzo elemento diverso dall'elemento neutro quando i due elementi dati non soddisfano la proprietà commutativa. I commutatori sono ampiamente usati nella teoria dei gruppi, nella teoria degli anelli, nelle algebre di Lie. Nella meccanica quantistica sono usati per formulare il principio di indeterminazione.

L'anticommutatore è un operatore usato specialmente in meccanica quantistica che prende in ingresso due operatori. L'anticommutatore tra $a$ e $b$ è definito come:

$\{a,b\}=ab+ba.$

Teoria dei gruppi

Definizione

Sia $G$ un gruppo la cui unità denotiamo con $e$. Il commutatore di due elementi $a$ e $b$ del gruppo è l'elemento

$[a,b]:=a^{-1}b^{-1}ab.$

Proprietà

Si dice che due elementi $a$ e $b$ del gruppo $G$ commutano quando $ab=ba$. Questo accade se e solo se il loro commutatore è l'unità:

$[a,b]=e.$

Sottogruppo commutatore

Il sottogruppo generato da tutti i commutatori di $G$ è detto sottogruppo dei commutatori o sottogruppo derivato di $G$, e spesso si indica con $[G,G]$ (o anche $K(G)$). Gli elementi di $[G,G]$ sono prodotti di un numero finito di commutatori e loro inversi, ossia ogni elemento di $[G,G]$ è della forma:

$[a_{1},b_{1}]\cdot \ldots \cdot [a_{n},b_{n}],\quad {\text{con }}a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n}\in G.$

Un gruppo è abeliano se e solo se questo sottogruppo è triviale, ossia costituito dalla sola unità di $G$.

Il sottogruppo commutatore è caratteristico (dunque normale), quindi è sempre definibile il gruppo quoziente $G/[G,G]$. Informalmente si può dire che, nella costruzione di questo quoziente, si considerano trascurabili gli elementi che non commutano: risulta infatti che $G/[G,G]$ è abeliano. Più precisamente, $[G,G]$ è il più piccolo sottogruppo normale di $G$ tale che il quoziente risulti essere abeliano. Questo quoziente viene chiamato l'abelianizzato di $G$.

Va segnalato che, in vari testi, il commutatore di due elementi è definito in modo lievemente differente:

$[a,b]_{2}:=aba^{-1}b^{-1}=[a^{-1},b^{-1}].$

Anche con questa definizione due elementi commutano se e solo se il commutatore è l'unità e si ottiene lo stesso sottogruppo derivato individuato in precedenza.

Teoria degli anelli

Definizione

Sia $A$ un anello. Il commutatore di due suoi elementi $a$ e $b$ è l'elemento

$[a,b]:=ab-ba.$

Proprietà

Due elementi $a$ e $b$ commutano se $ab=ba$. Questo accade se e solo se il commutatore si annulla:

$[a,b]=0.$

Il commutatore è una funzione bilineare sull'anello:

$[a,b+c]=[a,b]+[a,c];$

$[a+b,c]=[a,c]+[b,c].$

Il commutatore è anticommutativo, ossia è una funzione bivariata antisimmetrica:

$[a,b]=-[b,a].$

Il commutatore è una composizione nilpotente:

$[a,a]=0.$

Il commutatore soddisfa l'identità di Jacobi:

$[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0.$

Il commutatore soddisfa una versione della regola di Leibniz:

$[a,bc]=[a,b]c+b[a,c].$

Quest'ultima espressione è interpretabile come regola di Leibniz per la mappa

$D_{a}\colon A\to A,$

$D_{a}\colon b\mapsto [a,b].$

che per la suddetta formula si dice rivestire il ruolo di derivazione sull'anello.

Altre relazioni:

$[ab,c]=a[b,c]+[a,c]b;$

$[a,bc]=[a,b]c+b[a,c];$

$[abc,d]=ab[c,d]+a[b,d]c+[a,d]bc.$

Algebra di Lie

Se $A$ è un'algebra associativa, la bilinearità espressa sopra vale anche per la moltiplicazione di uno scalare:

$[\lambda a,b]=\lambda [a,b]=[a,\lambda b].$

Da tutte le proprietà elencate segue che, sostituendo il prodotto in $A$ con l'operazione binaria

$(a,b)\mapsto [a,b]$

si ottiene una nuova struttura di algebra per $A$: più precisamente, si ottiene una struttura di algebra di Lie. I commutatori possono quindi essere utilizzati per trasformare una qualsiasi algebra associativa in un'algebra di Lie.

Esempi

Spazi di matrici

Le matrici $n\times n$ su un campo fissato formano un'algebra associativa. Sostituendo l'usuale prodotto fra matrici con l'operazione di commutazione si ottiene quindi una struttura di algebra di Lie.

Operatori su spazi di Hilbert

Le matrici reali $n\times n$ agiscono sullo spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$. Più in generale, si possono considerare varie algebre formate da operatori che agiscono su un determinato spazio di Hilbert $H$.

In meccanica quantistica, gli operatori descrivono gli osservabili e i loro commutatori misurano la precisione con cui due osservabili possono essere misurati simultaneamente. Generalmente $H$ è un determinato spazio di funzioni.

Ad esempio, se $H$ è uno spazio di funzioni di una variabile $x$ a valori complessi, l'operatore posizione moltiplica ogni funzione per $x$:

${\hat {x}}:f\mapsto x\cdot f$

mentre l'operatore di momento è una derivata:

${\hat {p}}:f\mapsto -i\hslash {\frac {\partial f}{\partial x}}.$

I due operatori non commutano. Il loro commutatore è infatti

$\left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]={\hat {x}}\left(-i\hslash {\frac {\partial }{\partial x}}\right)-\left(-i\hslash {\frac {\partial }{\partial x}}\right){\hat {x}}.$

Per verificare che tale operatore è diverso da zero, lo si applica su una funzione $f(x)$ e si ottiene il seguente risultato:

$\left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]f(x)=x\left(-i\hslash {\frac {\partial }{\partial x}}\right)f(x)+i\hslash {\frac {\partial }{\partial x}}{\big (}xf(x){\big )}=$

$-i\hslash \left[x{\frac {\partial }{\partial x}}f(x)-f(x)-x{\frac {\partial }{\partial x}}f(x)\right]=+i\hslash f(x).$

Poiché la relazione vale per ogni funzione $f$ di $H$, si conclude che il commutatore è l'operatore che moltiplica ogni funzione per la costante $i\hslash$:

$\left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]:f\mapsto i\hslash f.$

La generalizzazione di questa relazione in tre dimensioni, con:

${\hat {\textbf {x}}}=\left\{{{\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},{\hat {x}}_{3}}\right\},{\hat {\textbf {p}}}=\left\{{{\hat {p}}_{1},{\hat {p}}_{2},{\hat {p}}_{3}}\right\}$

è la seguente:

$\left[{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}\right]=i\hslash \delta _{ij},$

dove $\delta _{ij}$ è la delta di Kronecker.

Altre relazioni di commutazione utili in meccanica quantistica sono le seguenti, dove $n$ è un intero maggiore o uguale a zero e $f(p)$ e $g(x)$ due funzioni sviluppabili in serie di Taylor:

• $\left[{\hat {x}},{\hat {p}}^{n}\right]=i\hslash n{\hat {p}}^{n-1}$
• $\left[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}\right]=i\hslash n{\hat {x}}^{n-1}$
• $\left[{\hat {x}},f({\hat {p}})\right]=i\hslash {\frac {\partial f}{\partial p}}$
• $\left[g({\hat {x}}),{\hat {p}}\right]=i\hslash {\frac {\partial g}{\partial x}}$

Dimostrazioni

Dimostriamo prima la relazione

• $\left[{\hat {x}},{\hat {p}}^{n}\right]=i\hslash n{\hat {p}}^{n-1}$

La dimostrazione procede per induzione: la relazione è vera per $n=1$, supponiamo che sia vera per qualunque $n$ e dimostriamo allora che vale anche per $n+1$

$\left[{{\hat {x}},{\hat {p}}^{n+1}}\right]={\hat {p}}\left[{{\hat {x}},{\hat {p}}^{n}}\right]+\left[{{\hat {x}},{\hat {p}}}\right]{\hat {p}}^{n}=i\hslash n{\hat {p}}{\hat {p}}^{n-1}+i\hslash {\hat {p}}^{n}=i\hslash \left({n+1}\right){\hat {p}}^{n}$

La dimostrazione di

• $\left[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}\right]=i\hslash n{\hat {x}}^{n-1}$

è analoga alla precedente.

Dimostriamo ora la relazione

• $\left[{\hat {x}},f({\hat {p}})\right]=i\hslash {\frac {\partial f}{\partial p}}$

Utilizzando lo sviluppo di Taylor possiamo scrivere

$f\left(p\right)=\sum \limits _{n}{\alpha _{n}p^{n}}$

da cui otteniamo

$\left[{{\hat {x}},f\left({\hat {p}}\right)}\right]=\left[{{\hat {x}},\sum \limits _{n}{\alpha _{n}{\hat {p}}^{n}}}\right]=\sum \limits _{n}{\alpha _{n}\left[{{\hat {x}},{\hat {p}}^{n}}\right]=i\hslash \sum \limits _{n}{\alpha _{n}n{\hat {p}}^{n-1}=i\hslash {\frac {\partial }{\partial p}}\sum \limits _{n}{\alpha _{n}{\hat {p}}^{n}}=}}i\hslash {\frac {\partial f}{\partial p}}$

La dimostrazione di

• $\left[g({\hat {x}}),{\hat {p}}\right]=i\hslash {\frac {\partial g}{\partial x}}$

è analoga alla precedente.

Voci correlate

• Algebra supercommutativa
• Operazione commutativa

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Commutatore, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Commutatore, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.