10.
6 Area and Length of Polar Curves
Arc Length
If r = f HqL has a continuous first derivative for a £ q £ b and if the point P Hr, qL traces the curve r = f HqL
i dr yz''''
b
L = · &''''''''''''''''
r2 + jj ÄÄÄÄ''''''''
ÄÄÄÄÄÄ z d q
2
k dq {
exactly once as q runs from a to b then the length of the curve is
Area
b
The area of the region between the origin and the curve r = f HqL, on a £ q £ b , is A = ‡ ÄÄÄÄÄ r2 d q
1
2
a
Area
The area of the region between the curves r1 HqL and r2 HqL, where 0 £ r1 HqL £ r2 HqL, on a £ q £ b is
b b b
A = ‡ ÄÄÄÄÄ r2 2 d q - ‡ ÄÄÄÄÄ r1 2 d q ‡ ÄÄÄÄÄ Hr2 - r1 L d q
1 1 1 2 2
=
2 2 2
a a a
For problems 1 and 2, find the length of the curve.
1. r = 2q , for 0 £ q £ p 2. r = 2 - 2 cos q, for 0 £ q £ 2 p
10 4
8
3
6
2
4
2 1
10 8 6 4 2 00 2 4 6 8 10 0
2 4 3 2 1 0 1 2 3 4
1
4
2
6
8 3
10 4
"################
#################### "########################2# "################################
#############################
p p p
L = ‡ 22 q + H2q ln 2L2 dq = 1 + Hln 2L ‡ 2q dq L = 2‡ H2 - 2 cos qL2 + H2 sin qL2 dq
0 0 0
"########################2# "########################2#
1 + Hln 2L 1 + Hln 2L "################################
################################
##############
p
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ A 2q D ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ H 2p - 1L = 2‡
p
= ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 4 - 8 cosq + 4 cos2 q + 4 sin2 q dq
ln 2 0 ln 2
0
"############################ "#### "########################
p p
= 2‡ 8 - 8 cos q dq = 4 2‡ 1 - cos q dq
0 0
sin2 q = ÄÄÄÄÄ H 1 - cos 2 qL
1
and so
2
i y iqy
sin2 jj ÄÄÄÄÄ zz = ÄÄÄÄÄ H 1 - cos qL 2 sin2 jj ÄÄÄÄÄ zz = H 1 - cos qL
q 1
k2{ k2{
Æ
2
"#### i q yz% iqy
2 ‡ $%%%%%%%%%%%%%%%%
2 sin2 jj%%%%%%%%
ÄÄÄÄÄ z dq 8 ‡ sin jj ÄÄÄÄÄ zz dq
p p
k2{ k2{
Æ 4 =
0 0
iqy p
= -16 A cos jj ÄÄÄÄÄ zz D -16 H0 - 1L
k2{ 0
= = 16
For problems 3 - 8, find the area of the region.
3. Inside the smaller loop of 4. Inside one leaf of r = 2 sin 3 q
the limaçon r = 1 - 2 sin q
3 2
2
1
1
0 0
3 2 1 0 1 2 3
2 1 0 1 2
1
1
2
3 2
1 p 5p p
1 - 2 sin q = 0 Æ sin q = ÄÄÄÄÄ Æ q = ÄÄÄÄÄ , ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 2 sin 3 q = 0 Æ q = 0, ÄÄÄÄÄ so
2 6 6 3
è!!!!
5p p p
ÄÄÄÄ6ÄÄ ÄÄ ÄÄ3ÄÄÄ ÄÄ3ÄÄÄ
A = ÄÄÄÄÄ ‡ H1 - 2 sin qL2 dq A = ÄÄÄÄÄ ‡ 4 sin2 3 q dq 2 ‡ ÄÄÄÄÄ H1 - cos 6 qL dq
1 3 3 1 1
so = p - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ =
2 p 2 2 2
ÄÄ6ÄÄÄ 0 0
p
= ÄÄÄÄÄ
3
5. Inside the circle r = 1 and 6. Inside the lemniscate r2 = 8 sin 2 q and
outside the cardioid r = 1 - cos q outside the circle r = 2
2 3
2
1
1
0 0
2 1 0 1 2 3 2 1 0 1 2 3
1
1
2
2 3
i1y
p
A = 2 jj ÄÄÄÄÄ zz ‡ HH12 L - H1 - cos qL2 L dq
ÄÄ2ÄÄÄ
1 p 5p
k2{
4 = 8 sin 2 q Æ sin 2 q = ÄÄÄÄÄ Æ q = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ , ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
2 12 12
0
i1y
p 5p 5p
A = 2 jj ÄÄÄÄÄ zz ‡ H8 sin 2 q - 4L dq = ‡ H8 sin 2 q - 4L dq
ÄÄ2ÄÄÄ ÄÄÄÄ12
ÄÄ ÄÄ ÄÄÄÄ12
ÄÄ ÄÄ
= ‡ H1 - 1 + 2 cos q - cos2 qL dq
k2{ p p
0 ÄÄÄÄ
ÄÄ Ä ÄÄÄÄ
ÄÄ Ä
12 12
i y "####
p
= ‡ jj2 cos q - ÄÄÄÄÄ H1 + cos 2 qLzz dq
ÄÄ2ÄÄÄ
1 p 4p
k {
= 2 - ÄÄÄÄÄ = 4 3 - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
2 4 3
0
7. Inside both of the curves 8. Inside both of the curves
"####
r = 2 and r = 4 cos 2 q r = sin q and r = 3 cos q
4
2
3
2
1
1
0
4 3 2 1 0 1 2 3 4 0
2 1 0 1 2
1
2 1
4 2
i1y i1y
p p p p
A = 8 jj ÄÄÄÄÄ zz ‡ 4 dq + 8 jj ÄÄÄÄÄ zz ‡ 16 cos2 2 q dq
ÄÄ6ÄÄÄ ÄÄ4ÄÄÄ ÄÄ3ÄÄÄ ÄÄ2ÄÄÄ
A = ÄÄÄÄÄ ‡ sin2 q dq + ÄÄÄÄÄ ‡ 3 cos2 q dq
1 1
k2{ k2{ p 2 2 p
0 ÄÄ6ÄÄÄ 0 ÄÄ3ÄÄÄ
è!!!!
p
ÄÄ4ÄÄÄ
16 A q D + 32 ‡ H1 + cos 4 qL dq
p
ÄÄ6ÄÄÄ 5p 3
= = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
0
p
24 4
ÄÄ6ÄÄÄ
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ + 32 A q + ÄÄÄÄÄ sin 4 q D
p
8p 1 ÄÄ4ÄÄÄ
=
3 4 p
ÄÄ6ÄÄÄ
è!!!!
ij p 3 yz "####
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ + 32 jj ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ + 0 - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ zzzz
j
j
8p 16 p
j 12 8 z{
= = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ - 4 3
3 k 3
