극한 (범주론)

수학의 한 분야인 범주론에서 극한(極限, 영어: limit)은 수학의 여러 분야에서 사용되는 보편적 구성들(예로서 곱이나 역극한 등)이 갖는 공통된 성질을 잡아내어 일반화시킨 개념이다. 그 쌍대 개념인 쌍대극한(雙對極限, 영어: colimit)은 서로소 합집합이나 직합 등의 일반화이다. 극한과 쌍대극한은 보편 사상 및 수반 함자 등의 범주론적 개념과 밀접한 연관이 있다.

정의

극한

함자 $F\colon J\to C$ 의 뿔(영어: cone) $(N,(\psi _{X}\colon N\to F(X))_{X\in J})$ 은 다음 데이터로 구성된다.

$C$ 의 대상 $N\in C$
모든 대상 $X\in J$ 에 대하여, $C$ 의 사상 $\psi _{X}\colon N\to F(X)$

이 데이터는 다음 가환 조건을 만족시켜야 한다.

모든 대상 $X,Y\in J$ 에 대하여, $\psi _{Y}=F(f)\circ \psi _{X}$

함자 $F\colon J\to C$ 의 극한은 다음 보편 성질을 만족시키는 뿔 $(L,(\phi _{X})_{X\in J})$ 이다.

모든 $F$ $F$ 의 뿔 $(N,(\psi _{X})_{X\in J})$ $(N,(\psi _{X})_{X\in J})$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 $u\colon N\to L$ $u\colon N\to L$ 이 존재한다.
- 모든 대상 $X\in J$ 에 대하여, $\psi _{X}=\phi _{X}\circ u$

만약 극한이 존재한다면, 이는 동형 아래 유일하다. 이는 극한의 보편 성질에 의한다. 만약 $J$ 가 작은 범주라면, 주어진 함자의 뿔과 뿔 사상(영어: cone morphism)은 범주를 이루며, 이 경우 극한은 뿔 범주의 끝 대상이다. 만약 정의에서 사상의 유일성 조건을 존재로 약화하면 약한 극한(영어: weak limit)의 개념을 얻는다.

쌍대극한

함자 $F\colon J\to C$ 의 쌍대뿔(영어: cocone) $(N,(\psi _{X}\colon F(X)\to N)_{X\in J})$ 은 다음 데이터로 구성된다.

$C$ 의 대상 $N\in C$
모든 대상 $X\in J$ 에 대하여, $C$ 의 사상 $\psi _{X}\colon F(X)\to N$

이 데이터는 다음 가환 조건을 만족시켜야 한다.

모든 대상 $X,Y\in J$ 에 대하여, $\psi _{X}=\psi _{Y}\circ F(f)$

함자 $F\colon J\to C$ 의 극한은 다음 보편 성질을 만족시키는 쌍대뿔 $(L,(\phi _{X})_{X\in J})$ 이다.

모든 $F$ $F$ 의 쌍대뿔 $(N,(\psi _{X})_{X\in J})$ $(N,(\psi _{X})_{X\in J})$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 $u\colon L\to N$ $u\colon L\to N$ 이 존재한다.
- 모든 대상 $X\in J$ 에 대하여, $\psi _{X}=u\circ \phi _{X}$

보편 성질에 따라, 쌍대극한은 만약 존재한다면 동형 아래 유일하다. 만약 $J$ 가 작은 범주라면, 쌍대극한은 쌍대뿔과 쌍대뿔 사상(영어: cocone morphism)의 범주의 시작 대상이다. 만약 사상의 유일한 존재를 존재로 대체하면 약한 쌍대극한(영어: weak colimit)의 정의를 얻는다.

예

특별한 경우에 붙은 이름은 다음과 같다.

$J$	$J$ 를 지표 범주로 하는 극한	$J^{\operatorname {op} }$ 를 지표 범주로 하는 쌍대극한
공(空)범주	끝 대상	시작 대상
이산 범주	곱	쌍대곱
상향 원순서 집합	사영 극한/역극한	귀납적 극한/직접적 극한
$\cdot \rightrightarrows \cdot$	동등자	쌍대동등자
$\cdot \rightarrow \cdot \leftarrow \cdot$	당김	밂

참고 문헌

Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

“Inductive limit”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Projective limit”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“System (in a category)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Limit”. 《nLab》 (영어).
“Colimit”. 《nLab》 (영어).