Analytisk fortsättning

Analytisk fortsättning är ett begrepp inom komplex analys, som innebär att en analytisk funktions definitionsmängd utvidgas till en större mängd så att den nya funktionen är identisk med den tidigare i det ursprungliga området och analytisk i det nya området.

Definition

Analytisk fortsättning av naturliga logaritmen (imaginära delen).

Anta att f är en analytisk funktion definierad på en icke-tom öppen delmängd U av komplexa planet C. Om V är en större öppen delmängd av C som innehåller U, och F är en analytisk funktion definierad på V så att

$F(z)=f(z)\qquad \forall z\in U$

då säges F vara en analytisk fortsättning av f. I andra ord är restriktionen av F till U samma funktion f som vi började med.

Analytiska fortsättningen av en funktion är unik på följande sätt: om V är en sammanhängande domänen av två analytiska funktioner F₁ och F₂ så att U är en delmängd av V och för alla z i U är

$F_{1}(z)=F_{2}(z)=f(z),$

då är F₁ = F₂ på hela V. Detta eftersom F₁ − F₂ är en analytisk funktion som försvinner på den öppna, sammanhängande domänen U av f och måste därmed försvinna på hela dess domän, enligt identitetssatsen.

Naturlig rand

Anta att en potensserie har konvergensradie r och definierar en analytisk funktion f inuti skivan. Betrakta punkter på skivan. En punkt för vilken det finns en omgivning i vilken f har en analytisk fortsättning är regelbunden, andra punkter är singulära. Cirkeln är en naturlig rand om alla dess punkter är singulära.

Mer allmänt kan vi göra samma definition för en godtycklig öppen sammanhängande domän på vilken f är analytisk och klassificera punkterna på domänens rand som regelbundna och singulära: domänens rand är då en naturlig rand om alla dess punkter är singulära, i vilket fall domänen säges vara en domän av analytiskhet.

Ostrowski–Hadamards gapsats

För en potensserie

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{n_{k}}$

med

$\liminf _{k\to \infty }{\frac {n_{k+1}}{n_{k}}}>1$

är cirkeln av konvergens en naturlig rand.

Pólyas sats

Låt

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}$

vara en godtycklig potensserie. Då finns det en följd av ε_k ∈ {−1, 1} så att

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\varepsilon _{k}\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}$

har konvergensskivan av f runt z₀ som en naturlig rand.

Beviset av detta resultat använder sig av Hadamards gapsats.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Analytic continuation, 18 januari 2015.

• Lars Ahlfors (1979). Complex Analysis (3). McGraw-Hill. sid. 172, 284 
• Ludwig Bieberbach (1955). Analytische Fortsetzung. Springer-Verlag 
• P. Dienes (1957). The Taylor series: an introduction to the theory of functions of a complex variable. New York: Dover Publications, Inc