Komutatyvumas

Komutatyvumas (lot. commutativus - keičiantysis) arba perstatotumas – algebrinės dvinarės operacijos savybė, kai sukeitus vietomis elementus operacijos rezultatas nepakinta. Dvinarė operacija * yra komutatyvi aibės S atžvilgiu, jei galioja lygybė x * y = y * x kiekvienam x ir y iš aibės S.

Jei egzistuoja bent viena pora x ir y, kurioms lygybė negalioja, operacija aibėje S yra nekomutatyvi.

Akivaizdžiausi komutatyvumo pavyzdžiai – sudėtis ir daugyba realiųjų skaičių aibėje, pavyzdžiui:

• 4 + 5 = 5 + 4 (abiejose lygybės pusėse gauname 9)
• 2 × 3 = 3 × 2 (abiejose lygybės pusėse – 6)

Tačiau ši savybė taip pat gali būti taikoma ir sudėtingesniuose nustatymuose. Pavadinimas reikalingas, nes yra operacijų, tokių kaip dalyba ir atimtis, kurios komutacinių savybių neturi (pvz., „3 − 5 ≠ 5 − 3“); tokios operacijos yra vadinamos nekomutacinėmis operacijomis. Daugelį metų buvo savaime suvokiama, kad paprastos operacijos, tokios kaip skaičių daugyba ir sudėtis, yra komutacinės. Tik XIX a. ši savybė gavo pavadinimą, kai matematika buvo pradėta formalizuoti. Panaši savybė egzistuoja dvejetainiams santykiams. Dvejetainis santykis yra simetriškas, jei santykis galioja nepriklausomai nuo jo operandų eiliškumo. Atitinkamai lygybė yra simetriška, jei du lygūs matematiniai objektai yra lygūs nepriklausomai nuo jų eiliškumo. Kiti komutatyvių operacijų pavyzdžiai – sudėtis bei dalyba kompleksinių skaičių aibėje, aibių sankirta ar sąjunga.

Žiedas vadinamas komutatyviu, jei jame daugyba yra komutatyvi (sudėtis žiede yra visada komutatyvi).

Matematinis apibrėžimas

Dvejetainė operacija $*$ aibėje S yra vadinama komutacinė, jeigu $$x*y=y*x\qquad {\mbox{visiems }}x,y\in S.$$

Kitaip tariant, operacija yra komutacinė, jei galima pakeisti kiekvienus du elementus. Operacija, kuri netenkina aukščiau nurodytos savybės, yra vadinama nekomutacine.

Yra sakoma, kad x galima sukeisti su y, arba x ir y galima sukeisti vietomis $*$ jeigu $$x*y=y*x.$$

Tai reiškia, kad tam tikra elementų pora gali būti sukeista, net jei operacija yra (griežtai) nekomutacinė.

Pavyzdžiai

Obuolių sudėtis, kuri gali būti vertinama kaip natūraliųjų skaičių sudėtis, yra komutacinė.

Komutacinės operacijos

Vektorių sudėtis yra komutacinė, kadangi ${\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}$.

• Sudėtis and daugyba yra komutacinės daugelyje skaičių sistemų ir ypač tarp natūraliųjų skaičių, sveikųjų skaičių, racionaliųjų skaičių, realiųjų skaičių ir kompleksinių skaičių.
• Sudėtis yra komutacinė kiekvienoje vektorių erdvėje ir kiekvienoje algebroje.
• Apjungimas (aibių teorija) ir susikirtimas (aibių teorija) yra komutacinės operacijos aibėje.
• „Ir“ ir „arba“ yra komutacinės loginės operacijos.

Nekomutatyvios operacijos

Kasdieniniame gyvenime:

• Drabužių skalbimas ir džiovinimas yra nekomutatyvios operacijos: jei mes pirma išdžiovinsime, o po to išskalbsime, turėsime visai kitą rezultatą, nei kad pirma išskalbę, o po to išdžiovinę.

Vaikiškas pavyzdys:

• 2:4 nera lygu 4:2. Taigi, 2 vaikams pasidalinti 4 obuolius yra ne tas pats, kas 4 vaikams pasidalinti 2 obuolius.

Matematikoje:

• Atimtis $\scriptstyle a-b$
• Dalyba $\scriptstyle a/b$
• Matricų daugyba

pavyzdžiui,

${\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}$

• kvaternijonų daugyba

pavyzdžiui,

${\begin{matrix}ij&=&k&\neq &ji&=&-k\\jk&=&i&\neq &kj&=&-i\\ki&=&j&\neq &ik&=&-j\end{matrix}}$

Sąryšis su kitomis savybėmis

Asociatyvumas

Asociatyvumas glaudžiai susijęs su komutatyvumu. Asociatyvumo atveju rezultatas nesikeičia, atliekant operacijas bet kokiu eiliškumu, su sąlyga, jei operandų tvarka nekeičiama. Komutatyvumas, priešingai, teigia, kad rezultatas nesikeičia sukeitus vietomis operandus.

Daugelis komutatyvių operacijų yra ir asociatyvios. Tačiau komutatyvumas ne visada reiškia asociatyvumą. Funkcija:

$f(x,y)={\frac {x+y}{2}},$

yra komutatyvi (sukeitus x ir y vietomis, rezultatas nesikeičia), tačiau ji yra neasociatyvi (kadangi, $f(1,f(2,3))=1,75$, bet $f(f(1,2),3)=2,25$).

Simetrija

Paveikslėlis, vaizduojantis sudėties funkcijos simetriją

Kuomet užrašome komutatyvią dvinarę funkciją, ji paprastai būna simetrinė linijos y = x atžvilgiu. Paveikslėlyje dešinėje kaip pavyzdys parodyta funkcija f, realizuojanti sudėties operaciją f(x,y) = x + y.

Komutatyvumas neurofizikoje

Neurofizikoje komutatyvumo sąvoka taikoma ryšiams tarp neuronų.