Função de Heaviside

Gráfico da função de Heaviside

Em matemática e estatística, a função de Heaviside (ou função degrau), desenvolvida pelo matemático e engenheiro eletricista Oliver Heaviside, é uma função singular e descontínua com valor zero quando o seu argumento é negativo e valor unitário quando o argumento é positivo. Nos casos em que o argumento é nulo seu valor assume a média dos limites laterias da função (pela esquerda e pela direita) calculados no ponto em que a abscissa vale "a". Normalmente a função é usada como uma distribuição, mas costuma-se definir por:

$U(x)={\frac {1+\operatorname {sgn}(x)}{2}}={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0\end{cases}}\;\;\;\;\;(1)$

sendo sgn a função sinal.

A função de Heaviside com descontinuidade em x = a é da forma:

$U(x-a)={\begin{cases}0,&x<a\\{\frac {1}{2}},&x=a\\1,&x>a\end{cases}}\;\;\;\;\;$

A função de Heaviside admite diversas representações. Em especial, como limite de funções contínuas, ver seção correspondente.

Aproximações contínuas para a função de Heaviside

A expressão (1) define U(x) como uma função descontínua. Em algumas aplicações, é útil partir de funções contínuas adequadas e definir U(x) como um limite. Por exemplo:

$U(x)\;=\;\lim _{\epsilon \to 0}\left[{\frac {1}{2}}\;+\;{\frac {1}{\pi }}\;\arctan \left({\frac {x}{\epsilon }}\right)\right]\;\;\;\;\;(2a)$

$U(x)\;=\;\lim _{\epsilon \to 0^{-}}\;{\frac {1}{2}}\;{\text{erfc}}\left({\frac {x}{\epsilon }}\right)\;\;\;\;\;(2b)$

$U(x)\;=\;\lim _{\epsilon \to 0}\left[{\frac {1}{2}}\;+\;{\frac {1}{\pi }}\;Si\left({\frac {\pi x}{\epsilon }}\right)\right]\;\;\;\;\;(2c)$

$U(x)\;=\;\lim _{\epsilon \to 0}\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\epsilon }}\;{\text{rect}}\left({\frac {u}{\epsilon }}\right)du\;\;\;\;\;(2d)$

$U(x)\;=\;\lim _{\epsilon \to 0}\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\epsilon }}\;{\text{tri}}\left({\frac {u}{\epsilon }}\;-\;{\frac {1}{2}}\right)du\;\;\;\;\;(2e)$

$U(x)\;=\;\lim _{\epsilon \to 0+}\left[1\;-\;e^{-\left({\frac {x}{\epsilon }}\right)}\right]\;\;\;\;\;(2f)$

onde erfc(x) é a função erro complementar = 1 - erf(x), Si é a função seno integral, rect é a função retangular e tri(x) é a função triangular.

Relação com outras funções

Função sinal

A expressão (1) deixa clara a relação algébrica entre U(x) e sgn(x). Podemos escrever também:

$\operatorname {sgn}(x)\;=\;2U(x)\;-\;1\;\;\;\;\;(3a)$

Delta de Dirac

A distribuição (ou função generalizada) Delta de Dirac δ(x) pode ser vista informalmente como a derivada da função de passo de Heaviside. De outra maneira, ao efetuarmos a diferença entre duas funções degrau, como U(x-(a-ε/2))-U(x-(a+ε/2)) (com ε positivo), e tendermos o valor de ε à zero, temos que o valor da diferença tende à infinito e assume o valor de Função Delta de Dirac. Nesse processo impõe-se que a área abaixo do gráfico da diferença das Heavisides seja constante e com valor unitário. Ou seja, define-se:

$U(x)=\int _{-\infty }^{x}\delta (u)\;du\;\;\;\;\;(3b)$

$\delta (x)={\frac {d}{dx}}\;U(x)\;\;\;\;\;(3c)$

Mais formalmente, pode-se escrever (3c) da seguinte maneira:

$\delta (x)=\lim _{\epsilon \to 0}\;{\frac {d}{dx}}\;U(\epsilon ,x)$

com U(ε,x) dada por alguma das expressões (2a) a (2f), que são diferenciáveis em x = 0.

Função retangular

A função retangular pode ser escrita como:

${\text{rect}}(x)\;=\;U\left(x\;+\;{\frac {1}{2}}\right)\;-\;U\left(x\;-\;{\frac {1}{2}}\right)\;\;\;\;\;(3d)$

Função pulso

Uma função importante em aplicações é a função pulso, definida por:

Função pulso: pode ser representada pela subtração de funções de Heaviside, em que para valores entre a e b, onde a < b, a função resultante tem valor unitário, e para valores menores que a e maiores que b a função é nula.

$p(x)={\begin{cases}0,&x<a\\1,&a\leqslant x\leqslant b\\0,&x>b\end{cases}}\;\;\;\;\;$

Ela é representada em termos da diferença de duas funções de Heaviside:

$p(x)=U(x-a)-U(x-b),a<b$

Gráfico da função de heaviside como processo de limite da função rampa

Função de Heaviside como processo de limite da função rampa

Também chamada de aproximação linear da função de Heaviside, é utilizada quando se torna necessário definir a transição 0 e ε. Para isso, supomos que tal ocorre de forma linear. Definimos a função:

$U\epsilon (t)={\begin{cases}0,&t\leqslant 0\\{\frac {t}{\epsilon }},&0\leq t\leq {\epsilon }\\1,&t>a\end{cases}}\;\;\;\;\;$

Sabendo que ε é um numero infinitamente pequeno, pode-se interpretar a função U(t) como:

$U(t)=\lim _{\epsilon \to 0+}\;U\epsilon (t)$

Ou seja, quanto menor o valor de ${\epsilon }$, mais íngreme é a rampa resultante e, quando o mesmo tende a zero, a função tende a infinito naquele ponto, resultando na Delta de Dirac.

Transformada de Laplace da função de Heaviside

A transformada de Laplace da função de Heaviside é obtida direto da definição. Considerando a > 0:

${\mathcal {L}}({U}(t-a))=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-st}U(t-a)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{a}\mathrm {e} ^{-st}*0\ +\int _{a}^{\infty }\mathrm {e} ^{-st}*1\,\mathrm {d} t={\frac {e^{-as}}{s}}$

Caso particular em que a = 0

${\mathcal {L}}({U}(t-0))=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-st}U(t-0)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-st}*1dt\ ={\frac {1}{s}}$

Visto que a função de Heaviside assume valor 1 a partir de a = 0, a mesma possui a mesma transformada de Laplace que o inteiro 1.

Aproximações analíticas

Para uma aproximação suave da função degrau, pode-se usar a função logística:

$H(x)\approx {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh kx={\frac {1}{1+e^{-2kx}}}$

onde $k$ muito alto corresponde a uma transição mais nítida em $x=0$. Pega-se $H(0)=\left({\frac {1}{2}}\right)$, a igualdade se mantém no limite:

$H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\tfrac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{1+e^{-2kx}}}$

Há outras aproximações analíticas suaves para a função degrau. Algumas possibilidades são:

${\begin{aligned}H(x)&=\lim _{k\rightarrow \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arctan kx\right)\\H(x)&=\lim _{k\rightarrow \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {erf} kx\right)\end{aligned}}$

Esses limites se mantêm pontuais e no sentido de distribuições. Em geral, no entanto, a convergência pontual não precisa implicar em convergência distributiva, e vice-versa, convergência distributiva não precisa implicar em convergência pontual. (Entretanto, se todos os membros de uma seqüência convergente de funções pontuais estiverem uniformemente limitados por alguma função "legal", a convergência também se mantém no sentido de distribuições.

Forma analítica

Embora as aproximações analíticas da função degrau unitária sejam conhecidas e utilizadas há muito tempo, apenas recentemente foi encontrada uma expressão analítica exata:

$H(x)={\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {3\pi }{4}}+\arctan \left(x-1\right)+\arctan \left({\frac {2-x}{x}}\right)\right]$

No entanto, esta função é mal definida na origem, pois H (0) diverge.

Aplicações função de Heaviside

• Na área de mecânica dos sólidos costuma-se representar matematicamente os carregamentos retangulares uniformes com a Função de Heaviside, entre outras funções singulares;
• Na eletricidade usa-se do artificio oferecido pela função degrau para representar chaves que ligam e desligam.

Circuito RC em série, onde ε é a fonte de alimentação

• Circuito RC:

Supondo um circuito RC com capacitor inicialmente descarregado ( q(0) = 0) , capacitância e resistências desconhecidas e com a tensão ligada no instante a e desligada no instante b, deseja-se saber a corrente que passa pelo sistema:

1. $v(t)=vo(u(t-a)-u(t-b))$
2. $v(t)=R*i(t)+{\frac {1}{C}}*(q0+\int \limits _{0}^{\infty }i(\tau )d\tau )$

• Aplicando-se transformada de Laplace

1. $R*{\mathcal {L}}\{i(t)\}+{\frac {1}{C}}{\mathcal {L}}\{\int \limits _{0}^{t}i(\tau )d\tau \}={\mathcal {L}}\{v(t)\}$
2. $R*I(s)+{\frac {1}{C}}*{\frac {I(s)}{s}}=v0[{\frac {e^{-as}}{s}}-{\frac {e^{-bs}}{s}}]$
3. $I(s)={\frac {v0C}{RCs+1}}*[e^{-as}-e^{-bs}]={\frac {v0}{R}}*{\frac {1}{s+{\frac {1}{RC}}}}*[e^{-as}-e^{-bs}]$
   

• Aplicando-se a transformada inversa de Laplace

1. ${\mathcal {L}}^{-1}\{I(s)\}={\frac {v0}{R}}*{\mathcal {L}}^{-1}\{{\frac {1}{s+{\frac {1}{RC}}}}*e^{-as}-{\frac {1}{s+{\frac {1}{RC}}}}*e^{-bs}\}$

   

   Gráfico da corrente em um circuito RC ligado e desligado em período a+b

2. $i(t)={\frac {v0}{R}}*[u(t-a)e^{-{\frac {t-a}{RC}}}-u(t-b)e^{-{\frac {t-b}{RC}}}]$

Com isso chegamos na seguinte expressão para a corrente num circuito RC com capacitância e resistência desconhecidos cuja fonte é ligada e desligada em instantes a e b, respectivamente:

$i(t)={\begin{cases}0,&t<a\\{\frac {vo}{R}}e^{-{\frac {t-a}{RC}}},&a<t<b\\{\frac {vo}{R}}e^{-{\frac {t-a}{RC}}}[e^{\frac {a}{RC}}-e^{\frac {b}{RC}}],&t>b\end{cases}}\;\;\;\;\;$

Ligações externas

• Funções características