Köşeli yuvarlak

Orijinde ( $a = b = 0$ ) merkezli, $r = 1$ küçük yarıçaplı yuvarlatılmış dikdörtgen $r = 1$ : $x 4 + y 4 = 1$

Köşeli yuvarlak, kare ve daire arasındaki bir ara şekildir. Kullanımda olan en az iki "Köşeli yuvarlak" tanımı vardır ve bunların en yaygını süper elipse dayanmaktadır. Köşeli yuvarlaklar tasarım ve optikte uygulanmıştır.

Süper elips tabanlı köşeli yuvarlak

Kartezyen koordinat sisteminde, süper elips şu denklemle tanımlanır: $\left|{\frac {x-a}{r_{a}}}\right|^{n}+\left|{\frac {y-b}{r_{b}}}\right|^{n}=1,$ Burada $r a$ ve $r b$ yarı-büyük ve yarı-küçük eksenlerdir, $a$ ve $b$ elipsin merkezinin $x$ ve $y$ koordinatlarıdır ve $n$ pozitif bir sayıdır. O zaman yuvarlatılmış dikdörtgen $r a = r b$ ve $n = 4$ olan bir süper elips olarak tanımlanır. Denklemi:^[1] $\left(x-a\right)^{4}+\left(y-b\right)^{4}=r^{4}$ Burada $r$ yuvarlatılmış dikdörtgenin küçük yarıçapıdır. Bunu bir çemberin denklemiyle karşılaştırın. Yuvarlatılmış dikdörtgen orijinde ortalandığında, $a = b = 0$ olur ve buna Lamé'nin özel dörtleniği denir.

Yuvarlatılmış dikdörtgen içindeki alan, gama fonksiyonu $Γ$ cinsinden şu şekilde ifade edilebilir:^[1] $\mathrm {Alan} =4r^{2}{\frac {\left(\operatorname {\Gamma } \left(1+{\frac {1}{4}}\right)\right)^{2}}{\operatorname {\Gamma } \left(1+{\frac {2}{4}}\right)}}={\frac {8r^{2}\left(\operatorname {\Gamma } \left({\frac {5}{4}}\right)\right)^{2}}{\sqrt {\pi }}}=\varpi {\sqrt {2}}\,r^{2}\approx 3.708149\,r^{2},$ Burada $r$ , yuvarlatılmış dikdörtgenin küçük yarıçapıdır ve $\varpi$ = Gauss sabiti * $\pi$ 'dir.

p -norm gösterimi

$R 2$ üzerinde $p$ -norm $‖ \cdot ‖ p$ cinsinden, köşeli yuvarlak şu şekilde ifade edilebilir: $\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{c}\right\|_{p}=r$ Burada $p = 4$ , $x c = (a, b)$ köşeli yuvarlağın merkezini gösteren vektördür ve $x = (x, y)$ 'dir. Sonuç olarak, bu hala merkezden $r$ mesafesindeki noktaların oluşturduğu bir "çember"dir, ancak mesafe farklı şekilde tanımlanır. Karşılaştıracak olunursa, alışılmış daire için $p = 2$ 'dir, oysa kare için $p \to \infty$ verilir (supremum normu) ve döndürülmüş bir kare için $p = 1$ verilir (Manhattan normu). Bu $R 3$ küresel bir kübe veya daha yüksek boyutlardaki hiper küresel küplere basit bir genelleme sağlar.^[2]