Giocò con la Nazionale magiara e fu capocannoniere del campionato ungherese nel 1924. Nell'estate del 1925 arrivò in Italia alla Cremona voluto dal tecnico Eugen Payer, in coppia con un altro ungherese Gyula Wilhelm.
Disputò 20 partite e realizzò 13 reti nel miglior campionato di Prima Divisione della Cremonese, giunta seconda, dietro alla Juventus, nel girone B.[1]. Tornato in Ungheria, nel 1928 si fa male ad un ginocchio e viene operato. La gamba si infetta e nel 1931 viene dichiarato disabile: ha una gamba paralizzata. Prova ad allenare, fa anche l'istruttore di pugilato ma è sofferente psicologicamente e inizia a bere.
Nel 1934, mentre gira ubriaco per Budapest, importunando i passanti, viene fermato da un poliziotto (Istvan Gedenyi), che gli intima di smetterla. Jeszmas lo aggredisce con pugni e anche calci mentre è per terra. Jeszmas scappa ma il poliziotto lo insegue e lo raggiunge. Jeszmas lo colpisce ancora e il poliziotto estrae la pistola e gli intima di smetterla. Jeszmas non si ferma e il poliziotto spara. Mira alla gamba ma colpisce un'arteria. Si chiamano i soccorsi ma Jeszmas muore dissanguato.(2)https://www.nemzetisport.hu/magyar_valogatott/nepsport-jeszmas-jozsef-tragediaja-a-valogatott-futballistaval-rendorgolyo-vegzett-2879381