Rozkład chi kwadrat

Rozkład chi kwadrat

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta Kolory odpowiadają wykresowi powyżej
Parametry	$k>0$ stopni swobody
Nośnik	$x\in [0;+\infty )$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}$
Dystrybuanta	${\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}$
Wartość oczekiwana (średnia)	$k$
Mediana	około $k-2/3$
Moda	$k-2\,{\mbox{ dla }}k\geqslant 2$
Wariancja	$2\,k$
Współczynnik skośności	${\sqrt {8/k}}$
Kurtoza	$12/k$
Entropia	${\frac {k}{2}}\!+\!\ln(2\Gamma (k/2))+{}$ ${}+(1\!-\!k/2)\psi (k/2)$
Funkcja tworząca momenty	$(1-2\,t)^{-k/2}{\mbox{ dla }}2\,t<1$
Funkcja charakterystyczna	$(1-2\,i\,t)^{-k/2}$
Odkrywca	Ronald Fisher

Rozkład chi kwadrat (zapisywany także jako $\chi ^{2}$) – rozkład zmiennej losowej, która jest sumą $k$ kwadratów niezależnych zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym. Liczbę naturalną $k$ nazywa się liczbą stopni swobody rozkładu zmiennej losowej.

Jeżeli ciąg niezależnych zmiennych losowych $X_{i}\sim N(0,1)$ oraz:

$Y=\sum _{i=1}^{k}(X_{i})^{2},$

to:

$Y\sim \chi _{k}^{2},$

czyli słownie: Zmienna losowa $Y$ ma rozkład chi kwadrat o $k$ stopniach swobody.

Rozkład chi kwadrat ma duże znaczenie w statystyce, między innymi w teście chi-kwadrat, który wziął od niego swoją nazwę.