Teorema di Chevalley

In matematica, il teorema di Chevalley (o anche teorema di Chevalley-Warning) asserisce che un polinomio in n incognite

$P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

di grado d<n ha in un campo finito di caratteristica p un numero di soluzioni divisibile per p.

Come corollario, se P è un polinomio senza termine noto, ovvero in cui una soluzione può essere ottenuta ponendo tutte le incognite pari a 0, allora esiste almeno un'altra soluzione del polinomio. Questo corollario è utile ad esempio per provare che l'equazione

$x^{2}+y^{2}\equiv -1\mod p$

ha soluzione per ogni primo p: infatti lo si può trasformare in

$x^{2}+y^{2}+1\equiv 0\mod p$

$X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\equiv 0\mod p$

moltiplicando per $Z^{2}\neq 0$, ottenendo un polinomio di secondo grado in tre incognite, che per il teorema ha una soluzione $(X_{0},Y_{0},Z_{0})$ in cui non tutte le incognite sono congrue a 0; da questo si ottiene una soluzione

$x_{0}=X_{0}Z_{0}^{-1},\;\;y_{0}=Y_{0}Z_{0}^{-1}$

che soddisfa la congruenza originale. Questo risultato è utile nella dimostrazione del teorema dei quattro quadrati.

Questo teorema fu dimostrato nel 1936 da Claude Chevalley dopo essere stato congetturato da Emil Artin.

Bibliografia

• H. Davenport, Aritmetica superiore, Zanichelli, Bologna, 1994, ISBN 8808091546 - Capitoli II e V