Instructor: Associate Professor Dr.
Sittichai Seangatith
Email: sitichai@sut.ac.th
Tel. 044-224326, 4420-1, and 4750-1
Office: Room D23, Academic Building
Textbook:
1. Mechanics of Materials; Sittichai Seangatith, SUT, 2006.
MECHANICS OF MATERIALS 2. Mechanics of Materials; Russell C. Hibbeler, 2nd SI Edition
(2005).
By
Assoc. Prof. Dr. Sittichai Seangatith
SCHOOL OF CIVIL ENGINEERING
INSTITUTE OF ENGINEERING
SURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Objectives: (Cont.)
Objectives:
4. Be able to analyze and design basic structural components such as
1. Be able to interpret and apply the stress-strain diagrams and other
beams, shafts, and columns.
relevant properties of the materials, and the concept of the factor
of safety. 5. Be able to formulate and calculate the deformation of the structural
2. Be able to determine and interpret various types of stresses members under axial/ torsional/ and transverse loads.
(normal: axial, bearing, and flexural stresses; and shear: simple,
torsion, and transverses shear stresses) of the structural
components, including the connections.
3. Be able to perform stress analysis (combine and transform the
normal and shear stresses) of beams and shafts under combined
loading.
ทําไมตองศึกษาวิชานี้ Chapter Subjects:
1. Stresses
1. ฝกการมองปญหาในชีวิตจริงแบบวิศวกร 2. Strain
ปญหาจริง Model ทฤษฎี คําตอบ 3. Mechanical Properties of Materials
4. Axial Load
2. ทําใหเกิด Engineering senses 5. Torsion
6. Bending
3. ไดประยุกตใช Engineering judgments 7. Transverse Shear
8. Combined Loadings
9. Stress Transformation
4. เปนวิชาบังคับ กว. ของบางสาขาวิชา
10. (11) Design of Beams and Shafts
5. อื่นๆ เชน เปนวิชา prerequisite ของบางสาขาวิชา 11. (12) Deflection of Beams
12. (13) Buckling of Columns
Conduct of Course:
Assignments and Quizzes 20%
Midterm Examination 35%
Final Examination 45%
Grading Guides: Midterm Examination II 35%
90 and above A
85-89 B+ วันพุธที่ 10 ตุลาคม 2550 9.00-11.00 น.
80-84 B Final Examination 40%
75-79 C+ วันอาทิตยที่ 18 พฤศจิกายน 2550 9.00-12.00 น.
70-74 C
65-69 D+
60-64 D
below 60 F
The above criteria may be changed at the instructor’s discretion.
สถิติที่นาสนใจ (และทาทาย) : Attendance Policy:
1. Class attendance is mandatory. Missing classes more than
80% will receive an automatic grade of “F”.
Trimester 2/2550 2/2549 2/2548 2. Students attending the lectures must bring the calculator for
a quiz and the lecture note.
ลง/ติด F 472/194 539/137 3. Homework must be turn in 1 week after assigned.
GPAX 0.81 1.47 4. Cheating on the quizzes, homework, and examinations will
get a zero score, and/or be punished according to the rules
Class and regulations of Suranaree University of Technology.
5. No make up quizzes or examinations will be given without a
written Dean's permission. Student who passes the make-up
examinations will be given a maximum grade of “C”.
อิทธิบาท 4: การเรียน สิ่งที่นักศึกษาจําเปนตองเตรียมตัวในการศึกษาวิชานี้
1. ทบทวนการเขียน free-body diagram ของโครงสราง เชน ชิ้นสวนรับแรงใน
ฉันทะ - มีความพอใจ/รักในสิ่งที่เรียน แนวแกน เพลา คาน
วิริยะ - มีความเพียร/พยายาม 2. ทบทวนการใชสมการความสมดุลในการหาแรงปฏิกิริยาและแรงภายในของ
จิตตะ – มีความตั้งใจ/จิตใจจดจอ โครงสราง
วิมังสา - ใชปญญาไตรตรองและคิดหาเหตุผล 3. ทบทวนการเขียน shear และ moment diagram ของคาน
4. ทบทวนการหาจุด centroid และคา moment of inertia ของพื้นที่ประกอบ
ซือ่ ตรง สุภาพ สะอาด ประหยัด คือ จริยวัตรของมทส. สิ่งที่นักศึกษาจําเปนตองปฏิบัติในการศึกษาวิชานี้
1. เตรียมเอกสารการเรียนใหครบ
2. อานเอกสารการเรียนอยางเพียงพอ กอนเขาเรียน: ประมาณ 1 ชม/lecture
3. หลังจากเขาเรียน ทบทวนเอกสารการเรียนและทําแบบฝกหัดอยางสม่ําเสมอ
บทที่ 1
1.1 บทนํา
หนวยแรง (Stress)
วิชาสถิตยศาสตร (statics) และวิชาพลศาสตร (dynamics) ศึกษาเกี่ยวกับ
วัตถุประสงค
แรงและการเคลื่อนที่ของอนุภาค (particle) และวัตถุแกรง (rigid body)
1. เพื่อทบทวนความรูเรื่องสมดุล (equilibrium) ของวัตถุ
วิชากลศาสตรวัสดุ (mechanics of materials) ศึกษาเกี่ยวกับพฤติกรรมการ
2. เพื่อใหทราบและเขาใจถึงแนวคิดของหนวยแรงตั้งฉาก (normal ตอบสนองภายในและภายนอกของวัตถุแข็ง (solid body) ภายใตการกระทํา
stress) และหนวยแรงเฉือน (shear stress) ของแรง (force) หรือน้ําหนักบรรทุก (load) ตางๆ
3. เพื่อใหสามารถวิเคราะห (analysis) และออกแบบ (design) จุด
เชื่อมตออยางงายไดอยางถูกตอง Mechanics
Rigid Bodies Deformable Bodies
Fluids
(Things that do not change shape) (Things that do change shape)
Statics Dynamics Incompressible Compressible
พฤติกรรมการตอบสนอง: ขั้นตอนหลักในการออกแบบโครงสราง
หนวยแรง (stress)
การเปลี่ยนแปลงรูปราง (deformation) หรือความเครียด (strain)
เสถียรภาพ (stability)
1. ใช FBD และ equilibrium equations หาคาแรงที่เกิดขึ้นภายในชิ้นสวนของ
โครงสราง – เรียนแลวใน statics
2. หาขนาดของชิ้นสวนของโครงสรางที่เหมาะสม [โดยมีกําลัง (strength)
เพียงพอในการรองรับแรงกระทํา โดยไมเกิดการวิบัติ (failure)]
3. ตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงรูปราง (deformation) และเสถียรภาพ
(stability) ของชิ้นสวนของโครงสราง
1.2 สมดุลของวัตถุที่เปลี่ยนแปลงรูปรางได (Equilibrium of a Deformable
Body)
แรงภายนอก (External Loads)
Surface force
แรงกระทําเปนจุด
(concentrated force/point load)
แรงแผกระจาย
(distributed load)
Body force เชน น้ําหนักของวัตถุที่เกิด
จากแรงดึงดูดของโลก เปนตน เมื่อ support ปองกันไมใหเกิดการเลื่อน (translation) ในทิศทางใดแลว support นั้นจะ
ทําใหเกิดแรงปฏิกิริยาขึ้นบนองคอาคารของโครงสรางในทิศทางนั้น
ถา support ปองกันไมใหเกิดการหมุน (rotation) รอบแกนใดๆ แลว support นั้นจะทํา
ใหเกิด moment ปฏิกิริยาขึ้นบนองคอาคารของโครงสรางรอบแกนนั้น
สมการความสมดุล (Equations of equilibrium) ใน 3 มิติ
วัตถุใดๆ จะอยูในสภาวะความสมดุลเมื่อวัตถุนั้นมี
สมดุลของแรง (balance of force) เพื่อปองกันการเคลื่อนทีข่ องวัตถุ
อยางมีความเรง (acceleration)
∑F = 0
สมดุลของโมเมนต (balance of Ay
My
moment) รอบจุดใดๆ เพือ่ ปองกัน
การหมุนของวัตถุ Az
Ax
Mx
∑ MO = 0 Mz
ใน 2 มิติ แรงลัพธภายใน (Internal Resultant Loading)
T เมื่อวัตถุอยูในสภาวะสมดุล แรงลัพธภายในที่เกิดขึ้นตรงจุดทีส่ นใจจะหา
y ไดโดยวิธีตัดหนาตัด (method of sections)
70o
Ax คาน
Ay
x 1962 N
ชิ้นสวนที่ถูกกระทําโดยแรงในแนวแกน
ตัวอยางที่ 1-1
จงหาคาแรงและโมเมนตลัพธภายในที่เกิดขึ้นทีห่ นาตัด G ของคานไม
หาแรงปฏิกิริยา
∑M E = 0;
FBC (0.9 m) = 10 kN(3 m) + 4.5 kN(2 m)
FBC = 43.333 kN →
∑F x = 0;
Ex = FBC = 43.333 kN ←
∑F y = 0;
E y = 10 kN + 4.5 kN=14.5 kN ↑
FBD ของชิ้นสวน AG มี unknowns 4 คา ดังนั้น ตองหาแรง FBA กอน
FBD ของชิ้นสวน AG มี unknowns 4 คา ดังนั้น ตองหาแรง FBA กอน ตัวอยางที่ 1-2
จาก FBD ของจุด B จงหาคาแรงและโมเมนตภายในที่หนาตัด B ของทอเหล็ก ซึ่งมีมวล 2 kg/m
4
∑F x = 0; FBA ( ) = 43.333 kN
5
FBA = 54.167 kN
จาก FBD ของชิ้นสวน AG
4
∑F x = 0; N G + 54.167 kN( ) = 0
5
N G = −43.333 kN
3
∑F y = 0; −VG − 10 kN + 54.167 kN( ) = 0
5
VG =22.5 kN แผนภาพ free-body diagram
3 WBD = (2 kg/m)(0.5 m)(9.81 N/kg) = 9.81 N
∑M G = 0; M G − (54.167 lb)( )(0.6 m) + (10 kN)(0.6 m) = 0
5
M G = 13.5 kN-m WAD = (2 kg/m)(1.25 m)(9.81 N/kg) = 24.525 N
Equilibrium Equations 1.3 หนวยแรง (Stress)
∑F x = 0; ( FB ) x = 0 หนวยแรง (stress) ที่จดุ หนึ่งบนวัตถุบงบอกถึงความเขมขน
∑F y = 0; ( FB ) y = 0 (intensity) ของแรงภายใน (internal force) ทีก่ ระทําอยูบ นพื้นที่เล็กๆ
ที่ตดั ผานจุดนั้นและอยูบนระนาบของหนาตัดของวัตถุดังกลาว
∑F z = 0;
( FB ) z − 9.81 N − 24.525 N − 50 N=0 หนวยแรงถูกแบงออกเปน 2 ประเภทตาม
( FB ) z = 84.3 N ทิศทางที่แรงกระทํากับพื้นที่นั้น
∑ (M ) = 0;
B z
(M B ) z = 0
หนวยแรงตั้งฉาก (normal stress)
∑ (M ) = 0;
B y หรือ σ คือความเขมขนของแรงภายในที่
( M B ) y + 24.525 N(0.625 m) + 50 N(1.25 m) = 0 กระทําตั้งฉากกับพืน้ ที่เล็กๆ ∆A
( M B ) y = −77.8 N-m ∆Fn
∑ (M ) = 0;
B x σ = ∆lim
( M B ) x + 70 N-m − 50 N(0.5 m) − 24.525 N(0.5 m) − 9.81 N(0.25 m) = 0
A→0
∆A
( M B ) x = −30.3 N-m
Sigma
หนวยแรงในระบบแกนตั้งฉากรอบจุดใดๆ บนวัตถุ
สัญลักษณ
σz เครื่องหมาย subscript
“z” ระบุถึงดานที่หนวย
แรงตั้งฉากกระทํา
τzx เครื่องหมาย subscript
σ = lim
∆F ตัวแรก (z) ระบุถึงดานที่
z
หนวยแรงเฉือน (shear stress) หรือ τ คือความเขมขนของแรงภายในที่ z
∆A
∆A→0
หนวยแรงเฉือนกระทํา
กระทําขนานกับพื้นที่ ∆A ∆F และเครื่องหมาย subscript
τ = lim x
∆A
zx
∆Ft ∆A → 0
ตัวที่สอง (x) ระบุถึง
τ = ∆lim
A→0
∆A ∆F ทิศทางของหนวยแรง
Tau τ = lim y
∆A
zy
∆A → 0
เฉือนที่อยูบ นดานนั้น
ขอกําหนดของความสมดุลของสภาวะหนวยแรง 1.4 คาเฉลี่ยของหนวยแรงตั้งฉากบนแทงวัตถุทถี่ ูกกระทําโดยแรงในแนวแกน
ถาหนวยแรง 9 หนวยแรงทีก่ ระทําอยูบ น cubic volume element รอบๆ
แรงในแนวแกน (axial load) คือแรงตั้ง
จุดที่เรากําลังพิจารณาอยูมีคาคงที่แลว หนวยแรงบางสวนจะมีคาเทากัน ซึ่ง
ฉากชนิดหนึ่งซึ่งมีทิศทางไปตามแนวแกน
จะทําใหหนวยแรงทั้งหมดลดลงเหลือ 6 หนวยแรง
ของแทงวัตถุใดๆ ซึ่งกอใหเกิดการดึง
“complementary property of shear” (tension) หรือการกดอัด (compression)
ในแทงวัตถุ
τ xy = τ yx
ชิ้นสวนโครงสรางที่ถกู กระทําโดยแรงใน
τ yz = τ zy แนวแกน (axially loaded bar) มักจะมี
τ xz = τ zx ลักษณะยาวเรียว และมีหนาตัดที่คงที่
ตลอดความยาว เชน ชิ้นสวนของโครงขอ
หมุน (truss members) เปนตน
การกระจายของคาเฉลี่ยของหนวยแรงตั้งฉาก
ขอสมมุติฐาน
แรงในแนวแกนกระทําผานจุด centroid ของหนาตัดของแทงวัตถุ
แทงวัตถุมีลักษณะตรงทั้งกอนและหลังจากที่ถกู กระทําโดยแรง
หนาตัดของแทงวัตถุยังคงเปนระนาบที่มีลักษณะเหมือนเดิม
dF = σ dA
∫ dF = ∫ σ dA
A
P
σ =
A
เมื่อวัสดุของแทงวัตถุเปนวัสดุเนื้อเดียว (homogenous material) และมี คาเฉลีย่ ของหนวยแรงตัง้ ฉากทีม่ คี า มากทีส่ ุด
คุณสมบัติเหมือนกันทุกทิศทาง (isotropic material) เชน steel และ ขั้นตอน
aluminum เปนตน แลว
1. เขียน axial หรือ normal force diagram ซึ่ง
P แสดงการเปลี่ยนแปลงของแรง P เทียบกับ
σ =
A
ระยะ x ไปตามแนวแกนของแทงวัตถุ โดย
กําหนดใหแรงดึงมีคาเปน + และแรงกดอัด
มีคาเปน -
2. หาคาหนวยแรงจาก P/A ของแตละสวนของ
แทงวัตถุ และเลือกคาสูงสุด (maximum) ไป
ใชงาน
ตัวอยางที่ 1-3
จงหาคาหนวยแรงตั้งฉากเฉลี่ยสูงสุดที่เกิดขึ้นในแทงเหล็กหนา 10 mm
1. หา Internal Loading σ BC =
PBC
=
30(103 )N
= 85.7 MPa
- เขียน FBD ของ A (0.035 m)(0.010 m)
ชิ้นสวนของแทงเหล็ก
- สมการความสมดุล
- เขียน axial force
diagram
สรุป: แรงในแนวแกน
สูงสุดมีคา 30 kN เกิดขึ้น
ในชวง BC
ตัวอยางที่ 1-4 หา Internal Loading: สมการความสมดุล
โคมไฟมีน้ําหนัก 80 kg ถากําหนดให rod AB และ BC มีเสนผานศูนยกลาง 4
∑F x = 0; FBC ( ) − FBA cos 60o = 0
5
10 mm และ 8 mm จงหาหนวยแรงตั้งฉากเฉลี่ยที่เกิดขึ้นใน rod ทัง้ สอง
∑F y = 0;
หา Internal Loading 3
FBC ( ) + FBA sin 60o − 784.8 N=0
เขียน FBD 5
FBC = 395.2 N
FBA = 632.4 N
หา Average Normal Stress
FBC 395.2 N
σ BC = = = 7.86 MPa
ABC π (0.004 m) 2
FAB 632.4 N
σ AB = = = 8.05 MPa
AAB π (0.005 m) 2
632.4 N 395.2 N
ทบทวน
10 mm
8 mm
สมการความสมดุล (Equations of equilibrium) ใน 2 มิติ
วัตถุใดๆ อยูในสภาวะความสมดุลเมื่อวัตถุนั้นมี T
¾ สมดุลของแรง (balance of force) เพื่อปองกันการเคลื่อนที่ของวัตถุ y
70o
อยางมีความเรง (acceleration)
∑F = 0
Ax
¾ สมดุลของโมเมนต (balance of Ay
moment) รอบจุดใดๆ เพือ่ ปองกัน x 1962 N
การหมุนของวัตถุ
∑M O =0
แรงลัพธภายใน (Internal Resultant Loading)
เมื่อวัตถุอยูในสภาวะสมดุล แรงลัพธภายในทีเ่ กิดขึ้นตรงจุดที่สนใจจะหาได
โดยวิธีตัดหนาตัด (method of sections)
คาน
เมื่อ support ปองกันไมใหเกิดการเลื่อน (translation) เกิดขึ้นในทิศทางใดแลว support
นั้นจะทําใหเกิดแรงปฏิกิริยาขึ้นบนองคอาคารของโครงสรางในทิศทางนั้น
ถา support ปองกันไมใหเกิดการหมุน (rotation) รอบแกนใดๆ แลว support นั้นจะทํา ชิ้นสวนที่ถูกกระทําโดยแรงในแนวแกน
ใหเกิด moment ปฏิกิริยาขึ้นบนองคอาคารของโครงสรางรอบแกนนั้น
หนวยแรง (stress) ที่จดุ หนึ่งบนวัตถุบงบอกถึงความเขมขน
(intensity) ของแรงภายใน (internal force) ทีก่ ระทําอยูบ นพื้นที่เล็กๆ
ที่ตดั ผานจุดนั้นและอยูบนระนาบของหนาตัดของวัตถุดังกลาว
หนวยแรงถูกแบงออกเปน 2 ประเภทตาม
ทิศทางที่แรงกระทํากับพื้นที่นั้น
หนวยแรงตั้งฉาก (normal stress)
หนวยแรงเฉือน (shear stress) หรือ τ คือความเขมขนของแรงภายในที่
หรือ σ คือความเขมขนของแรงภายในที่
กระทําขนานกับพื้นที่ ∆A
กระทําตั้งฉากกับพืน้ ที่เล็กๆ ∆A
∆Ft
τ = ∆lim
∆Fn A→0
∆A
σ = ∆lim
A→0
∆A
การกระจายของคาเฉลี่ยของหนวยแรงตั้งฉาก
ขอสมมุติฐาน
แรงในแนวแกนกระทําผานจุด centroid ของหนาตัดของแทงวัตถุ
แทงวัตถุมีลักษณะตรงทั้งกอนและหลังจากที่ถกู กระทําโดยแรง
หนาตัดของแทงวัตถุยังคงเปนระนาบที่มีลักษณะเหมือนเดิม
dF = σ dA
∫ dF = ∫ σ dA
A
P
σ =
A
