반올림

반올림(半-)은 근삿값을 구하는 방법 중 하나이다.

정의

특정 기수법에서 절반 미만이면 0으로 버려준다. 절반 이상이면 0으로 버려주고 윗자리에 1을 더한다.

종류

사사오입

사사오입(四捨五入)

십진법에서는 다음과 같이 반올림을 한다.

반올림 할 자리를 구한다.

4 이하이면 0으로 버리고 5 이상이면 0으로 버린 후 윗자리에 1을 더한다.

사사오입의 예

73
- 일의 자리에서 반올림: 70
- 십의 자리에서 반올림: 100
51.6137
- 소수점 넷째 자리에서 반올림: 51.614
- 소수점 셋째 자리에서 반올림: 51.61
- 소수점 둘째 자리에서 반올림: 51.6
- 소수점 첫째 자리에서 반올림: 52
- 일의 자리에서 반올림: 50
- 십의 자리에서 반올림: 100

오사오입

반올림에서 5 미만의 숫자는 버림하며 5 초과의 숫자는 올림한다. 5의 경우에는 5의 앞자리가 홀수인 경우엔 올림을 하고 짝수인 경우엔 버림을 하여 짝수로 만들어준다. 예를 들어 53.45는 53.4로, 32.75는 32.8로 반올림한다. 이를 오사오입(round-to-nearest-even)이라고 한다. 자연과학 및 공학의 유효 숫자에서 많이 쓴다.

오사육입

사사오입과는 반대로 5를 버리는 방법이다. 5 초과 올림, 5 미만 내림은 동일하다.

정리표

1000부터 1200까지의 정수를 100의 자리까지 어림하는 방법에 따라 다음 표와 같이 어림할 수 있다.

100의 자리까지 어림	1000	1001 - 1049	1050	1051 - 1059	1060 - 1099	1100	1101 - 1149	1150	1160 - 1199	1200
올림	1000	1100					1200
버림	1000					1100				1200
사사오입_{(일반적인 반올림)}	1000		1100					1200
오사오입_{(더 정확한 반올림)}	1000			1100				1200
오사육입_{(매우 드묾)}	1000				1100				1200

반올림의 상대오차

실수 x를 부동소수점 기계 숫자로 나타낸 것을 fl(x)라고 할 때, 반올림 오차를 구하는 과정은 다음과 같다. 우선 십진수 양의 실수 x는 정규화된 형태로 다음으로 나타낼 수 있다.

x=(0.b_{1}b_{2}\cdots b_{k}b_{k+1}\cdots )_{10}\times 10^{e}

$b_{k+1}\geq 5$ 인 경우 b_k에 1을 더해주어 반올림을 하게 되고, $b_{k+1}<5$ 인 경우 b_k이후 모든 숫자들을 절단한다. k자리로 반올림하는 경우의 상대오차를 구한다면 상대오차가 최대가 되는 값을 찾아야 한다. 이때 b_k+1이 5 이상인지 미만인지에 따라 두 가지로 나눈다. $b_{k+1}<5$ 인 경우

{\begin{aligned}\left|{\frac {x-fl(x)}{x}}\right|&=\left|{\frac {(0.b_{1}b_{2}\cdots b_{k}b_{k+1}\cdots )\times 10^{n}-(0.b_{1}b_{2}\cdots b_{k})\times 10^{n}}{(0.b_{1}b_{2}\cdots b_{k}b_{k+1}\cdots )\times 10^{n}}}\right|\\&=\left|{\frac {(0.b_{k+1}b_{k+2}b_{k+3}\cdots )\times 10^{n-k}}{(0.b_{1}b_{2}\cdots b_{k}b_{k+1}\cdots )\times 10^{n}}}\right|\\&=\left|{\frac {0.499999\cdots }{0.1}}\times 10^{-k}\right|\\&={\frac {0.5}{0.1}}\times 10^{-k}\\&=0.5\times 10^{-k+1}\end{aligned}}

$b_{k+1}\geq 5$ 인 경우는 $b_{k+1}<5$ 인 경우보다 상대오차가 작다. 따라서 반올림의 상대오차는 $\left|{\frac {x-fl(x)}{x}}\right|\leq 0.5\times 10^{-k+1}$ 이다.^[1]

같이 보기

각주

↑ Abdelwahab Kharab & Ronald B. Guenther 2013, 28쪽.

참고 문헌

Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. ISBN 978-89-966211-8-8.

[FOOTNOTEAbdelwahab_KharabRonald_B._Guenther201328-1] Abdelwahab Kharab & Ronald B. Guenther 2013, 28쪽.

[1]