Numero di Fanning

Il fattore di attrito di Fanning (o più semplicemente numero di Fanning) è il gruppo adimensionale dello sforzo di taglio alla parete, e rappresenta il rapporto fra i flussi conduttivo (sforzo di taglio) e convettivo (forze inerziali) di quantità di moto.

Prende il nome da John Thomas Fanning.

Definizione matematica

È definito come:

$f={\frac {2\tau }{\rho u^{2}}}={\frac {f_{D}}{4}}$

dove:

• $\tau$ è lo sforzo di taglio o tensione deviatorica nel materiale;
• $u$ è la velocità di flusso locale del materiale;
• $\rho$ è la densità del materiale;
• $f_{D}$ è il fattore di attrito di Darcy, ottenibile dal diagramma di Moody.

Dipendenza dalla viscosità

Definendo la viscosità, il numero di Fanning può sempre essere riespresso come:

$f={\frac {2||\mu \nabla {\vec {u}}||}{\rho u^{2}}}={\frac {2||\nu \nabla {\vec {u}}||}{u^{2}}}$

in cui:

• $\mu$ è la viscosità del materiale
• $\nu$ è la diffusività cinematica del materiale
• $\nabla$ è l'operatore nabla

Nel caso della validità della legge di Stokes, la viscosità è costante perciò questa forma è particolarmente conveniente.

Equazione di Darcy-Weisbach

Poiché l'equazione di Navier-Stokes della quantità di moto, definendo il carico idraulico, si può riesprimere in un condotto come una correzione all'equazione di Bernoulli:

$dH={\frac {L}{r}}\mu \nabla u$

Il numero di Fanning può essere legato alla perdita di carico idraulico:

$\Delta H=f\,{\frac {L}{r}}\,\rho u^{2}$

dove:

• $\Delta H$ è la perdita di carico idraulico;
• $L$ è la lunghezza del condotto;
• $r$ è il raggio equivalente del condotto.

Relazioni con altri numeri adimensionali

Il numero di Darcy, detto anche fattore di Blasius, utilizzato più frequentemente in ambito chimico e nella convenzione anglosassone sulle unità di misura, è quattro volte il numero di Fanning:

$F=4f$,

quindi bisogna prestare attenzione quando ci si riferisce a "fattore di attrito" in quanto si possono intendere ambedue gli adimensionali.

Infine si definisce coefficiente di attrito globale il prodotto del fattore di Blasius per il rapporto lunghezza/diametro equivalente del condotto:

$k=4f{\frac {L}{D}}$,

L'equazione di Darcy-Weisbach si riesprime quindi in modo più semplice come:

$\Delta H=k\,\,\rho {\frac {u^{2}}{2}}$

dove $\Delta H$ è la perdita di carico idraulico.

Correlazioni

Il fattore d'attrito dipende in primo luogo dal numero di Reynolds dalla rugosità, anche se storicamente questa dipendenza è stata spesso espressa con correlazioni implicite rendendo inevitabile l'utilizzo di diagrammi prima dell'avvento dei risolutori numerici di equazioni: tra questi diagrammi vanno citati ad esempio il diagramma di Moody (ottenuto dalla correlazione di Colebrook, implicita) e l'arpa di Nikuradse.

Legge di Poiseuille

Per un flusso laminare $(Re<2100)$ in condotti rispettivamente circolari e quadrati esiste una soluzione analitica (Legge di Poiseuille):

$f_{c}={\frac {16}{Re}}$, $f_{q}={\frac {14.227}{Re}}$

dove $Re$ è il numero di Reynolds del flusso.

Correlazione di Blasius

Blasius propose una correlazione nel 1913 trascurando la rugosità (condotti lisci) :

$f=0,079\mathrm {Re} ^{-0.25}$.

Johann Nikuradse in un articolo del 1932 disse che questo corrisponde a una legge di potenza per il profilo di velocità di flusso.

Mishra e Gupta nel 1979 hanno proposto un addendo per tubi elicoidali, con diametro del condotto $d$ e diametro di avvolgimento $D$:

$f=0,079\mathrm {Re} ^{-}{1 \over 4}+0,0075{\sqrt {\frac {d}{D}}}$,

valido per:

• $Re_{tr}<Re<10^{5}$
• $6,7<D/d<346,0$
• $0<L/D<25,4$.

Correlazione di Colebrook

Per il flusso turbolento, le correlazioni si complicano: la prima storicamente è stata la correlazione di Colebrook , implicita nella relazione:

${1 \over {\sqrt {\mathit {f}}}}=-4,0\log _{10}\left({\frac {\frac {R}{d}}{3,7}}+{\frac {1,256}{Re{\sqrt {\mathit {f}}}}}\right)$

dove $R$ è la rugosità del tubo (usare sempre unità di misura omogenee):

• $R=0,0000547\,m$ per l'acciaio
• $R=0,000259\,m$ per la ghisa
• $R=0,000122\,m$ per superfici rivestite
• $R=0,000152\,m$ per superfici zincate
• $R=0,00165\,m$ per il cemento.

Correlazione di Haaland

Dalla correlazione di Colebrook si ha la correlazione di Haaland, che ne è un'approssimazione:

${\frac {1}{\,{\sqrt {f\,}}\,}}=-3{,}6\log \left[\left({R \over \;3{,}7\;D\;}\right)^{\!\!{\,10\, \over 9}}+{\frac {\,6{,}9\,}{\mathrm {Re} }}\right]$;

se $2100<Re<4000$, si usa impiegare il massimo dei due valori.

Correlazione di Churchill

Churchill ha sviluppato infine una formula valida sia per il moto laminare sia per il turbolento.

$f=2\left(\left({\frac {8}{Re}}\right)^{12}+\left(A+B\right)^{-1,5}\right)^{\frac {1}{12}}$

$A=\left(-2,457\ln \left(\left({\frac {7}{Re}}\right)^{0,9}+0,27{\frac {e}{D}}\right)\right)^{16}$

$B=\left({\frac {37530}{Re}}\right)^{16}$

Voci correlate

• Coefficiente di attrito
• Numero di Colburn
• Numero di Brinkman
• Numero di Stokes