Table of Contents

Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
Farhang R ADJAÏ and Frédéric D UBOIS

Chapter 1. Molecular Dynamics Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Sean M C NAMARA
1.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. The forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1. Normal force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1.1. The linear spring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1.2. Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2. Tangential force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2.1. The tangential spring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2.2. Sliding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2.3. The relative velocity of two spheres . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2.4. Angular momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2.5. The errors of order O(δn /a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3. Rolling velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4. Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. The harmonic character of the model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1. The case of one grain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2. The dissipative linear chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. More realistic grain and contact models . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1. Nonlinear force laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2. Non-spherical grains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Integration of the equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.1. The integration algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.2. The choice of the time step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6. Implementation of the MD method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.1. A sketch of the program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
vi Discrete-Element Modeling

1.6.2. The neighbor list . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6.3. Memory access . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8. Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Chapter 2. Contact Dynamics Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Michel J EAN
2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2. Variables involved in the description of a frictional
contact problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1. Bodies, contactors, candidates to contact . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3. Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.1. Rigid bodies kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.2. Local variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.3. The distance function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.4. Relations between generalized variables and local variables . . . . 33
2.3.4.1. Indetermination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4. The equation of dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.1. Shocks, momentum, impulses, percussions . . . . . . . . . . . . . 35
2.5. Frictional contact laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.1. Unilaterality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5.2. Shock laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5.3. Friction laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6. The equations governing a frictional contact problem . . . . . . . . . . 42
2.7. The non-smooth contact dynamics method . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.7.1. Computing a collision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.7.2. Solving the frictional contact problem set in [2.26] for
a collection of bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7.2.1. Discrete form of the equation of dynamics . . . . . . . . . . 48
2.7.2.2. Discrete form of the kinematic relations . . . . . . . . . . . . 49
2.7.2.3. Discrete forms of the frictional contact relations . . . . . . . 50
2.7.2.4. Equation of dynamics restricted to candidates to contact . . 51
2.7.2.5. The standard Signorini μ-Coulomb problem . . . . . . . . . 51
2.7.2.6. The solution of 2D standard Signorini μ-Coulomb . . . . . . 52
2.7.2.7. Solution of the frictional contact problem for a collection
of bodies by a Gauss–Seidel-like method . . . . . . . . . . . 53
2.8. Introducing spring damper contact laws in the NSCD spirit . . . . . . . 54
2.8.1. Signorini μ-Coulomb derived law . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.8.2. The springs dipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.8.3. A pseudo-dipole action for overlapping contactors . . . . . . . . . 58
2.8.4. Discrete form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.8.5. Critical Voigt repel law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.8.6. The role of different parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
 Table of Contents vii

2.8.7. More on the critical Voigt law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.8.8. Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.9. Remarks and conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.10. Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Chapter 3. Quasi-Static Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Jean-Noël ROUX and Gaël C OMBE
3.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2. Statics and kinematics of contact networks . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.1. Assumption of small displacements . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.2. Displacements, relative displacements, and rigidity matrix . . . . 68
3.2.3. External forces, contact forces, and rigidity matrix . . . . . . . . . 72
3.2.4. Contact laws, stiffness matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.5. Geometric contributions to the stiffness matrix . . . . . . . . . . . 75
3.2.6. Stability criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3. Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3.1. Rigidity and stiffness matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3.2. Stability and equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.3. Force and displacement indeterminacy, isostaticity, and scarcity
of contacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.4. Applications to elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4.1. Computation of elastic moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.4.2. Elastic domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.5. Applications to non-elastic strains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.5.1. Statement of the problem, general properties . . . . . . . . . . . . 91
3.5.2. An algorithm for the quasi-static non-elastic problem . . . . . . . 93
3.5.3. Illustration: regimes I and II in biaxial compression tests . . . . . 96
3.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.7. Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Chapter 4. Event-driven Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Sean M C NAMARA
4.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2. Collision in the limit of perfect rigidity in 1D . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2.1. Treatment of collisions by the molecular dynamics method . . . . 104
4.2.2. Case of perfect rigidity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.2.3. Modeling intergranular interactions in the ED method . . . . . . . 108
4.3. Collisions in 2D and 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3.1. Experimental values of the coefficient of restitution . . . . . . . . 110
4.4. Inelastic collapse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.4.1. Inelastic collapse of one grain under gravity . . . . . . . . . . . . 111
4.4.2. Inelastic collapse with three grains . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.4.3. Inelastic collapse with many grains . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
viii Discrete-Element Modeling

4.4.4. Inelastic collapse in 2D or 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.4.5. How to avoid inelastic collapse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.5. Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.6. Implementation of the ED method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.6.1. Sketch of the program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.6.2. Optimizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.6.3. Parallelization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.8. Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Chapter 5. Particle Assembling Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Charles VOIVRET, Farhang R ADJAÏ and Jean-Yves D ELENNE
5.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2. Ballistic deposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.2.1. Random deposition with relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.2.2. Angle of capture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.3. Assembling method with configurational potential . . . . . . . . . . . . 128
5.3.1. Potential minimization method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.3.2. Monte Carlo method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.4. Size polydispersity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.4.1. Polydispersity and packing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.4.2. Generation of a discrete ensemble of particle sizes . . . . . . . . . 135
5.5. Polydisperse packings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.5.1. Analytical model of polydispersity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.5.2. Representativity criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.5.3. Numerically accessible distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.5.4. Size polydispersity and packing fraction . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.7. Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Chapter 6. Construction of Granular Assemblies Under

Static Loading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Gaël C OMBE and Jean-Noël ROUX
6.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.2. Motivation, purpose and tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.3. Granular assemblies under isotropic loading . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.3.1. The initial state before isotropic compression . . . . . . . . . . . . 157
6.3.2. Granular assemblies confined by rigid walls . . . . . . . . . . . . . 157
6.3.2.1. Mobile walls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.3.2.2. Fixed walls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.3.3. Confined granular assemblies and periodic
boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
 Table of Contents ix

6.4. Granular samples assembled under gravity . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.4.1. Optimizing homogeneity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.4.1.1. Grain-wise deposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.4.1.2. Dumping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.4.1.3. Controlled pluviation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.5. Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.6. Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Chapter 7. Periodic Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Farhang R ADJAÏ and Charles VOIVRET
7.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.2. Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.2.1. Periodicity in position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.2.2. Reduced coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.2.3. Periodicity in velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.2.4. Metric tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.2.5. Modular transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.3. Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.3.1. Collective degrees of freedom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.3.2. Particle degrees of freedom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.4. Integration schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.4.1. Contact dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.4.2. Molecular dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.4.3. Implementation precautions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.6. Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Chapter 8. Dimensional Analysis and Control Parameters . . . . . . . . . . 199

Jean-Noël ROUX and François C HEVOIR
8.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.2. Simulation of model materials: control parameters . . . . . . . . . . . . 200
8.2.1. Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.2.2. Contact laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.2.2.1. Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.2.2.2. Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.2.2.3. Viscous forces and restitution coefficients . . . . . . . . . . . 202
8.2.2.4. Other dissipation mechanisms . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.2.2.5. Cohesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.2.2.6. Rolling resistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.2.2.7. Case of rigid grains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.2.3. Dimensional analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.2.3.1. Quantities related to the material . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.2.3.2. Dimensionless stiffnesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
x Discrete-Element Modeling

8.2.3.3. Inertial number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

8.2.3.4. Dimensionless parameters related to cohesion . . . . . . . . 208
8.2.3.5. Conclusion and remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.3. Stress–strain behavior in solid granular materials . . . . . . . . . . . . . 209
8.3.1. Assembling stage, confinement, compression . . . . . . . . . . . 209
8.3.2. Cohesionless materials and quasi-static stress–strain tests . . . . . 211
8.3.3. The critical state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.4. Granular flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
8.4.1. Homogeneous shear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.4.2. Constitutive law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.4.2.1. Influence of inertial number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.4.2.2. Other choices of the control parameters . . . . . . . . . . . . 220
8.4.2.3. Influence of contact elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.4.2.4. Influence of the friction coefficient . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.4.2.5. Influence of the restitution coefficient . . . . . . . . . . . . . 221
8.4.2.6. Collisional limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
8.4.3. Influence of stress gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
8.4.4. Influence of cohesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8.6. Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Chapter 9. Numerical Modeling of Granular Media Composed

of Polyhedral Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Frédéric D UBOIS
9.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.2. Rigid-body dynamics and parametrization . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
9.3. Geometrical description of objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
9.4. Contact detection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.4.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.4.2. Hierarchy of contact detection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.4.3. Broad phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.4.4. Narrow phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
9.4.5. Contact detection between convex polyhedra . . . . . . . . . . . . 240
9.4.6. Contact detection between non-convex polyhedra . . . . . . . . . 248
9.5. Numerical implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
9.5.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
9.5.2. Libraries dedicated to contact detection . . . . . . . . . . . . . . . 248
9.5.3. Problems related to numerical strategy . . . . . . . . . . . . . . . . 249
9.5.4. Choices made at the LMGC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
9.6. Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
9.6.1. Regular arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
9.6.2. Disordered media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
 Table of Contents xi

9.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

9.8. Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9.9. Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Chapter 10. Numerical Modeling of Cohesive Interactions . . . . . . . . . . 263

Jean-Yves D ELENNE, Vincent T OPIN, Vincent R ICHEFEU and Farhang R ADJAÏ
10.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
10.2. Origins of cohesion in granular materials . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
10.2.1. Macroscopic cohesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
10.2.2. Cohesive forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
10.2.2.1. Bulk forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
10.2.2.2. Contact forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
10.2.2.3. Forces involving a binding matrix . . . . . . . . . . . . . . 269
10.3. Modeling cohesive contacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10.3.1. Model of contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10.3.2. Models of cohesive bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
10.4. Physical models of cohesive contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
10.4.1. Dry adhesion models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
10.4.2. Simplified JKR model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
10.4.3. Capillary cohesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
10.4.4. Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
10.5. Lattice Element Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
10.5.1. Network connectivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
10.5.2. 1D rheological elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
10.5.2.1. Spring-like element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
10.5.2.2. Beam-like element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
10.5.3. Numerical resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
10.5.3.1. Spring elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
10.5.3.2. Beam element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
10.5.3.3. Failure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
10.5.4. Influence of meshing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
10.5.4.1. Finite size effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
10.5.4.2. Disordered mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
10.5.4.3. Granular disorder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
10.6. Comparison between LEM and cohesive DEM . . . . . . . . . . . . . 292
10.7. Alternative approaches to the LEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
10.8. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
10.9. Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

Chapter 11. Numerical Modeling of Fluid–Grain Interactions . . . . . . . 303

Bertrand M AURY and Aline L EFEBVRE -L EPOT
11.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
11.2. Direct simulation of fluid particle flows . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
xii Discrete-Element Modeling

11.2.1. Reformulation of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

11.2.2. Methods based on the conforming mesh . . . . . . . . . . . . . . 308
11.2.3. Fictitious domain approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
11.3. Theoretical aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
11.3.1. Splitting method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
11.3.2. Projection method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
11.3.3. Parametric method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
11.3.4. Penalty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
11.3.5. Saddle point formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
11.4. Space discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
11.5. Effective solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
11.6. Application of direct simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
11.7. Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

Chapter 12. Close Interaction of Immersed Grains . . . . . . . . . . . . . . 329

Bertrand M AURY and Aline L EFEBVRE -L EPOT
12.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
12.2. Contact handling in fluid–particle simulations . . . . . . . . . . . . . . 330
12.3. Collision models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
12.4. Lubrication models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
12.4.1. Smooth case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
12.4.2. Rough objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
12.5. Numerical handling of the lubrication force . . . . . . . . . . . . . . . 338
12.6. A viscous contact model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
12.6.1. Plane-particle case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
12.6.2. Multi-particle case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
12.7. Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

Chapter 13. Numerical Modeling of Heat Production

and Transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
Mathieu R ENOUF and Yves B ERTHIER
13.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
13.2. Granular media and thermal phenomena: a multi-scale problem . . . . 347
13.3. A state of the art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
13.3.1. Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
13.3.2. Conduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
13.3.3. Local generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
13.4. Modeling local thermal phenomena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
13.4.1. Thermal conductance of contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
13.4.2. Heat generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
13.5. Temperature evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
13.5.1. Time integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
 Table of Contents xiii

13.5.1.1. Global formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

13.5.1.2. Conduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
13.5.1.3. Heat generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
13.5.1.4. Convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
13.6. Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
13.6.1. Linear model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
13.6.2. 1D continuous boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . 359
13.6.3. 2D continuous boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . 360
13.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
13.8. Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
13.9. Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

Chapter 14. Discrete Models of Wet Granular Media . . . . . . . . . . . . . 367

Bruno C HAREYRE and Luc S CHOLTÈS
14.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
14.2. Discrete model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
14.2.1. Contact law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
14.2.2. Capillary law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
14.2.3. Macroscopic behavior: triaxial testing . . . . . . . . . . . . . . . 371
14.2.4. The concept of effective stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
14.3. Homogenization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
14.3.1. Homogenized stress in wet granular materials . . . . . . . . . . . 378
14.3.2. Evolution of the capillary stress tensor . . . . . . . . . . . . . . . 380
14.3.3. Anisotropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
14.3.4. Influence of water content . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
14.4. From the capillary stress tensor to an effective stress . . . . . . . . . . 386
14.4.1. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
14.4.2. Isotropic loading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
14.4.3. Deviatoric loading and rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
14.5. Conclusion and perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
14.6. Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

Chapter 15. Discrete Models of Structures in Geomaterials . . . . . . . . . 393

Frédéric D ONZÉ, Pascal V ILLARD, and Dominique DAUDON
15.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
15.2. Modeling structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
15.3. Model features . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
15.3.1. The basic model of interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
15.3.2. Dissipative interaction laws in a granular flow . . . . . . . . . . . 396
15.3.3. The dissipative interaction law during impact . . . . . . . . . . . 397
15.3.4. The moment-rotation law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
15.4. Applications to geostructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
15.4.1. Loading of avalanche defense structures . . . . . . . . . . . . . . 398
xiv Discrete-Element Modeling

15.4.1.1. Experimental setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

15.4.1.2. Validating the numerical model . . . . . . . . . . . . . . . . 400
15.4.1.3. Sensitivity study of the drag coefficient Cd . . . . . . . . . 401
15.4.2. Structures of protection against rockfalls . . . . . . . . . . . . . . 402
15.4.2.1. Ability of the numerical model to account
for impact events . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
15.4.2.2. Simulation of impact on embankment . . . . . . . . . . . . 403
15.4.3. Reinforced soil structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
15.4.3.1. Problems and experiments performed . . . . . . . . . . . . 407
15.4.3.2. Comparison between numerical simulations and
experimental results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
15.4.4. Reinforced concrete wall under severe stress . . . . . . . . . . . 411
15.4.4.1. Impact of rigid bodies on a slab of reinforced concrete . . . 412
15.4.4.2. 3D modeling of the impact tests of the CEA-EDF . . . . . 412
15.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
15.6. Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

List of Authors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421