Gas ideale

In un diagramma p-V (piano di Clapeyron), le isoterme di un gas ideale sono rappresentate da iperboli equilatere.

Un gas ideale, o gas perfetto, è un gas descritto dall'equazione di stato dei gas perfetti, e che quindi rispetta la legge di Boyle-Mariotte, la prima legge di Gay-Lussac o legge di Charles, e la seconda legge di Gay-Lussac, in tutte le condizioni di temperatura, densità e pressione. In questo modello le molecole del gas sono assunte puntiformi e non interagenti. I gas reali si comportano con buona approssimazione come gas perfetti quando la pressione è sufficientemente bassa e la temperatura sufficientemente alta.

Proprietà di un gas ideale

Per gas ideale si intende un gas che possieda le seguenti proprietà:

• le molecole sono puntiformi e pertanto hanno un volume trascurabile;
• le molecole interagiscono tra loro e con le pareti del recipiente mediante urti perfettamente elastici (ovvero non vi è dispersione di energia cinetica durante gli urti);
• non esistono forze di interazione a distanza tra le molecole del gas: le molecole si dicono "non interagenti";
• le molecole del gas sono identiche tra loro e indistinguibili;
• il moto delle molecole è casuale e disordinato in ogni direzione, ma soggetto a leggi deterministiche.

In conseguenza di ciò:

• il gas non può essere liquefatto per sola compressione, ossia non subisce trasformazioni di stato;
• il calore specifico è funzione della temperatura;
• l'energia interna è data solamente dall'energia cinetica, non da quella potenziale; essa rimane costante e non viene dissipata.

In un gas ideale l'energia cinetica media delle molecole del gas è direttamente proporzionale alla temperatura:

$E_{c}={\frac {1}{2}}mv^{2}\propto T$

I gas reali vengono descritti dalla legge dei gas perfetti con buona approssimazione solo quando la pressione è sufficientemente bassa e la temperatura sufficientemente alta. In caso contrario è valida la legge dei gas reali.

Energia interna

La variazione dell'energia interna è una funzione di stato, ossia ha la proprietà di dipendere solo dal suo stato iniziale e finale e non dal percorso compiuto. In generale l'energia interna è una funzione sia della temperatura che del volume, differenziando si ottiene quindi:

$dU=\left({\partial U \over \partial T}\right)dT+\left({\partial U \over \partial V}\right)dV$

Considerando i risultati matematici dell'esperienza di Joule per l'espansione libera di un gas perfetto:

$\left({\partial U \over \partial V}\right)=0$

$\left({\partial U \over \partial p}\right)=0$

e sostituendo nel differenziale precedentemente calcolato, si ottiene:

$dU=\left({\partial U \over \partial T}\right)dT$

Ovvero per i gas perfetti l'energia interna è funzione solamente della temperatura.

Definendo come $C_{V}$ la capacità termica a volume costante, allora per una trasformazione isocora dal primo principio della termodinamica si ha che:

$dU=\delta Q=\left({\partial Q \over \partial T}\right)dT=C_{v}dT$

dove $\delta Q$ è il calore scambiato dal gas con l'ambiente durante la trasformazione. Assumendo che la capacità termica è costante con la temperatura, e usando la legge dei gas perfetti, allora il primo principio della termodinamica può essere riscritto per i gas ideali e per trasformazioni quasistatiche come

$\delta Q=C_{v}dT+nRT{\frac {dV}{V}}$

dove $R$ è la costante universale dei gas e $n$ è il numero di moli di gas.

Entropia

Si consideri una trasformazione reversibile che porti $n$ moli di gas perfetto da uno stato con pressione, volume e temperatura $(p_{A},\;V_{A},\;T_{A})$ ad uno stato finale $(p_{B},\;V_{B},\;T_{B})$. La quantità infinitesima di calore scambiata nella trasformazione è data da:

$dQ=nc_{V}dT+nRT{\frac {dV}{V}}$

dove $c_{V}$ è il calore specifico a volume costante.

Ricordando che la variazione di entropia è data da:

$S_{B}-S_{A}=\int _{A}^{B}\left({\frac {dQ}{T}}\right)_{rev}$,

allora la variazione si entropia nel passaggio dallo stato iniziale $A$ allo stato finale $B$ è data da:

$S_{B}-S_{A}=\int _{A}^{B}nc_{V}{\frac {dT}{T}}\ +\int _{A}^{B}nR{\frac {dV}{V}}$.

Integrando si ottiene:

$S_{B}-S_{A}=nc_{V}\ln {\left({\frac {T_{B}}{T_{A}}}\right)}+nR\ln {\left({\frac {V_{B}}{V_{A}}}\right)}$.

Utilizzando l'equazione di stato dei gas perfetti e la relazione di Mayer, ed operando le opportune sostituzioni, è possibile riscrivere la relazione appena trovata anche in termini di pressione e di calore specifico a pressione costante:

$S_{B}-S_{A}=nc_{p}\ln {\left({\frac {T_{B}}{T_{A}}}\right)}-nR\ln {\left({\frac {p_{B}}{p_{A}}}\right)}$

$S_{B}-S_{A}=nc_{V}\ln {\left({\frac {p_{B}}{p_{A}}}\right)}+nc_{p}\ln {\left({\frac {V_{B}}{V_{A}}}\right)}$.

Si ricordi che in questi calcoli il calore specifico è stato assunto come costante della temperatura.

Entalpia

Per il gas ideale anche l'entalpia è funzione solamente della temperatura:

$\ dH=C_{p}dT$

dove $C_{p}$ è la capacità termica a pressione costante.

Per un gas perfetto vale la relazione:

$\ dH=dU+nRdT$.

Bibliografia

• Philip A. Thompson, Compressible-Fluid Dynamics, Irving H. Shames, 1988.
• Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Fisica - Volume I (seconda edizione), Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1.

Voci correlate

• Gas reale
• Equazione di stato
• Fluido ideale
• Miscela ideale