Kaya begon met voetballen in de jeugd van Petkimspor, waarna hij overstapte naar de jeugdopleiding van Altay Izmir. In 2006 werd hij opgemerkt door de scouts van Galatasaray SK, dat hem op vijftienjarige leeftijd overnam. Op 19 februari 2009 speelde Kaya zijn eerste competitiewedstrijd in het eerste elftal. Na een verhuurperiode van vijf maanden bij Gaziantepspor in 2010 en bij Kartalspor in 2011, kwam hij in het seizoen 2011/12 terug bij Galatasaray, waar Fatih Terim net benoemd was tot hoofdtrainer. Ondanks concurrentie van internationals als Servet Çetin en Gökhan Zan veroverde Kaya een plaats in het basiselftal. In zijn eerste jaar bij de A-selectie werd Kaya kampioen met Galatasaray. Ook in 2012, 2013 en 2015 won hij het landskampioenschap in Turkije. Kaya maakte op 29 augustus 2015 zijn tweede doelpunt in het betaald voetbal over een periode van zes jaar, toen de uitwedstrijd tegen Konyaspor met 1–4 werd gewonnen. Burak Yılmaz en Wesley Sneijder maakten de andere drie doelpunten.[1]
Galatasaray