Harmonisk tall

Harmoniske tall H_n øker som den naturlige logaritmen av n.

Harmoniske tall eksisterer i matematikken for hvert heltall n og betegnes med symbolet H_n . Hvert slikt tall er definert ved den endelige summen

$H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$

og har fått sitt navn fra den egenskapen at det er direkte relatert til den harmoniske middelverdien av de første n naturlige tallene.

Tallene har vært studert siden antikken og allerede på 14-hundretallet viste Nicole Oresme at tallene vokser mot uendelig når n blir veldig stor. Mer detaljerte undersøkelser ble senere foretatt av Jakob Bernoulli og hans yngre bror Johann Bernoulli. Men det var deres elev Leonhard Euler som rundt 1730 kunne fremlegge et bevis for at tallene økte nøyaktig som den naturlige logaritmen log n i denne grensen. Det var begynnelsen til mange andre viktige fremskritt innen tallteorien.

Noen egenskaper

Fra definisjonen av de harmoniske tallene følger at de alltid vil oppfylle sammenhengen

$H_{n}=H_{n-1}+{\frac {1}{n}}$

Dette er en rekursjonsrelasjon hvorfra man kan beregne alle sammen med utgangspunkt i H₁ = 1. De 10 første er:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Hn	1	${\frac {3}{2}}$	${\frac {11}{6}}$	${\frac {25}{12}}$	${\frac {137}{60}}$	${\frac {49}{20}}$	${\frac {363}{140}}$	${\frac {761}{280}}$	${\frac {7129}{2520}}$	${\frac {7381}{2520}}$

De er alle brøker med partall i nevner og oddetall i teller. Størrelsen av dem øker jevnt, men svært langsomt. Det harmoniske tallet med n = 10⁶  ledd i summen, er ikke større enn omtrent 15.

Et mer nøyaktig bilde av denne økningen får man ved å gi det harmoniske tallet H_n  et geometrisk innhold. Det er gitt ved en sum som kan betraktes som arealet til n rektangler, hver med sidekanter 1 og 1/k. Når man sammenligninger dette med arealet under kurven y = 1/x  fra x = 1 til x = n + 1, vil det være litt mindre enn summen over alle rektanglene som hver har en del over kurven. Derfor er

$H_{n}>\int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}=\ln(n+1)$

slik at de harmoniske tallene øker logaritmisk med indeksen n. Mer presist viste Euler at differansen H_n - ln n  konvergerer mot en bestemt verdi γ når n blir veldig stor. Denne verdien er i ettertid blitt kalt Euler-Mascheronis konstant og er definert som

$\gamma =\lim _{n\to \infty }(H_{n}-\ln n)=0.57721\,56649\cdots$

Euler undersøkte også hvor raskt denne konstante verdien fremkommer i summasjonen. Han hadde samtidig utviklet en nye metode som i dag kalles Euler-MacLaurins formel, for å kunne utføre slike summasjoner på en mer effektiv måte. Den gir et tilnærmet svar som kan finnes fra

$H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\mathcal {O}}\!\left({\frac {1}{n^{4}}}\right)$

Ved å ta med tilstrekkelig mange ledd i denne formelen, kan man oppnå så stor nøyaktighet som ønskelig. Uansett hvilken metode som benyttes, må de oppnådde resultat alltid oppfylle ulikhetene

${1 \over 2n+2}<H_{n}-\ln n-\gamma <{1 \over 2n}.$

Generalisering

Euler viste at de harmoniske tallene kan formelt beregnes fra integralet

$H_{n}=\int _{0}^{1}\!dt\,{\frac {1-t^{n}}{1-t}}$

som han fant ved å integrere hvert ledd i identiteten

${\frac {1-t^{n}}{1-t}}=1+t+\cdots +t^{n-1}$

Det er lett å vise at denne definisjonen oppfyller den fundamentale egenskapen for disse tallene, nemlig at

$H_{n+1}=\int _{0}^{1}\!dt\,{\frac {1-t^{n+1}}{1-t}}=\int _{0}^{1}\!dx\,{\Big (}{\frac {1-t^{n}}{1-t}}+t^{n}{\Big )}=H_{n}+{1 \over n+1}$

Integralet eksisterer ikke bare for heltallige verdier av n, men mer generelt når n er et positivt, reelt tall. Det kan derfor benyttes til å finne harmoniske tall for ikke-heltallige verdier av n. For eksempel, så fant Euler selv at

$H_{1/2}=2-2\ln 2$

Harmoniske tall er senere gitt en enda større generalisering ved at de kan defineres ut fra digammafunksjonen ψ(z) som eksisterer for komplekseverdier z. Denne funksjonen er gitt ved den deriverte av gammafunksjonen og er en analytisk funksjon. Dermed kan man definere harmoniske tall for komplekse indekser ved sammenhengen

$H_{z}=\gamma +\psi (z+1)$

Ved her å benytte definisjonen av digammafunksjonen, har man dermed

$H_{z}=\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+z}}\right)$

Når z er et positivt heltall n, reduseres denne uendelige summen til den opprinnelige definisjonen av H_n.

Spesielle rekker

Harmoniske tall dukker opp i mange forskjellige sammenhenger. Spesielt innen tallteori har de betydning som Euler var den første til å påpeke i etableringen av det som i ettertid ble kalt for Riemanns zetafunksjon ζ(z). Han kunne da rundt 1740 eksakt utføre den spesielle summasjonen

$\sum _{n=1}^{\infty }{H_{n} \over n^{2}}=2\zeta (3)$

Kort tid deretter viste hans venn og kollega Christian Goldbach på samme måte at

$\sum _{n=1}^{\infty }{H_{n} \over n^{3}}={5 \over 4}\zeta (4)={\pi ^{4} \over 72}$

da zetafunksjonen for like heltallsargument er gitt ved kjente Bernoulli-tall. Senere er mange lignenede summasjoner av harmoniske tall gjennomført.

Litteratur

• W. Dunham, Euler: The Master of Us All, The Mathematical Association of America (1999). ISBN 0-88385-328-0.
• J. Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, New Jersey (2003). ISBN 0-691-09983-9.

Eksterne lenker

• E.W. Weisstein, MathWorld, Harmonic Number