https://lightaxis.github.io/LightAxis로보틱스, 제어 이론 2025-10-25T00:03:08+09:00 lightAxis https://lightaxis.github.io/ Jekyll © 2025 lightAxis /assets/img/favicons/favicon.ico /assets/img/favicons/favicon-96x96.png 슬라이딩 퍼즐의 도달 가능성(문제 정의)2025-10-22T00:20:00+09:00 2025-10-22T00:20:00+09:00 https://lightaxis.github.io/posts/reachability-of-sliding-puzzle-1/ JiseokLee 슬라이딩 퍼즐의 도달 가능성에 대해 알아보기 전에, 이 포스트에서 다룰 문제를 명확히 정의하고자 한다. 앞서서 슬라이딩 퍼즐의 불변량에, 군과 대칭군의 여러 성질들을 알아보았지만, 아직까지도 슬라이딩 퍼즐의 도달 가능성에 대해서는 명확히 정의하지 않았다. 왜냐하면 퍼즐 자체에 대한 여러가지 정의가 모호했기 때문이다. 예를 들어서 퍼즐을 푸는 경로 라고 하면, 조각을 바꾸는 변환인지? 아니면 단순한 빈칸 좌표의 나열인지? 인접한 타일이란 무엇이며, 타일에 번호를 부여한다는 것은 무엇인지? 슬라이딩 퍼즐의 현재 상태를 어떻게 정의하고, 상태들 간의 변환은 어떻게 정의하는지? 등등의 여러가지 의문점이 있다. 이번 포스트에서는 슬라이딩 퍼즐의 도달 가능성 문제와 관련된 다양한 개념들을 명확히 정... 대칭군의 켤례류와 3-cycle 분해2025-10-19T22:20:00+09:00 2025-10-19T22:20:00+09:00 https://lightaxis.github.io/posts/conjugation/ JiseokLee 모든 순열을 만들어 내는 법 참고 1 : https://en.wikipedia.org/wiki/Parity_of_a_permutation 참고 2 : https://dec41.user.srcf.net/notes/IA_M/groups.pdf 참고 3 : https://jweilhammer.github.io/sliding-puzzle-solver/ 앞선 포스트에서 우리는 슬라이딩 퍼즐의 불변량을 알아보았다. 하지만, 불변량을 알아냈다고 해서 그게 슬라이딩 퍼즐이 풀릴 수 있는지를 판별하는 직접적인 척도는 되지 못한다. 앞서 증명된 것은, 불변량이 다른 두 퍼즐 상태가 서로 도달할 수 없다는 것이지, 불변량이 같은 두 퍼즐 상태는 항상 도달 가능하다는 것을 증명하진 못했다. 우리가 진... 슬라이딩 퍼즐의 불변량2025-10-14T00:52:00+09:00 2025-10-14T00:52:00+09:00 https://lightaxis.github.io/posts/invariant-of-sliding-puzzle/ JiseokLee 슬라이딩 퍼즐이 항상 유지하는 어떠한 성질은 무엇인가 참고 1 : https://en.wikipedia.org/wiki/Parity_of_a_permutation 참고 2 : https://dec41.user.srcf.net/notes/IA_M/groups.pdf 참고 3 : https://en.wikipedia.org/wiki/15_puzzle#Solvability 참고 4 : https://jweilhammer.github.io/sliding-puzzle-solver/ 슬라이딩 퍼즐과 순열의 부호 지금까지 군의 정의부터 시작해서 부분군, 대칭군, 순열의 부호까지 쌓은 빌드업을 활용할 시점이 왔다. 먼저 우리가 상대할 슬라이딩 퍼즐을 임의의 크기가 아니라, 4x4 크기의 퍼즐로 ... 순열의 부호2025-10-12T21:01:00+09:00 2025-10-12T21:01:00+09:00 https://lightaxis.github.io/posts/even-and-odd-p/ JiseokLee 순열의 부호란 무엇이며, 어떤 성질이 있을까? 참고 1 : https://en.wikipedia.org/wiki/Parity_of_a_permutation 참고 2 : https://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_group 참고 3 : https://dec41.user.srcf.net/notes/IA_M/groups.pdf 본 글은 $(\sigma \tau)(x) = \sigma(\tau(x))$ 표기를 사용합니다. 오른쪽이 먼저 작용합니다. 순열의 부호 순열의 부호(Parity of a permutation)는 하나의 순열이 가지는 고유한 특성 중 하나로, +1 또는 -1이다. 순열의 부호는 대칭군을 쪼개는 중요한 특성이며, 우리의 경우 슬... 군 동형과 케일리 정리(Cayley's Theorem)2025-10-12T18:15:00+09:00 2025-10-12T18:15:00+09:00 https://lightaxis.github.io/posts/isomorphism-and-cayley-theorem/ JiseokLee 군 동형과 케일리 정리란 무엇일까? 왜 ‘대칭군’ 이라는 거창한 이름이 붙을 수 있었을까? 참고 1 : https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley%27s_theorem 참고 2 : https://dec41.user.srcf.net/notes/IA_M/groups.pdf 케일리 정리(Cayley’s theorem) 사실 케일리 정리는 슬라이딩 퍼즐의 해결 가능성을 논할 때 쓰이진 않는다. 관심이 없다면 이 포스트는 그냥 넘어가는걸 추천한다. 하지만 군론에서 매우 중요한 정리이고, 그 내용도 가히 충격적이기에 그냥 내가 소개하고 싶어서 쓴다. 케일리 정리 (Cayley’s theorem) 모든 군 $G$는 어떤 집합 $X$에 대한 대칭군 $Sym(X...