Intervalo (matemática)

Em Matemática, um intervalo (real) é um conjunto que contém cada número real entre dois extremos indicados, podendo ou não conter os próprios extremos. Por exemplo: um conjunto cujos elementos são maiores ou iguais a 0 e menores ou iguais a 1 (isto é, 0 ≤ x ≤ 1, sendo x um elemento qualquer pertencente ao conjunto em questão) é um intervalo que contém os extremos 0 e 1, bem como todos os números reais entre eles. Outros exemplos de intervalos são o conjunto dos números reais $\mathbb {R}$ e o conjunto dos números reais negativos.

Representação geométrica de um exemplo de intervalo. Neste caso, tem-se que $b>a$, pois a reta real é orientada para a direita e, portanto, cresce nesse sentido. As "bolinhas vazias" nos extremos $a$ e $b$ indicam que esses números não pertencem ao intervalo. Logo, qualquer número real menor ou igual a $a$ não pertence a esse intervalo, assim como qualquer número real maior ou igual a $b$.

Os extremos podem ser números reais como também podem ser $-\infty$ e $+\infty$. Existem divergências na literatura sobre se o conjunto vazio deveria ser ou não ser considerado um intervalo. Quando o conjunto vazio é considerado um intervalo, a família de intervalos é fechada sobre a operação de intersecção.

Representação

Notações comuns para representar intervalos são:

• $(a,b)=]a,b[=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}$: intervalo aberto
• $[a,b)=[a,b[=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\}$: intervalo semi-fechado ou semi-aberto
• $(a,b]=]a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\}$: intervalo semi-aberto ou semi-fechado
• $[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}$: intervalo fechado
• $[a,+\infty )=[a,+\infty [=\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq a\}$: intervalo fechado
• $(a,+\infty )=]a,+\infty [=\{x\in \mathbb {R} \mid x>a\}$: intervalo aberto
• $(-\infty ,a]=]-\infty ,a]=\{x\in \mathbb {R} \mid x\leq a\}$: intervalo fechado
• $(-\infty ,a)=]-\infty ,a[=\{x\in \mathbb {R} \mid x<a\}$: intervalo aberto
• $(-\infty ,+\infty )=]-\infty ,+\infty [=\mathbb {R}$: a reta toda é um intervalo aberto e fechado
• $\emptyset$: conjunto vazio, quando considerado um intervalo, é um intervalo aberto e fechado.

O intervalo [a,a]={a} é formado por um único elemento e chamado de intervalo degenerado.

Explicação

• ] ou ( → No começo da representação significa que o ponto do extremo esquerdo não está incluído.
• [ → No começo da representação significa que o ponto do extremo esquerdo está incluído.
• ] → No final da representação significa que o ponto do extremo direito está incluído.
• [ ou ) → No final da representação significa que o ponto do extremo direito não está incluído.
• ° → bolinha vazada significa que esse número está excluído.
• • → bolinha preenchida significa que ele está incluído.

Ligações externas

• «Centros de pesquisa de computação com intervalos» (em inglês)