เซต (คณิตศาสตร์)

อินเตอร์เซกชันของเซตสองเซต คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในเซตทั้งสองเซต ดังแสดงในแผนภาพเวนน์

ในทางคณิตศาสตร์ เซต (อังกฤษ: set) เป็นกลุ่มหรือหมู่ของสิ่งต่าง ๆ^[1]^[2]^[3] ซึ่งเรียกว่า สมาชิก สมาชิกในเซตอาจเป็นวัตถุในคณิตศาสตร์ใดก็ได้ เช่น จำนวน สัญลักษณ์ จุดในปริภูมิ เส้นตรง หรือแม้กระทั่งเซตอื่น ๆ^[4] เราสามารถดำเนินการกับเซตได้ เช่น ยูเนียนของเซตสองเซตเป็นการรวมสมาชิกของเซตสองเซตเข้าด้วยกัน อินเตอร์เซกชันของเซตสองเซตเลือกเอาเฉพาะสมาชิกที่ปรากฏในเซตสองเซต และยังมีความสัมพันธ์ระหว่างเซตอื่น เช่น การเป็นสับเซต เป็นพื้นฐานสำคัญของเซตทั้งสิ้น

เซตถูกกล่าวถึงเป็นครั้งแรกในศตวรรษที่ 19 พร้อมกับทฤษฎีเซตซึ่งเป็นการศึกษาเซตโดยใช้ระบบสัจพจน์ที่รัดกุม แนวคิดเกี่ยวกับเซตนั้นมีความสามารถพอจนทำให้วัตถุในคณิตศาสตร์สามารถนิยามผ่านเซตได้แทบทั้งหมด และบทพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนให้อยู่ในภาษาของเซตได้อย่างรัดกุม^[5] ดังนั้นเซตจึงพบได้ทั่วไปในคณิตศาสตร์ปัจจุบัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลซึ่งเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์แทบทุกสาขา^[4]

ต้นกำเนิดของเซต

แนวความคิดเกี่ยวกับเซตปรากฏเริ่มต้นในช่วงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 19^[6] แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโนใช้คำว่าเซต (Menge) ในภาษาเยอรมันเป็นคนแรกในงานชื่อ Paradoxien des Unendlichen (ปฏิทรรศน์ของอนันต์)^[7]^[8]^[9]

ในส่วนเริ่มแรกของ Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre โดย เกออร์ก คันทอร์ (Georg Cantor) ผู้สร้างทฤษฎีเซตคนสำคัญ ให้นิยามของเซตเซตหนึ่งดังต่อไปนี้^[10]

โดย "เซต" เซตหนึ่ง เราหมายถึงการสะสมรวบรวมใด ๆ ที่ให้ชื่อว่า M เข้าเป็นหน่วยเดียวกันทั้งหมด ของวัตถุที่ให้ชื่อว่า m ที่แตกต่างกัน (ซึ่งเรียกว่า "สมาชิก" ของ M) ตามความเข้าใจของเรา หรือตามความคิดของเรา
— เกออร์ก คันทอร์

ทฤษฎีเซตอย่างง่าย

แนวความคิดพื้นฐานคือ เซตเป็นสิ่งที่มีสมาชิก (elements หรือ members) เซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อมีสมาชิกเดียวกัน หรืออีกนัยหนึ่ง เซต A และ B จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวที่อยู่ในเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และ สมาชิกทุกตัวที่อยู่ในเซต B เป็นสมาชิกของเซต A เรียกคุณสมบัติของเซตนี้ว่า extensionality^[11] นอกจากนี้เราอาจกำหนดเงื่อนไขของสมาชิกที่จะอยู่ในเซตได้

แนวคิดอย่างง่ายของเซตนี้ถึงแม้จะมีประโยชน์มากในคณิตศาสตร์ แต่นำไปสู่ปฏิทรรศน์ทางตรรกศาสตร์หากไม่กำหนดขอบเขตของการระบุเงื่อนไข เช่น

ปฏิทรรศน์ของรัสเซิลล์ กล่าวว่า เซตของเซตทุกเซตที่ไม่บรรจุตัวมันเอง จะมีไม่ได้
ปฏิทรรศน์ของคันทอร์ กล่าวว่า เซตของเซตทุกเซต จะมีไม่ได้

ทฤษฎีเซตอย่างง่าย (naïve set theory) แก้ปัญหาด้วยการนิยามเซตให้เป็นกลุ่มหรือหมู่ของสมาชิกที่นิยามดี แต่คำว่า นิยามดี นั้นขอบเขตกว้างจนเกินไป

ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์

เพื่อแก้ไขปฏิทรรศน์ข้างต้น จึงมีความพยายามนิยามเซตให้รัดกุมโดยใช้สัจพจน์ ในทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ถือว่าเซตเป็น อนิยาม (primitive notion)^[6]

การเขียนอธิบายเซต

ในคณิตศาสตร์นิยมแทนเซตด้วยใช้อักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่แบบตัวเอียง เช่น A, B, C^[12] นอกจากนี้แล้วอาจใช้คำว่า คอลเลกชัน วงศ์ หรือ แฟมิลี แทนเซตที่มีสมาชิกเป็นเซต

การเขียนระบุสมาชิก

วิธีการระบุเซตโดยการกำหนดสมาชิกของมันโดยเจาะจง ด้วยการใช้กฎหรือการอธิบายด้วย ภาษาทางคณิตศาสตร์ เช่น

A เป็นเซตซึ่งสมาชิกของมันเป็น เลขจำนวนเต็มบวกสี่ตัวแรก

B เป็นเซตของสีของธงชาติฝรั่งเศส

การแจกแจงสมาชิก

วิธีที่สองคือโดย การแจกแจง นั่นคือ การแจกแจกสมาชิกแต่ละตัวของเซต การนิยามเซตด้วยการแจกแจง สมาชิกจะถูกเขียนแทนด้วยการแจกแจงสมาชิกของเซตภายในวงเล็บปีกกา:

C = {4, 2, 1, 3}

D = {น้ำเงิน, ขาว, แดง}

ในตัวอย่างข้างต้น จะเห็นว่า A = C และ B = D

ลำดับที่สมาชิกของเซตถูกเรียงในการนิยามแบบแจกแจกสมาชิกไม่มีความสำคัญ เช่นเดียวกันกับจำนวนสมาชิกที่ซ้ำกันในรายการแจกแจง ตัวอย่างเช่น

{6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}

เป็นเซตที่เหมือนกันทุกประการ เพราะว่าการแจกแจงสมาชิกเซตมีความหมายเพียงว่าองค์ประกอบแต่ละตัวในรายการแจกแจงเป็นสมาชิกตัวหนึ่งของเซตนั้นแค่นั้นเอง

สำหรับเซตที่มีสมาชิกจำนวนมาก การระบุของสมาชิกสามารถเขียนอย่างย่อได้ ตัวอย่างเช่น เซตของเลขจำนวนเต็มบวกหนึ่งพันตัวแรกสามารถเขียนแบบแจกแจงได้เป็น:

{1, 2, 3, ..., 1000}

ที่ซึ่ง การเว้นถ้อยคำไว้ให้เข้าใจเอาเอง (อิลิปซิส, "...") ระบุว่ารายการแจกแจงดำเนินต่อไปในทางที่เห็นได้ชัด อิลิปซิสอาจถูกใช้ในที่ซึ่งเซตมีสมาชิกไม่จำกัด ดังเช่น เซตของเลขจำนวนเต็มคู่บวก เขียนแทนได้ว่า {2, 4, 6, 8, ... }

การใช้สัญลักษณ์การสร้างเซต

เราอาจใช้สัญลักษณ์การสร้างเซต (set-builder notation) เพื่อระบุสมาชิกในเซตได้ ตัวอย่างเช่น

E = {x | x เป็นสัญลักษณ์หน้าไพ่}

เครื่องหมายขีดคั่นหมายถึง “โดยที่” และมีเงื่อนไขเขียนด้านหลัง ดังนั้นสัญลักษณ์ข้างต้นจึงหมายถึง “เซตของ x ทั้งหมดโดยที่ x เป็นสัญลักษณ์หน้าไพ่” ดังนั้น E คือเซตซึ่งสมาชิกสี่ตัวของมันคือ ♠, ♦, ♥, และ ♣ ผู้เขียนบางคนอาจใช้สัญลักษณ์โคลอน (:) แทนเครื่องหมายขีดคั่น

เราสามารถเปลี่ยนสมการด้านหน้าเครื่องหมายขีดคั่นได้ เพื่อให้ได้เซตที่เกิดจากการดำเนินการกับสมาชิกที่กำหนดโดยเงื่อนไขที่ตามหลัง ตัวอย่างเช่น เซต F ของจำนวนที่ได้จากการยกกำลังสองแล้วลบด้วยสี่ ของจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดยี่สิบตัวแรกสามารถเขียนได้เป็น:

F = {n² - 4 : n เป็นจำนวนเต็ม และ 0 ≤ n ≤ 19}

ซึ่งมีสมาชิกเป็น -4, -3, 0, 5, …, 357

คำศัพท์และสัญลักษณ์ของเซต

เซตที่เท่ากัน เซตจะแตกต่างกันหรือไม่ขึ้นอยู่กับว่าสมาชิกต่างกันหรือไม่ โดยเซตสองเซตจะเท่ากันเมื่อมีสมาชิกเหมือนกัน
เซตจำกัดและเซตอนันต์ เซตจำกัดคือเซตที่เราสามารถระบุได้ว่ามีสมาชิกกี่ตัว เซตอนันต์คือเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด
เซตว่างคือเซตที่ไม่มีสมาชิกเลย
เอกภพสัมพัทธ์ คือเซตที่ใช้กำหนดขอบเขตของสิ่งที่กำลังพิจารณา แทนด้วย U
เซตของจำนวนบางชนิด เช่น $\mathbb {N}$ = เซตของจำนวนนับ, $\mathbb {Z}$ = เซตของจำนวนเต็ม, $\mathbb {Q}$ = เซตของจำนวนตรรกยะ, $\mathbb {R}$ = เซตของจำนวนจริง, $\mathbb {C}$ = เซตของจำนวนเชิงซ้อน
สับเซต A เป็นสับเซตของ B หมายความว่าสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B
เพาเวอร์เซต ของ A คือเซตที่ประกอบด้วยสับเซตทั้งหมดของ A เขียนแทนโดย P(A)

การดำเนินการของเซต

ยูเนียน ของ A และ B คือเซตที่เกิดจากการรวบรวมสมาชิกของ A และ B เข้าไว้ด้วยกัน
อินเตอร์เซกชัน ของ A และ B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เหมือนกันของ A และ B
ผลต่าง A – B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของ A ที่ไม่ใช่สมาชิกของ B
คอมพลีเมนต์ ของ A เขียนแทนด้วย A' คือสับเซตของ U ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่ไม่อยู่ ใน A

การนับจำนวนสมาชิกของเซต

ถ้า A เป็นเซตจำกัด เราใช้สัญลักษณ์ n(A) หรือ |A| แทนจำนวนสมาชิกของ A

สูตรการนับจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด

$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$
$n(A-B)=n(A)-n(A\cap B)$
$n(A\cup B)'=n(U)-n(A\cup B)$
$n(A)'=n(U)-n(A)$

สมบัติของเซตที่ควรทราบ

ให้ A, B, C เป็นเซตย่อยของเอกภพสัมพัทธ์ U สมบัติต่อไปนี้จะเป็นจริง

กฎการสลับที่
- $A\cup B=B\cup A$
- $A\cap B=B\cap A$
กฎการเปลี่ยนกลุ่ม
- $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$
- $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
กฎการแจกแจง
- $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
- $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
กฎการเอกลักษณ์
- $\emptyset \cup A=A$
- $\emptyset \cap A=\emptyset$

หลักการเพิ่มเข้าและตัดออก

หลักการเพิ่มเข้าและตัดออกเป็นหลักการนับที่สามารถใช้หาจำนวนสมาชิกของยูเนียนของเซตตั้งแต่สองเซตขึ้นไปได้ หากรู้จำนวนสมาชิกในอินเตอร์เซคชั่น สำหรับเซตสองเซต จะได้สมการเป็น

\left\vert A\cup B\right\vert =\left\vert A\right\vert +\left\vert B\right\vert -\left\vert A\cap B\right\vert

และสำหรับรูปแบบทั่วไปของเซตมากกว่าสามตัวจะได้ว่า

{\begin{aligned}\left|A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \ldots \cup A_{n}\right|=&\left(\left|A_{1}\right|+\left|A_{2}\right|+\left|A_{3}\right|+\ldots \left|A_{n}\right|\right)\\&{}-\left(\left|A_{1}\cap A_{2}\right|+\left|A_{1}\cap A_{3}\right|+\ldots \left|A_{n-1}\cap A_{n}\right|\right)\\&{}+\ldots \\&{}+\left(-1\right)^{n-1}\left(\left|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots \cap A_{n}\right|\right)\end{aligned}}

อ้างอิง

↑ พจนานุกรมฉบับราชบัณฑิตยสถาน พ.ศ. 2554
↑ Goldberg, Samuel (1986). Probability : an introduction. New York: Dover Publications. p. 2. ISBN 0-486-65252-1. OCLC 14356858.
↑ Goldrei 1996, p. 3.
↑ ^4.0 ^4.1 Halmos 1960, p. 1.
↑ Bagaria, Joan (2021), Zalta, Edward N. (บ.ก.), "Set Theory", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2021 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, สืบค้นเมื่อ 2022-01-03
↑ ^6.0 ^6.1 Ferreirós Domínguez, José. (2007). Labyrinth of thought : a history of set theory and its role in modern mathematics (2nd rev. ed.). Basel, Switzerland: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8350-3. OCLC 302342325.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (ลิงก์)
↑ Steve Russ (9 December 2004). The Mathematical Works of Bernard Bolzano. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-151370-1.
↑ William Ewald; William Bragg Ewald (1996). From Kant to Hilbert Volume 1: A Source Book in the Foundations of Mathematics. OUP Oxford. p. 249. ISBN 978-0-19-850535-8.
↑ Paul Rusnock; Jan Sebestík (25 April 2019). Bernard Bolzano: His Life and Work. OUP Oxford. p. 430. ISBN 978-0-19-255683-7.
↑ Quoted in Dauben, p. 170.
↑ Halmos 1960, p. 2.
↑ Halmos 1960, p. 1.

บรรณานุกรม

Dauben, Joseph W. (1990). Georg Cantor : his mathematics and philosophy of the infinite. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 0-691-02447-2. OCLC 21560032.
Goldrei, Derek (1996). Classic set theory : a guided independent study (1st ed.). London: Chapman & Hall. ISBN 0-412-60610-0. OCLC 35850068.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (ลิงก์)
Halmos, Paul R. (1974). Naive set theory. New York. ISBN 0-387-90092-6. OCLC 947951.

[1] พจนานุกรมฉบับราชบัณฑิตยสถาน พ.ศ. 2554

[2] Goldberg, Samuel (1986). Probability : an introduction. New York: Dover Publications. p. 2. ISBN 0-486-65252-1. OCLC 14356858.

[FOOTNOTEGoldrei19963-3] Goldrei 1996, p. 3.

[FOOTNOTEHalmos19601-4] 4.0 ^4.1 Halmos 1960, p. 1.

[5] Bagaria, Joan (2021), Zalta, Edward N. (บ.ก.), "Set Theory", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2021 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, สืบค้นเมื่อ 2022-01-03

[:0-6] 6.0 ^6.1 Ferreirós Domínguez, José. (2007). Labyrinth of thought : a history of set theory and its role in modern mathematics (2nd rev. ed.). Basel, Switzerland: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8350-3. OCLC 302342325.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (ลิงก์)

[Russ2004-7] Steve Russ (9 December 2004). The Mathematical Works of Bernard Bolzano. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-151370-1.

[EwaldEwald1996-8] William Ewald; William Bragg Ewald (1996). From Kant to Hilbert Volume 1: A Source Book in the Foundations of Mathematics. OUP Oxford. p. 249. ISBN 978-0-19-850535-8.

[RusnockSebestík2019-9] Paul Rusnock; Jan Sebestík (25 April 2019). Bernard Bolzano: His Life and Work. OUP Oxford. p. 430. ISBN 978-0-19-255683-7.

[10] Quoted in Dauben, p. 170.

[FOOTNOTEHalmos19602-11] Halmos 1960, p. 2.

[12] Halmos 1960, p. 1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]