Środek masy

Środek masy ciała lub układu ciał – punkt charakteryzujący rozkład masy w ciele, określony tak, by w opisie ruchu ciała zastąpić je punktem materialnym.

Środek masy, w którym skupiona jest cała masa w opisie układu jako masy punktowej. Pojęcie to jest wykorzystywane także w geometrii.

Wzór

Wzór na wektor wodzący środka masy:

${\vec {r}}_{0}={\frac {\sum _{k}m_{k}{\vec {r}}_{k}}{\sum _{k}m_{k}}}.$

Powyższa zależność dla ośrodków ciągłych, zapisana w postaci wyrażeń całkowych, wiąże środek masy z rozkładem gęstości $\rho$ w przestrzeni za pomocą zależności:

${\vec {r}}_{0}={\frac {1}{M}}\int \limits _{V}\rho {\vec {r}}dV,$

$M=\int \limits _{V}\rho dV,$

przy czym:

• ${\vec {r}}_{0}$ – wektor wodzący środka masy,
• $M$ – masa ciała,
• $V$ – objętość ciała,
• $\rho =\rho (x,y,z)$ – funkcja gęstości ciała.

W przeciwieństwie do środka ciężkości, środek masy nie jest związany z żadnym oddziaływaniem. Dla ciała znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy.

Środek geometryczny

Środek geometryczny zdefiniowany jest podobnie jak środek masy, ale nie uwzględnia się gęstości.

Położenie środka geometrycznego układu punktów określa wektor:

${\vec {r}}_{0}={\frac {\sum \limits _{k}^{N}{\vec {r}}_{k}}{N}},$

gdzie $N$ – liczba elementów układu.

Położenie środka geometrycznego bryły jest dane wektorem

${\vec {r}}_{0}={\frac {1}{V}}\int \limits _{V}{\vec {r}}dV.$

Możliwe jest także obliczanie środka geometrycznego powierzchni dwuwymiarowych lub krzywych w przestrzeni trójwymiarowej (zob. np. wielościan dualny).

Położenie środka geometrycznego powierzchni jest zdefiniowane wektorem

${\vec {r}}_{0}={\frac {1}{S}}\int \limits _{S}{\vec {r}}dS,$

a dla krzywych

${\vec {r}}_{0}={\frac {1}{L}}\int \limits _{L}{\vec {r}}dL,$

gdzie:

• $S$ – pole powierzchni,
• $dS$ – element powierzchni,
• $L$ – długość krzywej,
• $dL$ – element krzywej,

a całkowanie przebiega po całej powierzchni lub całej krzywej.

Zobacz też

• środek ciężkości

Linki zewnętrzne

• JoannaJ. Jaszuńska JoannaJ., Środek ciężkości, „Delta”, listopad 2011, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-01] .
• JoannaJ. Jaszuńska JoannaJ., Środek ciężkości II, „Delta”, grudzień 2011, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-01] .
• Bartłomiej Bzdęga, Geometria (dla) mas, Poznański Portal Matematyczny, matematyka.poznan.pl, 18 listopada 2017 [dostęp 2024-10-05].