În matematică , o matrice (plural matrice [ 1] matrici [ 2] numere , sau mai general, de elemente ale unei structuri algebrice de tip inel . Prin generalizare, pot fi definite matrice cele care au mai mult decât 2 dimensiuni, ele numindu-se atunci matrici n -dimensionale. Dacă m = n , matricea este pătrată
Se numește matrice cu m linii și n coloane (de tip
m
×
n
{\displaystyle m\times n\!}
m linii și n coloane:
(
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋯
⋯
⋯
⋯
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}\!}
ale cărui elemente
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}\!}
numere complexe .
Uneori această matrice se notează cu indici ,
A
=
(
a
i
j
)
,
{\displaystyle A=\left(a_{ij}\right),}
i
=
1
,
m
¯
{\displaystyle i={\overline {1,m}}}
j
=
1
,
n
¯
.
{\displaystyle j={\overline {1,n}}.}
Pentru elementul
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
i arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice, j , indică pe ce coloană este situat.
Mulțimea matricilor de tip
m
×
n
{\displaystyle m\times n\!}
numere reale se notează prin
M
m
,
n
(
R
)
.
{\displaystyle M_{m,n}(\mathbb {R} ).}
M
m
,
n
(
Z
)
,
M
m
,
n
(
Q
)
,
M
m
,
n
(
C
)
.
{\displaystyle M_{m,n}(\mathbb {Z} ),M_{m,n}(\mathbb {Q} ),M_{m,n}(\mathbb {C} ).}
1. O matrice de tipul
1
×
n
{\displaystyle 1\times n\!}
n coloane) se numește matrice linie și are forma:
A
=
(
a
1
a
2
⋯
a
n
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}}
2. O matrice de tipul
m
×
1
{\displaystyle m\times 1\!}
m linii și o coloană) se numește matrice coloană și are forma:
B
=
(
a
1
a
2
⋯
a
m
)
{\displaystyle B={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\cdots \\a_{m}\end{pmatrix}}}
3. O matrice de tip
m
×
n
{\displaystyle m\times n\!}
nulă matrice zero ) dacă toate elementele ei sunt zero.
Se notează cu O :
O
=
(
0
0
⋯
0
0
0
⋯
0
⋯
⋯
⋯
⋯
0
0
⋯
0
)
{\displaystyle O={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}}
4. Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numește pătrată :
A
=
(
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋯
⋯
⋯
⋯
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}
Sistemul de elemente
(
a
11
a
22
⋯
a
n
n
)
{\displaystyle (a_{11}\;a_{22}\;\cdots \;a_{nn})\!}
diagonala principală A , iar suma acestor elemente se numește urma matricei A notată:
T
r
(
A
)
=
∑
i
=
1
n
a
i
i
.
{\displaystyle Tr(A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}.}
Mulțimea matricelor pătrate se notează
M
n
(
C
)
.
{\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} ).\!}
I
n
=
(
1
0
⋯
0
0
1
⋯
0
⋯
⋯
⋯
⋯
0
0
⋯
1
)
{\displaystyle I_{n}={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}}
și se numește matrice unitate 1 , iar în rest sunt egale cu 0 ).
Fie
A
=
(
a
i
,
j
)
{\displaystyle A=(a_{i,j})}
B
=
(
b
i
,
j
)
∈
M
m
,
n
(
C
)
{\displaystyle B=(b_{i,j})\in M_{m,n}(C)}
A
,
B
{\displaystyle A,B}
egale și se scrie
A
=
B
{\displaystyle A=B}
a
i
,
j
=
b
i
,
j
,
∀
i
,
j
=
1
,
n
¯
{\displaystyle a_{i,j}=b_{i,j},\forall i,j={\overline {1,n}}}
Fie
A
=
(
a
i
,
j
)
∈
M
n
,
n
(
C
)
{\displaystyle A=(a_{i,j})\in M_{n,n}(C)}
Transpusa matricei
A
T
=
B
=
(
b
i
,
j
)
∈
M
n
,
m
(
C
)
{\displaystyle A^{T}=B=(b_{i,j})\in M_{n,m}(C)}
b
i
,
j
=
a
j
,
i
∀
i
=
1
,
n
¯
;
=
1
,
m
¯
{\displaystyle b_{i,j}=a_{j,i}\forall i={\overline {1,n}};={\overline {1,m}}}
Fie matricea pătrată
A
=
(
a
i
,
j
)
∈
M
n
,
n
(
C
)
{\displaystyle A=(a_{i,j})\in M_{n,n}(C)}
A
{\displaystyle A}
simetrică
a
i
,
j
=
a
j
,
i
,
∀
i
,
j
=
1
,
n
¯
{\displaystyle a_{i,j}=a_{j,i},\forall i,j={\overline {1,n}}}
Fie
A
=
(
a
i
j
)
,
B
=
(
b
i
j
)
,
C
=
(
c
i
j
)
∈
M
m
,
n
(
C
)
.
{\displaystyle A=(a_{ij}),\;B=(b_{ij}),\;C=(c_{ij})\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).\!}
Matricea C se numește suma matricelorA , B dacă:
c
i
j
=
a
i
j
+
b
i
j
,
∀
i
=
1
,
m
¯
,
∀
j
=
1
,
n
¯
.
{\displaystyle c_{ij}=a_{ij}+b_{ij},\;\forall i={\overline {1,m}},\forall j={\overline {1,n}}.}
Observații. 1. Două matrice se pot aduna dacă sunt de același tip , adică au același număr de linii și același număr de coloane, deci
A
,
B
∈
M
m
,
n
(
C
)
.
{\displaystyle A,B\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).}
2. Explicit, adunarea matricelor A, B înseamnă:
(
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋯
⋯
⋯
⋯
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
)
+
(
b
11
b
12
⋯
b
1
n
b
21
b
22
⋯
b
2
n
⋯
⋯
⋯
⋯
b
m
1
b
m
2
⋯
b
m
n
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\end{pmatrix}}=}
=
(
a
11
+
b
11
a
12
+
b
12
⋯
a
1
n
+
b
1
n
a
21
+
b
21
a
22
+
b
22
⋯
a
2
n
+
b
2
n
⋯
⋯
⋯
⋯
a
m
1
+
b
m
1
a
m
2
+
b
m
2
⋯
a
m
n
+
b
m
n
)
.
{\displaystyle ={\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}}.}
Asociativitatea adunăriiasociativă
(
A
+
B
)
+
C
=
A
+
(
B
+
C
)
,
∀
A
,
B
,
C
∈
M
m
,
n
(
C
)
.
{\displaystyle (A+B)+C=A+(B+C),\;\forall A,B,C\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).}
Comutativitatea adunăriicomutativă
A
+
B
=
B
+
A
,
∀
A
,
B
∈
M
m
,
n
(
C
)
.
{\displaystyle A+B=B+A,\;\forall A,B\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).}
Element neutru matricea nulă ca element neutru , adică:
∃
O
m
,
n
∈
M
m
,
n
(
C
)
{\displaystyle \exists O_{m,n}\in M_{m,n}(\mathbb {C} )\!}
A
+
O
m
,
n
=
A
∀
A
∈
M
m
,
n
(
C
)
.
{\displaystyle A+O_{m,n}=A\;\forall A\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).}
Element opus
A
∈
M
m
,
n
(
C
)
{\displaystyle A\in M_{m,n}(\mathbb {C} )\!}
−
A
,
{\displaystyle -A,}
A
+
(
−
A
)
=
O
m
,
n
.
{\displaystyle A+(-A)=O_{m,n}.}
Fie
λ
∈
C
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }
A
=
(
a
i
j
)
∈
M
m
,
n
(
C
)
.
{\displaystyle A=(a_{ij})\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).}
produsul dintre scalarul
λ
∈
C
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} \!}
, matricea notată
λ
A
∈
M
m
,
n
(
C
)
{\displaystyle \lambda A\in M_{m,n}(\mathbb {C} )}
λ
A
=
(
λ
a
i
j
)
.
{\displaystyle \lambda A=(\lambda a_{ij}).}
Observație A înmulți o matrice cu un scalar revine la a înmulți toate elementele matricei cu acest scalar.
Deci:
λ
A
=
(
λ
a
11
λ
a
12
⋯
λ
a
1
n
λ
a
21
λ
a
22
⋯
λ
a
2
n
⋯
⋯
⋯
⋯
λ
a
m
1
λ
a
m
2
⋯
λ
a
m
n
)
.
{\displaystyle \lambda A={\begin{pmatrix}\lambda a_{11}&\lambda a_{12}&\cdots &\lambda a_{1n}\\\lambda a_{21}&\lambda a_{22}&\cdots &\lambda a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\lambda a_{m1}&\lambda a_{m2}&\cdots &\lambda a_{mn}\end{pmatrix}}.}
λ
(
μ
A
)
=
(
λ
μ
)
A
,
∀
λ
,
μ
∈
C
,
∀
A
∈
M
m
,
n
(
C
)
;
{\displaystyle \lambda (\mu A)=(\lambda \mu )A,\;\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {C} ,\;\forall A\in M_{m,n}(\mathbb {C} );}
λ
(
A
+
B
)
=
λ
A
+
λ
B
,
∀
λ
∈
C
,
∀
A
,
B
∈
M
m
,
n
(
C
)
;
{\displaystyle \lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B,\;\forall \lambda \in \mathbb {C} ,\;\forall A,B\in M_{m,n}(\mathbb {C} );}
(
λ
+
μ
)
A
=
λ
A
+
μ
A
,
∀
λ
,
μ
∈
C
,
∀
A
∈
M
m
,
n
(
C
)
;
{\displaystyle (\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A,\;\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {C} ,\;\forall A\in M_{m,n}(\mathbb {C} );}
1
⋅
A
=
A
,
1
∈
C
,
∀
A
∈
M
m
,
n
(
C
)
.
{\displaystyle 1\cdot A=A,\;1\in \mathbb {C} ,\;\forall A\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).}
Există mai multe tipuri de produse ale matricilor . Operația prezentată în continuare este cunoscută sub denumirea de înmulțirea matricială .[ 3]
Fie
A
=
(
a
i
k
)
∈
M
m
,
n
(
C
)
,
B
=
(
b
k
j
)
∈
M
n
,
p
(
C
)
.
{\displaystyle A=(a_{ik})\in M_{m,n}(\mathbb {C} ),\;B=(b_{kj})\in M_{n,p}(\mathbb {C} ).}
Produsul dintre matricele A și B (în această ordine), notat
A
B
{\displaystyle AB}
C
=
(
c
i
j
)
∈
M
m
,
p
(
C
)
,
{\displaystyle C=(c_{ij})\in M_{m,p}(\mathbb {C} ),}
c
i
j
=
∑
k
=
1
n
a
i
k
b
k
j
,
∀
i
=
1
,
m
¯
,
j
=
1
,
p
¯
.
{\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj},\;\forall i={\overline {1,m}},j={\overline {1,p}}.}
Observații Produsul
A
B
{\displaystyle AB}
A
∈
M
m
,
n
(
C
)
,
B
∈
M
n
,
p
(
C
)
,
{\displaystyle A\in M_{m,n}(\mathbb {C} ),B\in M_{n,p}(\mathbb {C} ),}
numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B , când se obține o matrice
C
=
A
B
∈
M
m
,
p
(
C
)
.
{\displaystyle C=AB\in M_{m,p}(\mathbb {C} ).}
Dacă matricele sunt pătrate
A
,
B
∈
M
n
(
C
)
{\displaystyle A,B\in M_{n}(\mathbb {C} )}
A
B
{\displaystyle AB}
B
A
,
{\displaystyle BA,}
A
B
≠
B
A
{\displaystyle AB\neq BA}
comutativă .
Asociativitatea înmulțiriiÎnmulțirea matricelor este asociativă, adică:
(
A
B
)
C
=
A
(
B
C
)
,
∀
A
∈
M
m
,
n
(
C
)
,
∀
B
∈
M
n
,
p
(
C
)
,
∀
C
∈
M
p
,
r
(
C
)
,
{\displaystyle (AB)C=A(BC),\;\forall A\in M_{m,n}(\mathbb {C} ),\;\forall B\in M_{n,p}(\mathbb {C} ),\;\forall C\in M_{p,r}(\mathbb {C} ),}
Distributivitatea înmulțirii față de adunare
(
A
+
B
)
C
=
A
C
+
B
C
,
C
(
A
+
B
)
=
C
A
+
C
B
,
∀
A
,
B
,
C
{\displaystyle (A+B)C=AC+BC,\;C(A+B)=CA+CB,\;\forall A,B,C}
matrice pentru care au sens operațiile de adunare și înmulțire.
Dacă
I
n
∈
M
n
(
C
)
{\displaystyle I_{n}\in M_{n}(\mathbb {C} )}
matricea unitate , atunci:
I
n
A
=
A
I
n
=
A
,
∀
A
∈
M
n
(
C
)
.
{\displaystyle I_{n}A=AI_{n}=A,\;\forall A\in M_{n}(\mathbb {C} ).}
se spune că
I
n
{\displaystyle I_{n}\!}
element neutru .
Dacă
A
=
(
a
i
j
)
∈
M
n
(
K
)
,
{\displaystyle A=(a_{ij})\in {\mathcal {M}}_{n}(K),}
K , atunci numărul:
d
e
t
(
A
)
=
∑
σ
∈
S
n
ε
(
σ
)
a
1
σ
(
1
)
⋯
a
n
σ
(
n
)
{\displaystyle det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\varepsilon (\sigma )a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)}}
se numește determinantul A .
^ Forma matrice este impusă de Dicționarul ortografic, ortoepic și morfologic al limbii române (2005).
^ Forma matrici apare în tratate de specialitate și cursuri universitare, de exemplu:Iacob, Caius (1957 ). „VIII.B - Matrici. Grupuri. Spații lineare”. Curs de matematici superioare . București: Editura Tehnică. pp. 808–851. Țițeica, Șerban : Mecanică cuantică , Editura Academiei RSR, București, 1984, V: Spații vectoriale finit-dimensionale, pp. 83–108.
^ Anca Ignat, Calcul numeric Arhivat în 13 iunie 2023 , la Wayback Machine . (curs 2, 2022, p. 2), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași , accesat 2023-06-13
Academia Română , Institutul de Lingvistică „Iorgu Iordan - Al. Rosetti”, Dicționarul ortografic, ortoepic și morfologic al limbii române , Ediția a II-a revăzută și adăugită, Editura Univers Enciclopedic, București, 2005 ISBN 973-637-087-x Mădălina Roxana Buneci, Elemente de analiză matricială Tiberiu Ionescu, Grafuri, aplicații , vol. I, (pp.71-143 & passim) Editura Didactică și Pedagogică, București - 1973;
Alexandru Al. Roșu, Teoria grafelor, algoritmi, aplicații (cap. 4. Matrice asociate grafelor , pp.98-113 & passim), Editura Militară, București - 1974.