Үшбұрыш

Үшбұрыш - ең қарапайым көпбұрыш, үш нүктеден, үш қабырғадан және үш бұрыштан тұрады немесе бір түзу бойында жатпайтын үш нүктені қосатын кесінділерді шектейтін жазықтық бөлігі.

Үшбұрыш'.

Үшбұрыштардың түрлері: тең қабырғалы , теңбүйірлі, сүйірбұрышты, тік бұрышты, доғал бұрышты.

Доғалбұрышты үшбұрыш - ішкі бір бұрышы доғал бұрыш болатын үшбұрыш.

.

Дұрыс үшбұрыш	Теңбүйірлі	Доғал бұрышты

Теоремалары

Т.1.Тең үшбұрыштарда

1. Тең қабырғаларға қарсы тең бұрыштар жатады.

1. Тең бұрыштарға қарсы тең қабырғалар жатады.

1. Үлкен қабырғаға қарсы үлкен бұрыш жатады.

1. Үлкен бұрышқа қарсы үлкен қабырға жатады.

Т.2.Кез келген үшбұрышта

1. Екі қабырғаның қосындысы үшінші қабырғадан үлкен, ал айырмасы үшіншісінен кіші болады.Сыртқы бұрыш онымен сыбайлас емес екі ішкі бұрыштың қосындысына тең болады.

1. Ішкі бұрыштардың қосындысы 180º-қа тең.

Т.3. Үшбұрыштар теңдігінің белгілері

Екі үшбұрыштың мына өлшемдері тең болса, онда олар өзара тең болады:

1. Екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышы.

1. Бір қабырғасы мен оған іргелес бұрыштары.

1. Үш қабырғасы.

І белгі. Егер бір үшбұрыштың екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышы екінші үшбұрыштың сәйкес екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышына тең болса, онда бұл үшбұрыштар тең болады.

ІІ белгі. Егер бір үшбұрыштың бір қабырғасы мен оған іргелес екі бұрышы екінші үшбұрыштың сәйкес бір қабырғасы мен оған іргелес екі бұрышына тең болса, онда бұл үшбұрыштар тең болады.

ІІІ белгі. Егер бір үшбұрыштың үш қабырғасы екінші үшбұрыштың сәйкес үш қабырғасына тең болса, онда бұл үшбұрыштар тең болады.

Т.4.Тікбұрышты үшбұрыштардың теңдігінің белгілері

Екі тікбұрышты үшбұрыштың мына өлшемдері тең болса, онда олар өзара тең болады:

1. Гипотенуза мен сүйір бұрышы.

1. Катет пен қарсы жатқан бұрышы.

1. Катет пен іргелес бұрышы.

1. Екі катеті.

1. Гипотенуза мен катеті.

І белгі. Егер тік бұрышты үшбұрыштың екі катеті екінші тік бұрышты үшбұрыштың екі катетіне тең болса, онда бұл тік бұрышты үшбұрыштар тең болады.

ІІ белгі. Егер тік бұрышты үшбұрыштың катеті мен оған іргелес сүйір бұрышы екінші тік бұрышты үшбұрыштың сәйкес катеті мен оған іргелес сүйір бұрышына тең болса, онда бұл үшбұрыштар тең болады.

ІІІ белгі. Егер тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен сүйір бұрышы екінші үшбұрыштың гипотенузасы мен сүйір бұрышына тең болса, онда бұл үшбұрыштар тең болады.

ІV белгі. Егер тік бұрышты үшбұрыштың катеті мен гипотенузасы екінші тік бұрышты үшбұрыштың сәйкес катеті мен гипотенузасына тең болса,онда бұл үшбұрыштар тең болады.

Теорема 6. Тік бұрышты үшбұрыштың 30º -қа тең бұрышына қарсы жатқан катеті гипотенузаның жартысына тең.

Косинустар және синустар теоремасы

Үшбұрыш қабырларары a, b және c ал бұрыштары α, β және γ сәйкесінше.

• Синустар теоремасы

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}.$

• Косинустар теоремасы

$c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )$

$b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\beta )$

$a^{2}\ =b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha )$

Үшбұрыштың негізгі сызықтары: биіктігі, медиана, биссектриса, орта перпендикуляр, орта сызық

Үшбұрыштың биіктігі деп оның төбесінен қарсы жатқан қабырғасы арқылы өтетін түзуге түсірілген перпендикулярды айтады.

Үшбұрыштың берілген төбесінен жүргізілген биссектрисасы деп осы төбесіндегі бұрыш биссектрисасының қарсы жатқан қабырғасымен шектелетін кесіндіні айтады.

Үшбұрыштың берілген төбесінен жүргізілген медианасы деп осы төбені қарсы жатқан қабырғасының ортасымен қосатын кесіндіні айтады.

Теорема. Тең бүйірлі үшбұрыштың төбесінен табанына жүргізілген биссектрисасы оның әрі медианасы, әрі биіктігі болады.

Т.5. Төрт тамаша нүкте

Кез келген үшбұрышта бір нүктеде қиылысатын:

1. Үш медиана.(медианалардың қиылысу нүктесі үшбұрыштың ауырлық орталығы болып табылады, ол әрбір медиананы, төбесінен санағанда, 2:1 қатынасындай етіп бөледі.)

   

   Медианалардың қиылысу нүктесі үшбұрыштың ауырлық центрі болып табылады.

2. Үш биіктігі(немесе олардың созындылары.)
3. Үш орта перпендикуляр (олардың қиылысу нүктесі үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің орталығы болып табылады.)

   

   Үш орта перпендикуляр қиылысу нүктесі үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің орталығы болып табылады.

4. Ішкі бұрыштардың үш биссектрисасы(олардың қиылысу нүктесі үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің орталығы болып табылады.)

   

   Биссектрисаларның қиылысу нүктесі үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің орталығы болып табылады.

Үшбұрыштың ауданын есептеу

S=1/2*a*h

Координаттарды қолдану тәсілі арқылы

A төбесі Картезиандық координаттар жүйесінің (0, 0) нүктесінде орналасқан және үшбұрыштың өзге екі нүктесінің координаттары B = (x_B, y_B) және C = (x_C, y_C) болсын, мұндай үшбұрыштың ауданы ${\frac {1}{2}}$ көбейту детерминанттың абсолют шамасы формуласымен есептелінеді:$T={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.$

Жазықтықтағы кез келген үш нүкте үшін үшбұрыштың ауданы:

$T={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}{\big |}x_{A}y_{B}-x_{A}y_{C}+x_{B}y_{C}-x_{B}y_{A}+x_{C}y_{A}-x_{C}y_{B}{\big |},$

бұл формуланы ықшамдай беріп

$T={\frac {1}{2}}{\big |}(x_{A}-x_{C})(y_{B}-y_{A})-(x_{A}-x_{B})(y_{C}-y_{A}){\big |}.$

формуласын шығарсақ болады.