Work , Integration

Energy and Power 107

Integration
Revision Points
Primitive 10.  sec x tan x dx  sex x  c
Let f (x) be a function of x. If there is a function

g (x), such that

d
(g(x)) = f(x), then g (x) is
11.  cos ec x cot x dx   cos ec x  c
dx
dx
called an integral of f(x) w.r.t x or a primitive of 12.  x
 log | x |  c
f(x) w.r.t. xor an antiderivative of f (x) w.r.t. x
and is denoted by
ax
 a dx   c, a  0, a  1
x
13.
 f (x) dx  g (x) where  is the integral sign, log a
f (x) is the integrand, g (x) is the integral, dx is
e dx  e x  c
x
the element of integration or differential of x. 14.
If g (x) is an integral of f (x), then g (x) + c,
dx
where c is an arbitrary constant, is also an integral 15.  1 x 2
 sin 1 x  c
of f (x).

Hence  f (x) dx  g (x)  c where c is constant dx

16.  1 x 2
  cos 1 x  c
of integration.
Integration and differentiation are inverse
dx
processes of each other. 17.  1 x 2
 tan 1 x  c

Standard Formulae dx
18.  1 x 2
  cot 1 x  c
1.  dx  x  c
dx
x n 1 19. x  sec 1 x  c
  , c, n  1
n
2. x dx x 12
n 1

1 dx
3.
dx
 x n  (n  1) x n 1  c, n  1 20. x x 12
  cos sec 1 x  c

dx 1
4. x 2

x
c Theorems
If f(x) and g (x) are integrable functions of x,
dx then
5.  x
2 x c

 (f (x)  g(x)) dx   f (x) dx   g (x) dx

6.  sin x dx   cos x  c If f1 (x), f2 (x), ...., fn (x ) are integrable functions

7.  cos x dx  sin x  c of x, then  (f1x)  f 2 (x)  ....  f n (x)) dx

  (f1x) dx   f 2 (x) dx  ....   f n (x) dx

 sec x dx  tan x  c
2
8.
If f(x) and g (x) are integrable functions of x,
 cosec x dx   cot x  c
2
9. then
 Integration 108

 (f (x)  g (g)) dx   f (x) dx   g (x) dx

8.
dx
 ax  b 
log | ax  b |
c
a
If f (x) in an integrable function of x, then
a mx  n
 kf (x) dx  k  f ()x dx, k is constant 9.  a dx 
mx  n

m log a
 c, a  0, a  1
If f (x), f (x), ..., fn (x) are integrable functions
1 2
of x and k1, k2, ..., kn are constants, then a mx  n
10.  a mx  n dx 
m
c
 (k1 f1 (x)  k 2 f 2 (x)  ....  k n f n (x)) dx

 k1  f1 (x)dx  k 2 f 2 (x) dx  .....  k n  f n (x) dx Integration By Substitution

If x   (t) is a differentiable function of t, then The method of evaluating an integral by reducing
it to standard form by a proper substitution is
dx called integration by substitution.
 f (x) dx   f (x) dt dt   f ( (t))  '(t) dt
If  (x) is continuously differentiable function,
Hence, if  f (x) dx  g (x)  c, then then to evaluate integrals of the form

 f  (x)  '(x)dx, we substitute

1
 f (ax  b) dx  a g (ax  b)  c  (x)  t and  '(x) dx  dt .
These substitutions reduce the above integral to
(f (x)) n 1
 (f (x)) f '(x) dx   c n  1
n

n 1  f (t) dt . After evaluating this integral, we

substitute back the value of t.
f '(x)
 f (x)
dx  log | f (x) |  c
Integrals of tan x, cot x, sec x & cose x

f '(x)
 dx  2 f (x)  c 1.  tan x dx  log | sec x | c   log | cos x |  c
f (x)
2.  cot x dx  log | sin x |  c   log | cos ec x |  c
Standard Formulae  x 
3.  sec x dx  log | sec x  tan x |  c  log tan     c
2 4
(ax  b) n 1
 (ax  b) dx  , n  1
n
1.
a (n  1) x
4.  co sec x dx  log | cosec x  cot x |  c  log tan    c
2
 cos (ax  b)
2.  sin (ax  b) dx  a
c

dx
sin (ax  b) Integral of Type  a sin x  bcos x
3.  cos (ax  b) dx  a  c
To evaluate these type of integrals, we put a = r
tan (ax  b) cos a and b = r sin , where r and  are constants.
 sec (ax  b) dx  c
2
4.
a  r2 cos2  + r2 sin2  = a2 •+ b2
 cot (ax  b)  r2 (cos2  + sin2 ) = a2 + b2
 cosec (ax  b) dx  c
2
5.  r2 (1) = a2 + b2
a
 r 2 = a 2 + b2
sec(ax  b)
6.  sec(ax  b) tan (ax  b) dx  a
c
 r  a 2  b 2 and
r sin  b

r cos  a
 cosec(ax  b)
7.  cos ec (ax  b)cot (ax  b) dx  a
c
 Integration 109

 tan  
b Integrals Containing Even Power of
a
sec x OR cosec x
b To evaluate integrals containing even powers of
   tan 1   
a sec x or cosec x, we separate sec2 x or cosec2 x
then we convert remaining powers of sec x or
After simplication using these substitutions, we cosec x into tan x or cot x using identity
evaluate the integral. sec2 x = 1 + tan2 x or cosec2 x = l + cot2 x and
then we substitute t for tan x or cot x.
Integral of Type
Integrals Containing Fractional
a sin x  b cos x ae x  b
 csin x  d cos x
dx,  x
ce  d
dx Power of x OR ax + b
To evaluate integrals containing fractional powers
To evaluate these type of integrals, we express of x or ax + b. We substitute x = t” or ax + b = tn,
numerator in terms of denominator using where n is the L.C.M. of the denominators of
d fractional powers.
Numerator = A(Denominator) B
dx Standard Integrals
(Denominator), where A and B are constants dx x
which we find by comparing coefficients of 1.  a2  x2
 sin 1    c
a
sin x, cos x and ex, constant
dx
2.  a x2 2
 log x  a 2  x 2  c
Integrals Containing Odd Power of
dx
sin x OR cos x 3.  x a2 2
 log x  x 2  a 2  c
To evaluate integrals containing odd powers of
sin x or cos xf we separate sin x or cos x, then we dx1 x
convert sin x or cos x having even power into
4. x x a2
 sec 1    c
a 2
a
cos x or sin x using identities and then we substitute
t for cos x or sin x. dx1 x
5.  a x2
 tan 1    c
a 2
a
Integrals Containing Even Power of dx 1 xa
sin x OR cos x 6. x 2
a 2

2a
log
xa
c

To evaluate integrals containing even powers of

dx 1 ax
sin x or cos x, we express the even powers of sin 7. a 2
x 2

2a
log
ax
c
x or cos x in the form of sin2 x or cos2 x and then
we use For evaluation of above type of integrals, we use
following substitutions.
1  cos 2x 1  cos 2x
sin 2 x  or cos 2 x 
2 2

Integrals Containing any Power of

tan x OR cot x
To evaluate integrals containing even / odd
powers of tan x or cot x, we separate tan2 x or
cot2 x and then use identity tan2 x = sec2 x – 1 or
cot2 x = cosec2 x – 1 and then we substitute t for
tan x or cot x.
 Integration 110

Integrals of Type dx
Integrals of Type  (px  q) ax2  bx  c
dx dx
 ax 2
 bx  c 
,
ax  bx  c
2 To evaluate these type of integrals, we put
1
To evaluate these type of integrals, first we make px  q  , then integrate using appropriate
the coefficient of x2 as unity, if it is not, by
t
multiplying and dividing it. Then, we express the formula.
resulting expression as the sum or difference of
two square terms. Finally using appropriate Integrals of Type
formula, we evaluate the integrals.
dx dx dx
 a  b cos 2
x
,
a  bsin x
2
,
a  b cos x  csin 2 x
2
Integrals of Type
To evaluate these type of integrals, first we divide
px  q px  q
 ax  bx  c
2
dx, 
ax 2  bx  c
dx both numerator and denominator by cos2 x, then
replace sec2 x if any in the denominator by
To evaluate these type of integrals, we write the 1 + tan2 x. Using substitution tan x - t, we evaluate
numerator px + q in the form the integral by appropriate formula.

d
px  q  A (ax 2  bx  c)  B, where A and Integrals of Type
dx
B are constants which we find by comparing dx dx dx
coefficients of x and constants from both sides.  a  b cos x ,  a  bsin x ,  a  bcos x  csin  x
Finally using appropriate formula/ we evaluate
the integrals. To evaluate these type of integrals, we put
x
tan    t
 (x) 2
Integrals of Type  ax  bx  c
2
dx,
1 2x
 sec   dx  dt
Where  (x) is a Polynomial in x of 2 2
Degree Greater Than OR Equal
to Two  2  x 
  1  tan    dx  2dt
To evaluate these type of integrals, we divide   2 
 (x) by ax2 + bx + c to express integrand, as  (1 + t2) dx = 2dt

q (x) 2dt
p (x)  . Finally using appropriate  dx 
ax  bx  c
2
1 t2
formula, we evaluate the integral.
x
2 tan  
sin x   2   2t
dx 
 x  1  t2
Integrals of Type  (px  q) ax  b
1  tan 2  
2
To evaluate these type of integrals, we put
ax + b = t2 and then using appropriate formula, x
1  tan 2  
 2   1 t
2
evaluate the integral.
 cos x 
 x  1 t2
1  tan 2  
2

Using these, we evaluate integral by appropriate

method.
 Integration 111

Integrals of Type Standard Formulae

dx dx dx 1.  f (x) g(x)dx  f (x)  g(x)dx  f '(x)    g (x)dx  dx
 a  b cos 2x ,  a  bsin 2x ,  a  bcos 2x  csin 2x

To evaluate these type of integrals, we put tan  f ''(x)      g (x) dx  dx  dx.....

x=t
eax
sec2 x dx = dt
 e sin bx dx  (a sin bx  b cos bx)  c
ax
2.
 a 2  b2
(1 + tan2 x) dx = dt
 (1 + t2) dx = dt eax
 e cos bx dx  (a cos bx  bsin bx)  c
ax
3.
dt a 2  b2
 dx 
1 t2
e (f (x)  f '(x)) dx  e x f (x)  c
x
4.
2 tan x 2t
 sin x   e mx f (x)
1  tan x 1  t 2 mx  f '(x) 
 
2
5. e f (x)   dx  c
m  m
1  tan 2 x 1  t 2
 cos x  
e (m f (x)  f '(x))dx  e mx f (x)  c
mx
1  tan 2 x 1  t 2 6.
Using these, we evaluate integrals by appropriate
x 2 a2 x
method. 7.  a 2  x 2 dx 
2
a  x2 
2
sin 1    c
a

Integration By Parts x 2 a2
8.  a 2  x 2 dx 
2
a  x2 
2
log x  a 2  b 2  c
If u and v are functions of x, then
x a2
 du  9.  x 2  a 2 dx  x2  a2  log x  x 2  a 2  c
 uv dx  u  v dx   
 dx
 vdx  dx

2 2

In general, if u = f(x) is an algebraic function,

Integration By Partial Fractions
then
f (x)
 f (x)g(x) dx  f (x)  g (x) dx    f '(x)  g (x) dx  dx If fix) and gix) are two polynomials, then
g(x)
While using integration by parts theorem, we defines a rational algebraic function or a rational
choose first function (u) and second function (v) function of x.
in the order of the letters of the word LIATE,
where f (x)
If degree of f (x) < degree of g (x), then
L - Stands for the logarithmic function. g(x)
I - Stands for an inverse trigonometric called a proper rational function.
function.
f (x)
A - Stands for the algebraic function. If degree of f (x)  degree of g (x), then is
g(x)
T - Stands for the trigonometric function.
called an improper rational function.
E - Stands for an exponential function.
In the product of u and v, .if there is only one f (x)
If is an improper rational function, we
function, then unity is taken as second function. g(x)
devide f(x) by g (x) so that the rational function
f (x)  (x)
 (x) 
g(x) is expressed in the form g(x)
,

where  (x) and  (x) are polynomials such that

the degree of  (x) is less than that of g (x).
 Integration 112

f (x) q
Thus is expressible as the sum of a of constants, we replace x  every where
g(x) p
polynomial and a proper rational function. in the given rational expression except in the
factor px + q. itself.
f (x)
Any proper rational function can be TYPE-II
g(x)
When denominator contains repeated linear
expressed as the sum of rational functions, each factors.
having a simple factor of g (x). Each such
Let g (x) = (x – a)k (x – a1) (x – a2)... (x– ar).
fraction is called a partial fraction and the process
Then we assume that
f (x)
of obtaining them is called the resolution of g(x) f (x) A1 A2 A3 Ak
    .... 
g(x) x  a (x  a) 2
(x  a) 3
(x  a)k
into partial fraction.
B1 B2 Br
f (x)    ..... 
The resolution of into partial fractions x  a1 x  a 2 x  ar
g(x)
depends mainly upon the nature of the factors of where A1 A2, A3, ..., Ak, B1 B2 ..., Br are constants
g (x). and can be determined by equating numerators
on both sides. Some of the constants are
determined by substitution as in type I and
TYPE - 1 remaining are obtained by comparing coefficients
When the denominator is expressible as a of equal powers of x on both sides.
product of non-repeated linear factors. TYPE - III
Let g (x) = (x – a1)(x – a2) ..... (x – an). Then, When denominator contains non-repeated
we assume that quadratic factors.
f (x) A1 A2 An When denominator contains non-repeated
   ....  quadratic factors, then corresponding to each
g(x) x  a1 x  a 2 x  an
quadratic factor ax2 + bx + c, we assume partial
where A1, A2, ,.., An are constants and can be
Ax  B
determined by equating the numerator on R.H.S. fraction of the type , where A and
to the numerator on L.H.S. and then substituting ax 2  bx  c
x = a1, a2, ..... an. B are constants to be determined by comparing
coefficients of similar powers of x in the
If the denominator contains the non-repeated
numerator of both sides.
linear factor px + q, then to determine the values
 Integration 113
Multiple Choice Questions
Simple Integrals 3
x2  4 x  3 x
5.  dx 
 (3x  5) dx 
2 2
1. x

9x 5 7 3 5
A)  10x 3  25x  c 6x 4x
6
6x 4 6
5 A)   c
7 3 5
9x 5
B)  10x 3  25x  c
5 7 3 5
7x 6 3x 4 5x 6
9x 5 B)   c
C)  10x 3  25x  c 6 4 6
5
7 3 5
9x 5 x6
x x 4 6
D)  10x 3  25x  c C)   c
5 7 3 5
2
2 2
2.  x 1  x  dx  7
x6 x4 x6
3 5

D)   c
6 4 6
x3
A)  2x 2  4x  c
3
 1 1 
x3
6.  
 (6x  5) 3

(8  3x)9
 dx 

B)  2x 2  4x  c
3
1 1
x3 A)  c
C)  2x 2  4x  c 18(6x  5) 3
24(8  3x)8
3

x3 1 1
D)  2x 2  4x  c B)  c
3 18(6x  5) 3
24(8  3x)8

ax 2  bx 1  c
3.  x 3
dx 
C)
1

1
c
18(6x  5) 3
24(8  3x)8
A) 2ax2 + 3bx3 + 4cx4 + c1
B) 6ax2 + 4bx3 + 3cx4 + c1 1 1
D)  c
C) a + b + cx–2 + c1 18(6x  5) 3
24(8  3x)8
ax 2 bx 3 cx 4
D)    c1 dx
2 3 4 7.  3x  5  3x  2

ax 3  bx 2  c
4.  x4
dx 

b c
A)
1
27
 (3x  5)3  (3x  2)3  c 
A) a log | x |   3  c1
x 3x
b c
B)
1
27
 (3x  5)3  (3x  2)3  c 
B) a log | x |   3  c1
x 3x

C)
b c
a log | x |   3  c1
C)
1
27
 (3x  5)3  (3x  2)3  c 
x 3x

D) a log | x | 
b c
 3  c1 D)
1
27
 (3x  5)3  (3x  2)3  c 
x 3x
 Integration 114

3 C) sin 1 x  log| x |  c
8.  7x  2  7x  5
dx 
D) sin 1 x  log| x |  c

A) 1
21
 (7x  2)3  (7x  5)3  c  12. 
(x  1) 2
dx 
x (x 2  1)

B)
1
21
 (7x  2)3  (7x  5)3  c  A)
B)
log |x| + c
log |x| + 2 tan–1 x + c
C) – log |x2 + 1| + c
C)
1
21
 (7x  2)3  (7x  5)3  c  D) log |x (x2 + 1)| + c

 (sin
1
13. x  cos 1 x) dx 
D)
1
21
 (7x  2)  (7x  5)
3 3
 c
x
A) c
2x 2
9.  (2x  1) 2
dx 
x
B) xc
2
1 1
A) log 2x  1  c C) x (sin–1 x – cos–1 x) + c
2 2(2x  1)
D) x (sin–1 x + cos–1 x) + c
1 1
 (sin x  cos 4 x) dx 
4
B) log 2x  1  c 14.
2 2(2x  1)
 cos 2x cos 2x
1 A) c B) c
C) 2 log 2x  1  c 2 2
2(2x  1)
 sin 2x sin 2x
C) c D) c
1 2 2
D) 2 log 2x  1  c
2 (2x  1)
 sin x dx 
2
15.
7
x
10.  x  1 dx  A)
x sin 2x
  c B)
x sin 2x
 c
2 4 2 4
x7 x6 x5 x 4 x3 x 2
A)       x  log x  1  c sin 2x sin 2x
7 6 5 4 3 2 C) x  c D) x c
2 2
x7 x 6 x5 x 4 x3 x 2
B)  cos x dx 
2
      x  log x  1  c 16.
7 6 5 4 3 2

x7 x 6 x5 x 4 x3 x 2 sin 2x sin 2x
      x  log x  1  c A) x  c B) x c
C) 2 2
7 6 5 4 3 2
x sin 2x x sin 2x
x 7 x 6 x5 x 4 x3 x 2 C)   c D)  c
D)       x  log x  1  c 2 4 2 4
7 6 5 4 3 2

 tan x dx 
2
17.
x  1 x 2
11.  x 1 x2
dx  A) tan x + x + c B) – tan x – x + c
C) – tan x + x + c D) tan x – x + c
1
 cot x dx 
2
A) sin 1 x  log| x |  c 18.
2
A) – cot x – x + c B) – cot x + x + c
1 C) cot x – x + c D) cot x + x + c
B) sin 1 x  log| x |  c
2
 Integration 115

 sin x dx   5cos8x cos 2x dx 

3
19. 23.

 3cos x cos3x sin10x 5sin 6x

A)  c A)  c
4 12 2 6

3cos x cos3x sin10x 5sin 6x

B)  c B)  c
4 12 2 6
sin10x 5sin 6x
 3cos x cos3x C)  c
C)  c 4 12
4 12
sin10x 5sin 6x
3cos x cos3x D)  c
D)  c 4 12
4 12
24.  2sin 3x sin 6x dx 
 cos x dx 
3
20.
sin 3x sin 9x
3 1 A)  c
A) sin x  sin 3x  c 6 18
4 12
sin 3x sin 9x
3 1 B)  c
B) sin x  sin 3x  c 6 18
4 12
sin 3x sin 9x
4 1 C)  c
C) sin x  sin 3x  c 3 9
3 12
sin 3x sin 9x
4 1 D)  c
D) sin x  sin 3x  c 3 9
3 12
25.  cos x cos 2x cos3x dx 
 sin x dx 
4
21.
1 sin 2x sin 4x sin 6x 
A)
1
(12x  8sin 2x  sin 4x)  c
A) x    c
2 2 4 6 
32

1 1 sin 2x sin 4x sin 6x 

B) (12x  8sin 2x  sin 4x)  c B) x    c
32 4 2 4 6 

1 1 sin 2x sin 4x sin 6x 

C) (12x  8sin 2x  sin 4x)  c C) x    c
32 8 2 4 6 

1 1 sin 2x sin 4x sin 6x 

D) (12x  8sin 2x  sin 4x)  c D) x    c
32 16  2 4 6 
22.  sin 7x cos3x dx  26.  sin 4x cos x cos 6x dx 
1  cos10x cos 4x  1 cos 3x cos 9x cos 11x 
A)    c A)  cos x    c
2 5 2  4 3 9 11 

1  cos10x cos 4x  1 cos 3x cos 9x cos 11x 

B)    c B)  cos x    c
2 5 2  4 3 9 11 

1  cos10x cos 4x  1 cos 3x cos 9x cos 11x 

C)    c C)  cos x    c
4 5 2  4 3 9 11 

1  cos10x cos 4x  1 cos3x cos 9x cos 11x 

D)    c D)  cos x    c
4 5 2  4 3 9 11 
 Integration 116

 (tan x  cot x) dx 
2
27. dx
33.  sin 2
x cos 2 x

A) tan x – cot x + 4x + c
B) tan x – cot x – 4x + c A) tan x + cot x + c
B) – tan x – cot x + c
C) tan x – cot x + c
C) cot x – tan x + c
D) tan x + cot x + c
D) tan x – cot x + c
 (sec x  tan x) dx 
2
28.
dx
A) 2(sec x + tan x) – x + c
34.  sin 2
x cos 2 x


B) 2(sec x + tan x) + x + c A) 2 tan 2x + c B) – 2 tan 2x + c

C) 2(sec x + tan x) + c C) – 2 cot 2x + c D) 2 cot 2x + c
D) sec x (sec x + tan x) + c
 sec x cos ec 2 x dx 
2
35.
 x  x 
2
x  x  A) – cot 2x + c B) – 2 cot 2x + c
29.    cos 2    sin 2     4sin   cos 2    dx 
 4  4  4  4  
 C) cot 2x + c D) 2cot 2x + c
A) sin x + c B) – sin x + c
cos 2x  2sin 2 x
C) sin x + c D) – cos x + c 36.  cos 2 x
dx 

30.  1  sin x dx  A) 2sec x + c B) 2tan x + c

C) sec x + c D) tan x + c
x x
A) sin    cos    c cos   cos 2
2 2 37.  1  cos 
d 

x x A)  + 2 sin  + c B)  – 2 sin  + c

B) sin    cos    c
2 2 C) 2 + sin  + c D) 2 – sin  + c

  x  cos 7x  cos8x
C)
x
2  sin    cos     c 38.  1  2cos 5x
dx 
 2  2 

sin 2x sin 3x
 x  x  A)   c
D) 2  sin    cos     c 2 3
 2  2 
sin 2x sin 3x
B)  c
31.  1  sin 2x dx  2 3
A) sin x + cos x + c sin 2x sin 3x
C)  c
B) sin x – cos x + c 2 3
C) cos x – sin x + c
sin 3x sin 2x
D) – cos x – sin x + c D)  c
3 2

 (1  cos x) cos ec x dx 
2
32. cos 2x
39.  sin 2 x cos 2 x
dx 
x x
A)  tan    c B) tan    c A) cot x + tan x + c
2 2
B) cot x – tan x + c
x x C) tan x – cot x + c
C)  2 tan    c D) 2 tan    c
2 2 D) – tan x – cot x + c
 Integration 117

sin 4 2x  cos 4 2x cos 4x  1

40.  sin 2 2x cos 2
dx  46.  cot x  tan x dx 
tan 2x cot 2x 1 1
A)   2x  c A) cos 4x  c B) cos 4x  c
2 2 8 8

tan 2x cot 2x 1 1
B)   2x  c C) cos 4x  c D) cos 4x  c
2 2 4 4
tan 2x cot 2x dx
C)   2x  c
2 2 47.  tan x  cot x 
tan 2x cot 2x
D)   2x  c cos 2x sin 2x
2 2 A) c B) c
4 4
sin 6   cos 6 
41.  sin 2  cos 2 
d 
C)
 sin 2x
c D)
 cos 2x
c
4 4
A) tan  + cot  + 3 + c
2
B) tan  – cot  – 3 + c  1  tan x 
48.    dx 
C) tan  + cot  – 3 + c  1  tan x 
D) tan  – cot  + 3 + c
   
cos ec   cot  A)   tan   x   x   c
42.  cos ec   cot 
d   4  

A) 2cosec  – 2 cot  –  + c    
B)   tan   x   x   c
B) 2cosec  – 2 cot  +  + c   4  
C) 2cosec  + 2 cot  –  + c
D) 2cosec  + 2 cot  +  + c  
C) tan   x   x  c
cos 2x  cos 2 4 
43.  cos x  cos 
dx 
 
D) tan   x   x  c
A) 2(sin x + x cos ) + c 4 
B) 2(sin x + cos ) + c
C) 2(– sin x + x cos ) + c dx
D) – 2(sin x + x cos ) + c
49.  1  cos x 
sin x  cos ec x x x
44.  tan x
dx  A) cot    c B)  cot    c
2 2
A) sin x – cosec x + c
B) – sin x + cosec x + c x x
C) 2cot    c D)  2cot    c
C) log |tanx| + c 2 2
D) log |cot x | + c
dx
sec  50.  1  cos 2x 
45.  sec   tan 
d 

A) tan  + sec  + c  cot x cot x

A) c B) c
B) – (tan  + sec  + c 2 2
C) tan  – sec  + c
 tan x tan x
D) sec  – tan  + c C) c D) c
2 2
 Integration 118

dx cos x  sin x
51.  1  sin x  56.  1  sin 2x
dx 

A) tan x + sec x + c
B) tan x – sec x + c x2  x2
A) c B) c
C) – cosec x – cot x + c 2 2
D) cosec x + cot x + x C) –x+c D) x + c
cos x
52.  1  cos x dx   sin 2x 
 tan
1
57.   dx 
 1  cos 2x 
x
A) 2cot    x  c A) x + c B) –x+c
2
x2  x2
x C) c D) c
B) 2cot    x  c 2 2
2

x  1  sin x 
 cot
1
C) cot    x  c 58.   dx 
2  cos x 

x x x 2 x x 2
D)  cot    x  c A)  c B)  c
2 4 4 4 4

sin x
53.  1  sin x dx  C)
x x 2
 c D)
x x 2
 c
4 2 4 2
A) x + tan x + sec x + c
B) x – tan x – sec x + c 1  sin x
 tan
1
59. dx 
C) x + tan x – sec x + c 1  sin x
D) x – tan x + sec x + c
tan x x x 2 x x 2
A)  c B)  c
54.  tan x  sec x
dx  4 2 4 2
A) sec x + tan x + x + c
x x 2 x x 2
B) sec x + tan x – x + c C)  c D)  c
4 2 4 4
C) sec x – tan x + x + c
D) sec x – tan x – x + c  2 tan x 
cos x
60.  tan 1   dx 
 1  tan x 
2

55.  1  sin x
dx 

x x2
A) c B) c
x x 2 2
A) sin    cos    c
2 2
C) x2 + c D) 2x2 + c
x x
sin    cos    c
 tan
1
B) 61. (sec3x  tan 3x) dx 
2 2

 x  x  x 3x 2 x 3x 2
C) 2  sin    cos     c A)   c B)  c
 2  2  2 2 2 2

 x  x  x 3x 2 x 3x 2
D) 2  sin    cos     c C)   c D)  c
 2  2  4 4 4 4
 Integration 119

1  cos x e x cos3x  4 x tan 3x

62.  cot 
1
dx  67. dx 
1  cos x 4 x cos3x

x2 x2 ex sec3x
A) c B) c  c
4 2 A)
4 (1  log 4)
x
3
x x
C) c D) c ex sec3x
4 2  c
B)
4 (1  log 4)
x
3
e e dx 
x log a x
63.
ex sec3x
(ae) x
C)  c
A) (ae)x + c B) c 1  log 4 3
1  log a
ex cos ec3x
ax ex D)  c
C) c D) c 1  log 4 3
1  log a 1  log a

e5log x  e 4 log x  2 
  e
2  5x
68.   dx 
64.  e3log x  e 2log x
dx  6x  1 
A) e(3–3x) + c B) e3 log |x| + c
e 25x 1
3 3
A)  log 6x  1  c
x x 5 3
C) c D) c
3 6
 e 25x 1
B)  log 6x  1  c
2 3
x x
5 3
65.  5x
dx 
e 2 5x 1
2 x
3 x C)  log 6x  1  c
A)  x c 5 3
5 (log 2  log 5) 5 (log 3  log 5)
x

 e 25x 1
2 x
3 x D)  log 6x  1  c
B)  x c 5 3
5 (log 2  log 5) 5 (log3  log 5)
x

69. If  f (x) dx  f (x)  c, then  f (x) dx 

3x 2x
C)  c A) xe B) ex
5x (log3  log 5) 5x (log 2  log 5)
1
3x 2x C) log |x| D)
D)  c x
5x (log 5  log 3) 5 x (log 5  log 2)
70. If f '(x) = 4x4 – 3x2 + 2x2 + k and f(0) = 1,
(a  b )
x x 2
f(1) = 4, then f(x) =
66.  a x bx
dx 
A) x4 – x3 + x2 + 2x + 1
B) x4 – x3 + x2 + x + 2
ax bx
A)  x  2x  c C) x4 – x3 + x2 + 2x + 2
b (log a  log b) a (log b  log a)
x

D) x4 – x3 + x2 + x + 1
x x
a b
B)  x  2x  c 71. If f '(x) = 8x3 – 3x2 – 10x – k and f(0) = –3,
b (log a  log b) a (log b  log a)
x

f(1) = 0, then f(x) =

ax bx A) 2x4 + x3 + 5x2 + 7x – 3
C)  x  2x  c
b (log a  log b) a (log b  log a)
x
B) 2x4 + x3 + 5x2 – 7x + 3
C) 2x4 + x3 – 5x2 + 7x – 3
ax bx
D)  x  2x  c D) 2x4 + x3 – 5x2 – 7x – 3
b (log a  log b) a (log b  log a)
x
 Integration 120

1 5  x
8

72. If f '(x)  x  and f (1)  , then f (x) 
   2   (4x  5)  dx 
 3
x 2 77.  9
 
x2 x2
A)  log| x |  2 B)  log| x |  2 2 x
9
(4x  5)4
2 2 A) 9   c
 
3 2 16
x2 x2
C)  log| x |  4 D)  log| x |  4 9
2 2 2  x (4x  5)4
B) 9    c
3  2 16
73. If f(x) = x, g(x) = sin x, then  f (g(x)) dx 
9
A) – cos x + c B) cos x + c 2 x (4x  5)4
C)  9    c
9 2 16
 x2 x2
C) c D) c 9
2 2 2  x (4x  5)4
D)  9    c
9  2 16
74. If f '(x) = k (cos x – sin x) and f '(0) = 3,
3
  1 2  x2  1 
f    15 , then f(x) is
2 78.   x    2  dx 
 x  x 
A) cos x + sin x + 12
5 5
B) 3(cos x + sin x) + 12 2  1 2 2 1 2
A) x   c B) x   c
C) cos x + sin x – 12 5  x 5 x
D) 3(cos x + sin x) – 12 1 1
 1 2  1 2
1 C)  2 x    c D) 2 x    c
75. If  (sin 2x  cos 2x) dx  2
sin (2x  a)  b ,  x  x

then
x a 3  x 3 dx 
5
79.

A) a  ,b  0 2 3 5
2 3
4 A) (a  x 3 ) 2  (a 3  x 3 ) 2  c
15 9

B) a ,b  0 2 3 5
2 3
4 B) (a  x 3 ) 2  (a 3  x 3 ) 2  c
15 9
5
C) a , b  cons tan t 5 3
4 2 3 2
C) (a  x 3 ) 2  a 3 (a 3  x 3 ) 2  c
15 9
 5
D) a , b  cons tan t 5 3
4 2 3 2
D) (a  x 3 ) 2  a 3 (a 3  x 3 ) 2  c
15 9

Integration Using Substitution 4

x4  x
80.  x5
dx 
 (3x  4) dx 
3
76.
5 5

(3x  4) 4
3(3x  4) 4 4  1 4 4  1 4
A)  c B) c A) 1  3   c B) 1  3   c
12 4 15  x  5  x 

5 5
3(3x  4) 2 3(3x  4) 2 2  1 4 2  1 4
C)  c D) c
2 4 C) 1  3   c D) 1  3   c
15  x  5  x 
 Integration 121

x n 1 dx
81.  1  4x n
dx  86. 4 x x


1  4x n 1  4x n A) 2log 4  x  c
A) c B) c
n 2n
B) 2 log 1  4 x  c
2 1  4x n n 1  4x n
C) c D) c
n 2 1
C) log 4  x  c
4x  6 2
82.  3
dx 
(x  3x  5)
2 2 1
D) log 1  4 x  c
2
2 2
A) c B) c
x  3x  5
2
x  3x  5
2 x2  1
87.  x (x 2  1)
dx 

4 4
C) c D) c A) log |x2 – 1| – log |x| + c
x  3x  5
2 x  3x  5
2

B) log |x| – log |x2 – 1| + c

dx C) – log |x2 – 1| – log |x| + c
83.  3x  5x  n

D) log |x| + log |x2 – 1| + c

log 3x n 1  5 x3
A)
n 1
c 88.  (x  1)2
dx 

log 3x n 1  5 x2 5 1
B) c A)  2x   3log | x  1|  c
5(n  1) 2 2 x 1

log 3x n 1  5 x2 5 1
c B)  2x   3log | x  1|  c
C) 2 2 x 1
3(n  1)
x2 5 1
log 3x n 1  5 C)  2x   3log | x  1|  c
D) c 2 2 x 1
15(n  1)
x2 5 1
dx D)  2x   3log | x  1|  c
2 2 x 1
84.  xx n


x 3  4x 2  7x  5
n log x n 1
1 log x n 1
1 89.  x2
dx 
A) c B) c
n 1 n 1
x3
A)  x 2  11x  27 log | x  2 |  c
n log x n 1  1 log x n 1  1 3
C) c D) c
n 1 n 1
x3
B)  x 2  11x  27 log | x  2 |  c
dx 3
85.  x x


x3
1 C)  x 2  11x  27 log | x  2 |  c
1 log 1  x  c 3
A) log 1  x  c B)
2 2
x3
C)  2 log 1  x  c D) 2 log 1  x  c D)  x 2  11x  27 log | x  2 |  c
3
 Integration 122

5x 2  4x  7 x
90.  dx  94.  xa xb
dx 
(2x  3) 3

2  5 5

1  5 (2x  3) 49  (a  a)  (x  b)
2 2
3
A)  
A)   22 2x  3   c 5(a  b)  
4 3 2x  3 

2  3 3

1  5 (2x  3)3 49    (x  b) 2  (x  a) 2   c
B)   22 2x  3   c 3(a  b)  
4 3 2x  3 

2  5 5

1  5 (2x  3)
3  B)  (a  a) 2  (x  b) 2 
C)   22 2x  3 
49
 c 5(a  b)  
4 3 2x  3 

2  3 3

1  5 (2x  3)
3
49    (x  b) 2
 (x  a) 2
c
D)   22 2x  3   c 3(a  b)  
4 3 2x  3 

2  5 5

C)  (a  a) 2  (x  b) 2 
5(a  b)  
91.  (2x  1) x  4 dx 

2 5 3
2  3 3

A) (x  4) 2  6 (x  4) 2  c   (x  b) 2
 a (x  a) 2
c
5 3(a  b)  
5 3
2
B) (x  4) 2  6(x  4) 2  c 2  5 5

5 D)  (a  a) 2  (x  b) 2 
5(a  b)  
5 3
4
C) (x  4) 2  6 (x  4) 2  c
5 2  3 3

  (x  b) 2
 a (x  a) 2
c
5 3
3(a  b)  
4
D) (x  4) 2  6 (x  4) 2  c
5 x7
95.  (1  x 2 )5
dx 
4  5x
92.  3
dx 
(3  x) 2
 x8 x8
A)  c B) c
4(1  x 2 ) 4 4(1  x 2 ) 4
5x  26 26  5x
A) c B) c
3 x 3 x  x8 x8
C)  c D) c
8(1  x 2 ) 4 8(1  x 2 ) 4
2 (5x  26) 2 (26  5x)
C)  c D) c
3 x 3 x x7
1
96.  (1  x 4 ) 2
dx 
93.  (5  3x) (2  3x) 2
dx 
1 1 
 log 1  x   c
4
A)
2 4 1 x4 
A) (11  3x) 2  3x  c
3
1  1 
 log 1  x   c
4
2 B)
B) (11  3x) 2  3x  c 4  1  x4 
9
1 1 
2  log 1  x  c
4
C) 4 2 
C) (3x  11) 2  3x  c 4 (1  x ) 
3

2 1  1 
 log 1  x   c
4
D) (3x  11) 2  3x  c D)
9 4  (1  x 4 )2 
 Integration 123

dx x2  1
97.  1 x
 102.  x4  1
dx 

A) 2 1 x  c B) 2 1 x  c 1  x2 1 
A) tan 1   c
2  2x 
C)  sin 1 x  c D) sin 1 x  c
1  x2 1 
dx B) tan 1   c
2  2x 
98.  (4x  5) 2
1


1  x2 1
C) tan 1   c
1 1 1 2
A) cot (4x  5)  c B) tan 1 (4x  5)  c  2x 
4 4
1  x2  1
C) cot 1 (4x  5)  c D) tan 1 (4x  5)  c D) tan 1   c
2  2x 
(x  1) 2
99.  (x 2  1)2
dx 
103. 
x2 1
dx 
x4  1
1 1
A) cot 1 x  c x
 2
x 1
2
1 x
A) log c
2 2 1
1 x  2
B) cot 1 x  c x
x 1
2

1
1 x
 2
1
tan x  2 c 1 x
C) B) log c
x 1 2 2 1
x  2
x
1
D) tan 1 x  c
x 1
2
1
x
 2
1 x
dx C) log c
100.  (1  2x) (1  2x)  1
2
 2 1
x  2
x

1 1
A) sec1 (1  2x)  c x
 2
2 1 x
D) log c
2 1
1 x  2
B) sec1 (1  2x)  c x
2
x2 1
C) 1
 sec (1  2x)  c 104.
 x4  x2 1
dx 

D) sec1 (1  2x)  c
1 x2  x  1
A) log 2 c
dx 2 x  x 1
101.  (4x  1) (4x  1)2  1

1 x2  x  1
B) log 2 c
A) sec (4x – 1) + c
–1
2 x  x 1
B) – sec (4x – 1) + c
–1

1 x2  x  1
1 C) log 2 c
C) sec1 (4x  1)  c 4 x  x 1
4

1 1 x2  x  1
D) sec1 (4x  1)  c D) log 2 c
4 4 x  x 1
 Integration 124

x2 1 e x (1  x)
105.  x4  x2 1
dx  110.  sin 2 (xe x )
dx 

 x2 1 A) cot (xex) + c B) – cot (xex) + c

1
A) tan 1    c
3 C) x cot (xex) + c D) – x cot (xex) + c
 x 3 
 sin x cos3 x dx 
4
111.
1  x2  1 
B) tan 1    c
3  x 3  sin 5 x sin 7 x
A)  c
5 7
1  x2 1 
C) tan 1    c sin 5 x sin 7 x
2 3  2x 3  B)  c
5 7

1  x2  1  sin 5 x sin 5 x
D) tan 1    c C)  c
2 3  2x 3  7 5

x2 1  sin 7 x sin 5 x
106.  x4  x2 1
dx  D)
7

5
c

A) cos x  c B) 2 cos x  c sec8 x

112.  cos ec x
dx 
C)  cos x  c D) 2cos x  c
cos7 x 7
c c
 x sec x dx  A) B)
9 2 10
107. 7 cos7 x

tan x10  tan x10 1 1

A) c B) c C) c D) c
10 10 7 cos7 x cos7 x

cot x10  cot x10

c c x cos x 3 sin 7 x 3 dx 
2
C) D) 113.
10 10
2 1
e (1  x) cos 2 (xe x ) dx 
x
108. A) sin 9 x 3  c B) sin 9 x 3  c
3 3
1 x 1
A) xe  sin (2xe x )  c 2 1
2 4 C) sin 9 x 3  c D) sin 9 x 3  c
27 27
1 x 1
B) xe  sin (2xe x )  c cos7 x
2 4 114.  sin x
dx 

1 x 1
C) xe  sin (2xe x )  c 3 3 1
2 2 A) log sin x  sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x  c
2 4 6
1 x 1
D) xe  sin (2xe x )  c 3 3 1
2 2 B) log sin x  sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x  c
4 2 6
e x (1  x)
109.  cos 2 (xe x )
dx 
C)
3 3 1
log sin x  sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x  c
2 2 6
A) ex tan2 (xex) + c B) tan2 (xex) + c
3 3 1
C) ex tan (xex) + c D) tan (xex) + c D) log sin x  sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x  c
4 4 6
 Integration 125

e cot x dx  sin 3 2x
3log sin x
115.
120.  cos5 2x
dx 
A) 3sin3 x + c B) – 3sin3 x + c
A) tan4 x + c B) tan 4x + c
sin x3
 sin x 3

C) c D) c 1
3 3 C) tan4 2x + x + c D) tan 4 2x  c
8
cos3 x
116.  sin13 x
dx 
121. 
(sec x  cos ec x)(sec x  cos ec x)
dx 
tan x  cot x
2 5
2 9
A) (log |tan x + cot x|)2 + c
A) (cot x) 2  (cot x) 2  c
5 9 B) – (log |tan x + cot x|)2 + c
C) log |tan x + cot x| + c
2 5
2 9

B) (cot x) 2  (cot x) 2  c D) – log |tan x + cot x| + c

5 9
dx
2 5
2 9 122.  sin x cos 3
x

C) (cot x) 2  (cot x) 2  c
5 9
A) tan4 x – log |tan x| + c
2 5
2 9 B) tan4 x + log |tan x| + c
D) (cot x) 2  (cot x) 2  c
5 9 tan 2 x
C)  log tan x  c
2
 tan x sec x 1  tan 2 x dx 
2
117.
tan 2 x
D)  log tan x  c
1 3
2
A) (1  tan 2 x)  c 2
3
sec x tan x
1 3 123.  3sec x  5
dx 
B) (1  tan 2 x) 2  c
3
1
A) log 3sec x  5  c
2 3 3
C) (1  tan 2 x)  c 2
3 1
B) log 3sec x  5  c
3 3
2
D) (1  tan 2 x) 2  c
3 C) 3 log 3sec x  5  c
2 4
D) 3 log 3sec x  5  c
118.  sec 3 x cos ec 3 x dx 
tan x
1
 3(tan x)
1
c
124.  sin x cos x dx 
A)  3(tan x)  c B) 3 3

1 1 A) 2 sec x  c B) 2 tan x  c
C) 3(tan x) 3  c D) (tan x) 3
c
2 2
C) c D) c
x sec 2 x 2 tan x
119.  tan 3 x 2
dx  sec x

 sec x tan x dx 
n
125.
1 2
A) c B) c sec n 1 x sec n x
tan x 2
tan x 2 A) c B) c
n 1 n

1 2 tan n 1 x tan n x
C) c D) c C) c D) c
tan x 2 tan x 2 n 1 n
 Integration 126
A) – log | sin x – cos x | + c
 sec x cos ec 2 x dx 
4
126.
B) log | sin x – cos x | + c
C) – log | sin x + cos x | + c
1
A) tan 3 x  2 tan x  cot x  c D) log | sin x + cos x | + c
3
sin 2x
B)
1
tan 3 x  2 tan x  cot x  c
132.  1  sin 2
x
dx 
3
A) log | sin 2x | + c
1 B) log | 1 + sin2 x | + c
C) tan 3 x  2 tan x  cot x  c
3 1
C) log |1  sin 2 x|  c
1 2
D) tan 3 x  2 tan x  cot x  c D) tan–1 (sin x) + c
3
sin 2x
dx 133.  1  cos dx 
  2
127. x
sin x cos x  2cos 2 x
1
A) – log |tan x + 2| + c A) log |1  cos 2 x |  c
2
B) log |tan x + 2| + c
1
C) – 2log |tan x + 2| + c B) log |1  cos 2x |  c
2
D) log |tan x + 2| + c
C) 2 log |1  cos 2x |  c
x
128.  1  x cot x
dx  D)  log |1  cos 2x |  c

sin 2x
A) log | cos x – x sin x | + c 134.  a sin x  b 2 cos 2 x
2 2
dx 
B) log | x sin x – cos x | + c
C) log | sin x – x cos x | + c 1
A) log a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x  c
D) log | cos x + x sin x | + c a  b2
2

cos x  sin x 1
log a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x  c
129.  1  sin 2x
dx  B)
a  b2
2

1
1 1 C) log a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x  c
A)  c B) c a b
2 2

cos x  sin x cos x  sin x

1
D) log a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x  c
1 1 a  b2
2
C)  c D) c
cos x  sin x sin x  cos x
sin 2x
cos x  x sin x
135.  (a sin 2
x  bcos2 x)10
dx 
130.  x (x  cos x)
dx 
1
A) c
(b  a) (a sin x  b cos 2 x)9
2

x x  cos x
A) log  c B) log c
x  cos x x 1
B) c
(a  b) (a sin x  b cos 2 x)9
2

x sin x x  cos x
C) log  c D) log c
x  cos x x sin x 1
C) c
9(b  a) (a sin 2 x  b cos 2 x)9
1  cot x
131.  1  cot x dx  D)
1
c
9(a  b)(a sin 2 x  b cos 2 x)9
 Integration 127

elog tan x  tan 2 x  1 

136.  3tan 2 x  2
dx  A) 2 tan 1    c
 2 tan x 
1
A) log 3sin 2 x  2cos 2 x  c  tan 2 x  1 
6 B) 2 cot 1    c
 2 tan x 
1
B) log 3sin 2 x  2cos 2 x  c
2 1  tan 2 x  1 
C) tan 1    c
1 2  2 tan x 
C) log 3sin 2 x  2cos 2 x  c
3  tan 2 x  1 
1
D) cot 1    c
1 2  2 tan x 
D) log 3sin 2 x  2cos 2 x  c
12
dx
sec 2 x tan x 142.  
137.  sec 2 x  tan 2 x
dx  sin 3 x sin (x  )

2
1 A) cos   sin  cot x  c
A) log sec2  tan 2 x  c sin 
2
1 2
B) log sec 2  tan 2 x  c B) cos   sin  cot x  c
2 sin 

1 1
C) log sec2  tan 2 x  c C) cos   sin  cot x  c
4 sin 
1 1
D) log sec 2  tan 2 x  c cos   sin  cot x  c
4 D) sin 
cos 2x
138.  (sin x  cos x) dx  cos 2

2
143. d 
sin 
A) log | cos x + sin x | + c
B) – log | cos x + sin x | + c
A) log cot   cot 2   1
C) log | cos x – sin x | + c
D) – log | cos x – sin x | + c
1
cos 2x  x  1  2 log cos   cos 2   c
2
139.  x 2  sin 2x  2x
dx 

A) 2log | x2 + sin2x + 2x | + c B)  log cot   cot 2   1

B) log | x2 + sin2x + 2x | + c
1 1
C) log | x2 + sin2x + 2x | + c  2 log cos   cos 2   c
2 2

1
D) log | x2 + sin2x + 2x | + c C) log cot   cot 2   1
4
sin 2x 1
140.  sin 4
x  cos 4 x
dx   2 log cos  cos 2  
2
c

A) cot–1 (tan2 x) + c B) tan–1 (tan2 x) + c

C) cot–1 (cot2 x) + c D) tan–1 (cot2 x) + c D)  log cot   cot 2   1
dx
141.  sin 4
x  cos 4 x

 2 log cos  cos 2  
1
c
2
 Integration 128

sec x 147.  cot x dx 

144.  cos 2x
dx 
1  tan  1 
A) tan 1  
A) sin–1 (tan x) + c 2  2cot x 
B) cos–1 (tan x) + c
C) tan x + c 1 1  cot x  2cot x
 log c
2 2 1  cot x  2cot x
D) cot x + c

sin   cos  1  cot  1 

B) tan 1 
145.  sin 2
d  2  2cot x 


1 1  cot x  2 cot x
A) log cos   sin   sin 2  c  log c
2 2 1  cot x  2cot x
B) sin–1 (sin  – cos ) + c
1  cot  1 
C) tan 1  
C) log sin   cos   sin 2  c 2  2cot x 

D) sin–1 (sin  + cos ) + c 1 1  cot x  2cot x

 log c
2 2 1  cot x  2cot x
146.  tan x dx 

1  cot x  1 
1  tan  1  D) tan 1  
A) tan 1   2  2cot x 
2  2 tan x 
1 1  cot x  2 cot x
 log c
1 tan x  2 tan x  1 2 2 1  cot x  2cot x
 log c
2 2 tan x  2 tan x  1
148. For which of the following functions the
substitution x2 = t is applicable
1  tan  1 
tan 1 
B) x tan 1 x 3 dx
6
 A)
2  2 tan x 

 2x 
 tan
1
1 tan x  2 tan x  1 B)  2 
dx
 log c 1 x 
2 2 tan x  2 tan x  1
x
3
C) cos x 3 dx
1  tan  1  D) all of these
C) tan 1  
2  2 tan x 
dx
149.  1  x 2 (2  3sin 1 x)

1 tan x  2 tan x  1
 log c A) 3log |2 + 3sin–1 x| + c
2 tan x  2 tan x  1
B) – 3log |2 + 3sin–1 x| + c

1  tan  1  1
D) tan 1   C) log 1  3sin 1 x  c
2  2 tan x  3
1
D) log 2  3sin 1 x  c
1 tan x  2 tan x  1 3
 log c
2 tan x  2 tan x  1
 Integration 129
154.
dx
150.  (1  x 2 )(9  sin 1 x) 2
 A) (x + cot–1 x)2 + c
B) – (x + cot–1 x)2 + c
A) log |3 + sin–1 x| + c
1
B) – log |3 + sin–1 x| + c C) (x  cot 1 x) 2  c
2
C) log |9 + sin–1 x| + c
D) – log |9 + sin–1 x| + c 1
D) (x  cot 1 x) 2  c
2
3
(sin 1 x) 2
151.  1  x2
dx 
155.

 cos  2 cos
1 1 x 
 dx 
 1 x 
2 5

A) (sin 1 x)  c 2
1 x2 1 x2
3 A)  c B)  c
2 4 2 4
5
2
B) (sin 1 x) 2  c 1 x2 1 x2
3 C)  c D)  c
4 2 4 2
5 5
(sin 1 x) 2  c x
2
3 5
C) 156. To evaluate e3x dx the simplest way is
3
to :
5
5 A) substitute x2 = t
D) (sin 1 x)  c 2
2 B) substitute 3x2 = t
x sin 1 x 2 C) integration by parts
152.  1  x4
dx  D) can not evaluate

e5x
A)
1
(sin 1 x 2 ) 2  c 157.  e5x  1
dx 
2

1 2 5x 5 5x
B) (sin 1 x 2 ) 2  c A) e  1  c B) e 1  c
4 5 2

1 1 4 1 5x 1 5x
C) sin x  c C) e  1  c D) e 1  c
2 5 2

1 1 4 ex  1
D)
4
sin x  c 158.  ex  x
dx 

A) log | ex + x| + c B) – log | ex + x| + c
x 2 tan 1 x 3
153.  1  x6
dx  C) log | ex + 1| + c D) – log | ex + 1| + c

e3x
A)
1
(tan 1 x 3 )2  c
159.  ex  1
dx 
2
1
1 A) log | e3x  1|  c
B) (tan 1 x 3 )2  c 3
4
1
1 B) log | e  3x  1|  c
C) (tan 1 x 3 )2  c 3
6
C) 3 log | e 3x  1|  c
1
D) (tan 1 x 3 ) 2  c
12 D) 3 log | e 3x  1|  c
 Integration 130

x e1  e x 1 165.  e (x 4  1)1 dx 

3log x
160.  x e  ex
dx 
A) log |x4 + 1| + c
1 B) – log |x4 + 1| + c
A) c
log | x e  e x |
1
C) log | x 4  1|  c
1 4
B) log | x e  e x |  c
e 1
D) log | x 4  1|  c
C) log |xe + ex| + c 4
D) elog |xe + ex| + c
dx
 x  2  x  tan 1 x
2 166.  a  be x

161.   x 2  1  (a ) dx 
  1
A) log | ae  x  b |  c
A)  (log a) a x  tan
1
x
c a

1 1
B) (log a) a x  tan x
c B) log | ae  x  b |  c
a
1
 a x  tan x
1
C) c C) log | ae  x  b |  c
log a b
1
a x  tan x 1
c D) log | ae x  b |  c
D) b
log a
dx
7 (1  log x) dx e 
x log x
162. 167. x
 e x
7 x log x x 7 x log x A) tan–1 ex + c B) cot–1 ex + c
A) c B) c
log 7 log 7 C) ex tan–1 ex + c D) ex cot–1 ex + c
C) 7xlog x x + c D) 7xlog x + c dx
168.  (e x
 e x )2

x  2 x log 2
163.  x 2  2 x 1 1 1
A)  c B) c
1 2(e2x  1) 2(e  1)
2x

A) log | x 2  2x 1 |  c
2
1 1
C) c D) c
1 e 1
2x
e 1
2x
B) log | x 2  2x 1 |  c
4
dx
1 169. e x
1

C) log | x 2  2x 1 |  c
2 A) x – 2log |ex + 1| + c
1 B) x + 2log |ex + 1| + c
D) log | x 2  2x 1 |  c
4 C) x – log |ex + 1| + c
D) x + log |ex + 1| + c
10x 9  10 x log e 10
164.  dx 
dx
10 x  x10 170.  1 e x

A) log |10 + x | + c
x 10

A) log |e–x – 1 | + c
B) 10 log |10x + x10 | + c
B) – log |e–x – 1 | + c
C) – log |10x + x10 | + c
C) log |ex – 1 | + c
D) – 10 log |10x + x10 | + c
D) – log |ex – 1 | + c
 Integration 131

ex  1 e 2x  1
171.  ex  1
dx  176.  e 2x  1
dx 

e2x  1
ex A) c
A) x  log x c e2 x  1
e 1
e2 x  1
B) c
ex  1 e2x  1
B) x  log c
ex C) log |e2x + 1| – x + c
D) log |e2x + 1| + c
ex 1  log x
C) x  2log
ex  1
c 177. To find the value of  x
dx , the proper

substitution is
e 1
x A) log x = t B) 1 + log x = t
D) x  2log c
ex 1
C) t D) x = t
x
dx
172.  (1  e ) (1  e  x )
x
 178. x
x
(1  log x) dx 
A) xx + c B) x2x + c
1 1
A) c B) c 1
1  ex 1  ex C) xx log x + c D) (1  log x) 2  c
2
ex  ex (log x)n
c c
C)
1  ex
D)
1  ex
179.  x
dx 

e x 1
(log x) n 1  c
173.  1  ex dx  A)
n 1

A) log | ex + 1| – x – e–x – 1 + c 1
B) (log x) n  c
B) log | ex + 1| + x – e–x – 1 + c n

C) log | ex + 1| – x + e–x – 1 + c 1
C) log x n 1  c
D) log | ex + 1| + x – e–x – 1 + c n 1

1
ex  1 D) log x n  c
174.  ex  1
dx  n

1
A) log |ex – 1| + x + c 180.  x3
(log x x )2 dx
B) 2 log |ex – 1| + x + c
C) log |ex – 1| – x + c 1 3 1
A) x log x  c B) (log x)3  c
3 3
D) 2 log |ex – 1| – x + c
C) 3log |log x| + c D) (log x)3 + c
ex  1
175.  ex  1
dx 
181. 
dx

x (3  log x)
A) log |ex – 1| + x + c A) – 3log |3 + log x| + c
B) 2 log |ex – 1| + x + c B) 3log |3 + log x| + c
C) log | ex – 1| – x + c C) – log |3 + log x| + c
D) 2 log | ex – 1| – x + c D) log |3 + log x| + c
 Integration 132

(x  1) (x  log x) 4 sec x cos ec x

182.  3x
dx  187.  log cot x
dx 

1 A) – log (cot x) + c
A) (x  log x)5  c
3
B) – log |log (cot x)| + c
1 C) cosec2 x log |log (cot x)| + c
B) (x  log x)5  c
5 D) cosec2 x log x log (cot x) + c

1 
C) (x  log x)5  c  x 
4 188.  log  tan  2   cos ec x dx 
1
D) (x  log x)5  c 2
15 1  x
A)  log tan     c
log (x  1)  log x 2  2 
183.  x (x  1)
dx 
2
1  x
1  x 1
2
 B)  log tan     c
A)  log   c 4  2 
4  x 
2
 x
1  
2
x 1 C) 2  log tan     c
B)  log   c  2 
4  x 
2
1  x 1 
2
 x
C)  log  c D) 4  log tan     c
2  x   2

1  x 1 
2
e x log (sin e x )
D) 
2 
log
x 
 c 189.  tan e x
dx 

dx 1
184.  x log x log (log x)
 A)
2
(log (sin e x ))2  c

A) log x + c B) log |log (log x)| + c

1
C) log |log x| + c D) log |x log x| + c B) (log (sin e x )) 2  c
2
sec x
185.  log (sec x  tan x)
 C) 2(log (sin e x )) 2  c

A) – log |sec x + tanx | + c D)  2(log (sin e x )) 2  c

B) log |sec x + tanx | + c
C) – log |log (sec x + tanx) | + c (1  log x) 2
D) log |log (sec x + tanx) | + c
190.  1  log x (x 1)
 (log x x ) 2
dx 

sec x cos ec x A) log |1 + log x| + c

186.  log cot x
dx 

B) log 1  log x  c
A) log (cot x) + c
B) log |log (cot x)| + c C) log |1 + x log x| + c
C) sec2 x log |log (tan x)| + c D) log |x + log x| + c
D) sec2 x log |log (cot x)| + c
 Integration 133

Integrals of tan x, cot x, sex x, cosec x sin x

196.  1  cos x dx 
191.  sec x dx 
x x
A) 2log sec    c B) 2 log cos    c
 x 2 2
A) log tan     c
8 2
1 x
B) – log |sec x – tanx| + c C) D) log cos    c
2 2
C) log |sec x – tanx| + c
cos x
D) – log |sec x + tanx| + c 197.  1  sin x dx 
cos 2x A) – log |sec x (sec x + tan x) + c
192.  cos x
dx 
B) log |sec x (sec x + tan x) + c
A) 2sin x + log |sec x + tan x| + c sec x
C)  log c
B) 2sin x – log |sec x + tan x| + c sec x  tan x
C) sin x + log |sec x + tan x| + c
D) sin x – log |sec x + tan x| + c sec x
D) log c
sec x  tan x
cos 2x
193.  sin x
dx 
1 x
198.  x sin (x  log x) dx 
x
A) log tan    2cos x  c tan (x  log x)
2 A) log c
2

x 1 tan (x  log x)

B) log tan    2cos x  c B) log c
2 2 2

1 x  x  log x 
C) log tan    2cos x  c C) log tan  c
2 2  2 

1 x 1  x  log x 
D) log tan    2cos x  c D) log tan  c
2 2
2  2 

dx
194. 
sin 3x
dx  199.  cos 3x  cos x

cos x

A) log |cos x| + 2cos2 x + c 1

A) (log| sec x  tan x |  cos ecx)  c
2
B) log |sec x| + 2cos2 x + c
C) log |cos x| – 2cos2 x + c 1
B) (log| sec x  tan x |  cos ecx)  c
2
D) log |sec x| – 2cos2 x + c
1
dx C) (log| sec x  tan x |  cos ecx)  c
195.  sin x cos x
dx  4

1
A) log | sin x | + c B) – log | cos x | + c D) (log| sec x  tan x |  cosecx)  c
4
C) log | tan x | + c D) log | cot x | + c
 Integration 134

dx sin 2x
200.  cos x (1  cos x)  204.  cos x  sin 4 x
4
dx 

x 1
A) log | sec x  tan x |  tan    c A) log| cos 2x |  c
2 2

x 1
B) log | sec x  tan x |  tan    c B) log| sec 2x |  c
2 2

x 1
C) log | sec x  tan x |  cot    c C) log| cos 2x |  c
2 4

x 1
D) log | sec x  tan x |  cot    c D) log| sec 2x |  c
2 4
dx cos 2x  cos 2
201.  (1  cos 2x) (1  tan 2 ) x

205.  dx 
cos x cos 
1 A) 2 sec  sin x – 2 cos  log |sec x + tan x| + c
A) log| sec x  tan 2x |  c
2
B) 2 sec  sin x + 2 cos  log |sec x + tan x| + c
1 C) 2 cos  sin x – 2 cos  log |sec x + tan x| + c
B) log| sec x  tan 2x |  c
4 D) 2 cos  sin x + 2 cos  log |sec x + tan x| + c
1
C) log| sec x  tan x |  c dx
2 206.  4cos 3
2x  3cos 2x
dx 
1
D) log| sec x  tan x |  c
4 1
A) log |sec 6x  tan 6x |  c
3
1  tan 2 x
202.  1  tan 2 x
dx 
1
B) log |sec 6x  tan 6x |  c
1 6
A) log| sec 2x  tan 2x |  c
2 C) 3 log |sec6x  tan 6x |  c
1 D) 6 log |sec6x  tan 6x |  c
B) log| sec 2x  tan 2x |  c
2
C) 2log |sec 2x + tan 2x| + c cos 2x
D) – 2log |sec 2x + tan 2x| + c
207.  (sin x  cos x) 2
dx 

1  tan x
203.  1  tan x dx  
 log sec  

x  c
A)
4 
 
A) log sec   x   c
4   
B) log sec   x   c
4 
 
B) log sec   x   c
4 
 
C)  log sec   x  c
  4 
C) log sin   x   c
4 
 
D) log sec   x  c
  4 
D) log sin   x   c
4 
 Integration 135

dx 1 1
208.  sin x cos 2
x
 B)
5
log| sec5x |  log| sec3x |
3

A) sec x – log |cosec x – cot x| + c 

 log | sec 2x |  c
B) sec x + log |cosec x – cot x| + c 2
C) – cosec x – log |cosec x – cot x| + c
1 1
D) – cosec x + log |cosec x – cot x| + c C) log| sec5x |  log| sec3x |
5 3
209.  1  2 tan x (tan x  sec x) dx 


log | sec 2x |  c
A) log |sec x + tan x| – log |sec x | + c 2
B) log |sec x + tan x| + log |sec x | + c 1 1
D) log| sec5x |  log| sec3x |
C) log |sec x + tan x| – 2log |sec x | + c 5 3
D) log |sec x + tan x| + 2log |sec x | + c

 log | sec 2x |  c
210.  1  2cot x (cos ec x  cot x) dx  2

A) log |1 – cos x| + c sin 2x

B) – log |1 – cos x| + c
213.     
dx 
sin  x   sin  x  
C) log |1 + cos x| + c  6  6
D) – log |1 + cos x| + c
   
A) log cos  x    log cos  x    c
211.  tan (x  ) tan (x  ) tan 2x dx   6  6

1    
A) log | sec 2x |  log | sec(x  ) | B) log cos  x    log cos  x    c
2  6  6
– log |sec (x + ) + c
   
1 C) log sin  x    log cos  x    c
B) log | sec 2x |  log | sec (x  ) |  6  6
2
+ log |sec (x + ) + c    
D) log sin  x    log cos  x    c
1  6  6
C) log | sec 2x |  log | sec(x  ) |
2
sin x
– log |sec (x + ) + c 214.  cos x (x  a) dx 
1 A) x cos a – (sin a) log | cos (x – a) | + c
D) log | sec 2x |  log | sec(x  ) |
2 B) x cos a + (sin a) log | cos (x – a) | + c
– log |sec (x + ) + c C) x cos a + (sin a) log | cos (x + a) | + c
D) x cos a – (sin a) log | cos (x + a) | + c
212.  tan 2x tan 3x tan 5x dx 
cos x
215.  cos x (x  a) dx 
1 1
A) log| sec5x |  log| sec3x |
5 3 A) x sin a + (cos a) log |cos (x + a)| + c
B) x sin a – (cos a) log |cos (x + a)| + c

 log | sec 2x |  c C) x sin a – (cos a) log |cos (x – a)| + c
2
D) x sin a + (cos a) log |cos (x – a)| + c
 Integration 136

sin x dx
216.  sin (x  a) dx  222.  sin(x  a) sin (x  b) 
A) x sin a + (cos a) log |sin (x – a)| + c
1 sin (x  b)
B) x sin a – (cos a) log |sin (x – a)| + c A) log c
sin (b  a) sin (x  a)
C) x cos a + (sin a) log |sin (x – a)| + c
D) x cos a – (sin a) log |sin (x – a)| + c 1 sin (x  a)
B) log c
sin (b  a) sin (x  b)
cos (x  a)
217.  sin (x  a) dx 
1 sin (x  b)
C) log c
A) xcos 2a + (sin 2a) log |sin (x + a)| + c cos (b  a) sin (x  a)
B) xcos 2a – (sin 2a) log |sin (x + a)| + c
C) xsin 2a + (cos 2a) log |sin (x + a)| + c 1 sin (x  a)
D) log c
cos (b  a) sin (x  b)
D) xsin 2a – (cos 2a) log |sin (x + a)| + c

sin (x  a) dx
218.  sin (x  a) dx  223.  cos(x  a)cos (x  b) 
A) xcos 2a + (sin 2a) log |sin (x + a)| + c
1 cos (x  b)
B) xcos 2a – (sin 2a) log |sin (x + a)| + c A) log c
cos (b  a) cos (x  a)
C) xsin 2a + (cos 2a) log |sin (x + a)| + c
D) xcos 2a – (cos 2a) log |sin (x + a)| + c 1 cos (x  a)
B) log c
cos (b  a) cos (x  b)
cos (x  a)
219.  sin (x  b) dx 
1 cos (x  b)
C) log c
A) xsin (a – b) – cos (a – b) log |sin (x + b) + c sin (b  a) cos (x  a)
B) xsin (a – b) + cos (a – b) log |sin (x + b) + c
C) xsin (a + b) – cos (a + b) log |sin (x + b) + c 1 cos (x  a)
D) log c
sin (b  a) cos (x  b)
D) xsin (a + b) + cos (a + b) log |sin (x + b) + c

sin (x  a) dx
220.  cos (x  b) dx  224.  cos (x  a)sin (x  b) 
A) xsin (a + b) + cos (a + b) log |sec (x – b)| + c
1 cos (x  a)
B) xsin (a – b) + cos (a – b) log |sec (x – b)| + c A) log c
cos (b  a) sin (x  b)
C) xsin (a – b) – cos (a – b) log |sec (x – b)| + c
D) xsin (a + b) – cos (a + b) log |sec (x – b)| + c 1 sin (x  b)
B) log c
cos (b  a) cos (x  a)
sin (x  a)
221.  cos (x  a) dx 
1 cos (x  a)
C) log c
A) xsin 2a + (cos 2a) log |cos (x – a)| + c sin (b  a) sin (x  b)
B) xsin 2a – (cos 2a) log |cos (x – a)| + c
C) xcos 2a + (cos 2a) log |cos (x – a)| + c 1 sin (x  b)
D) log c
sin (b  a) cos (x  a)
D) xcos 2a – (cos 2a) log |cos (x – a)| + c
 Integration 137

dx dx
225.  sin (x  a) cos (x  b)  228.  2  3tan x 
1
1 cos (x  b) A) (2x  3log| 2cos x  3sin x |)  c
A) log c 13
sin (b  a) sin (x  a)
1
B) (2x  3log| 2cos x  3sin x |)  c
1 sin (x  a) 13
B) log c
sin (b  a) cos (x  b) 1
C) (x  3log| 2cos x  3sin x |)  c
13
1 cos (x  b)
C) log c 1
cos (b  a) sin (x  a) D) (x  3log| 2cos x  3sin x |)  c
13

1 sin (x  a) sin x  2cos x

D) cos (b  a)
log
cos (x  b)
c 229.  3sin x  4cos x dx 
1
A) (11x  2log | 3sin x  4cos x |)  c
Integrals of Type 25

1
a cos x  b sin x ae x  b B) (11x  2 log | 3sin x  4cos x |)  c
 cos x  d sin x
dx,  x
ce  d
dx 25

1
C) (11x  2log | 3sin x  4cos x |)  c
dx 25
226.  
1  tan x
1
D) (11x  log | 3sin x  4cos x |)  c
1 25
A) (x  log | sin x  cos x |)  c
2
2sin x  3cos x
1
230.  3sin x  4cos x dx 
B) (x  log | sin x  cos x |)  c
2
1
A) (18x  log |3sin x  4cos x |)  c
C) x  log | sin x  cos x |)  c 5
D) x  log | sin x  cos x |)  c 1
B) (18x  log |3sin x  4cos x |)  c
25
dx
227.  1  cot x  1
C) (18x  log |3sin x  4cos x |)  c
5
1
A) (x  log| sin x  cos x |)  c 1
2 D) (18x  log |3sin x  4cos x |)  c
25
1
B) (x  log| sin x  cos x |)  c 4sin x  38cos x
2 231.  5sin x  11cos x dx 

1 A) 3x + log | 5 sin x –11 cos x | + c

C) (x  log| sin x  cos x |)  c
2 B) 3x – log | 5 sin x –11 cos x | + c
C) x + log | 5 sin x –11 cos x | + c
1
D) (x  log| sin x  cos x |)  c D) x – log | 5 sin x –11 cos x | + c
2
 Integration 138

3e x  4 Integrals Containing Fractional

232.  2e x  8
dx 
Power of x OR ax + b

dx
A)
x
 2log | 2e x  8 |  c 236.  x 3 x

2

x A) 2 x  3 3 x  6 6 x  6log 6
x 1  c
B)  2log | 2e x  8 |  c
2

1 B) 2 x  3 3 x  6 6 x  6log 6
x 1  c
C) 2x  log | 2e x  8 |  c
2
C) 2 x  3 3 x  6 6 x  6log 6
x 1  c
1
D)  2x  log | 2e x  8 |  c
2
D) 2 x  3 3 x  6 6 x  6log 6
x 1  c
4e  25
x

233.  2e x  5
dx 
x
A) 5x – 6log | 2e – 5| + c
x
237.  x 3 x
dx 

B) 5x + 6log | 2ex – 5| + c
C) 5x – 3log | 2ex – 5| + c 6 5 3 2 1 1 1

A) x  x 6  x 3  2x 2  3x 3  6x 6
5 2
D) 5x + 3log | 2ex – 5| + c
1
3e 2x  5  6log x 6  1  c
234.  4e 2x  5
dx 

7
A) log |4e 2x  5 |  x  c 6 5 3 2 1 1 1

4 B) x  x 6  x 3  2x 2  3x 3  6x 6
5 2

7
B) log |4e 2x  5 |  x  c 1
8  6 log x 6  1  c

7
C) log |4e 2x  5 |  x  c
4 6 56 3 23 1 1 1

C) x  x  x  2x  3x  6x
2 3 6
5 2
7
D) log |4e 2x  5 |  x  c
8 1
 6log x 6  1  c
20  12e x
235.  3e x  4
dx 

A) – 5x + log | 3ex – 4 | + c 6 5 3 2 1 1 1

D) x  x 6  x 3  2x 2  3x 3  6x 6
5 2
B) 5x – log | 3ex – 4 | + c
C) 5x + log | 3ex – 4 | + c 1
 6 log x 6  1  c
D) – 5x – log | 3ex – 4 | + c
 Integration 139

x dx
238.  1 4
x 3
dx  242.  2
x 2  2


A)
2
3  4
x 3  log 4
 c
x3  1
A)
1

 x 
tan 1  c
  
x 1   c
3
2
B)
4
x 3  log 4 3

1  x 
B) tan 1    c
x 1   c
3
4    
C)
4
x 3  log 4 3

  x 
x 1   c
3
4 C) tan 1  c
D)
4
x 3  log 4 3
   

dx   x 
239.  x26 x2

D)

tan 1    c
  
A) 2 x  2  6 6 x  2  6 tan 1 ( 6 x  2)  c
dx
B) 2 x  2  6 x  2  6 tan ( x  2)  c
6 1 6 243.  5x 2
7


C) 2 x  2  6 6 x  2  6 tan 1 ( 6 x  2)  c
1  5x 
1 A) tan 1    c
D) 2 x  2  6 x  2  6 tan ( x  2)  c
6 6
35  7 
dx
240.  2 4

1  5x 
(3x  2)  (3x  2)
3 5
B) tan 1    c
5 7  7 
1
55
A) 3x  2  5 15 3x  2  5 tan 1 (3x  2) 15  c
3 5  5x 
C) tan 1    c
55 1
7  7 
B) 3x  2  5 15 3x  2  5 tan 1 (3x  2)  c 15
3

55 1
5  5x 
C) 3x  2  5 15 3x  2  5 tan 1 (3x  2)15  c D) tan 1    c
3 7  7 
1
55
D) 3x  2  5 15 3x  2  5 tan 1 (3x  2)15  c
3 dx
244.  16x 2
9


Integrals Using Standard Formulae

1  4x 
dx A) tan 1    c
241.  x 8
2
 3  3 

1 1  x  1  4x 
A) tan    c B) tan 1    c
2 2 12  3 
B) 2 tan 1 ( 2x)  c
1  4x 
C) tan 1    c
1  x  4  3 
C) tan 1   c
2 2 2 2
4  4x 
1  x  D) tan 1    c
D) tan  1
 c 3  3 
2  2
 Integration 140

x dx
245.  1  x dx  249. e 3x
 e 3x


A) 2 x  2 tan 1 x  c 1 1 3x
A) tan (e )  c
3
B) 2 x  2 tan 1 x  c
1 1 3x
C) x  tan 1 x  c B) tan (e )  c
3
D) 1 x c
C) 3tan 1 (e3x )  c
sin x
246.  1  cos 2
x
dx 
D) 3tan 1 (e3x )  c
A) 2cot–1 (cos x) + c
dx
B) 2tan–1 (cos x) + c 250.  ae x
 be  x

C) cot–1 (cos x) + c
D) tan–1 (cos x) + c 1  b x
A) tan 1  e   c
dx ab  a 
247.  sin 2
x  cos2 x  5


1 1  a x
A) cot 1 (tan x)  c B) tan 1  e   c
3 ab  b 

1
B) tan 1 (tan x)  c 1 b 
3 C) tan 1  e x   c
ab a 
1
C) cot 1 (tan x)  c
6 1 a 
D) tan 1  e x   c
ab b 
1
D) tan 1 (tan x)  c
6
dx
dx
251. a 2
e x  b 2 e x

248.  1  x 2 (9(sin 1 x) 2 )


1 1  ae x 
 sin x 1 A) tan  c
3tan 1  a  b 
A) c
 3 

1  ae x 
 sin 1 x  B) tan 1  c
B) 3cot 1  c b  b 
 3 

1 1  sin 1 x  1  be x 
C) tan  c C) tan 1  c
3  3  ab  b 

1 1  sin 1 x  1  ae x 
D) cot  c D) tan 1  c
3  3  ab  b 
 Integration 141

dx dx
252.  4x 2
1
 256.  8  7x 2


1 2x  1 1 2x  1 1 2 2  7x
A) log  c B) log c A) log c
2 2x  1 2 2x  1 4 14 2 2  7x

1 2x  1 1 2x  1
C) log  c D) log c 1 2 2  7x
4 2x  1 4 2x  1 log c
B)
4 14 2 2  7x
dx
253.  9x 2
8

1 2 2  7x
C) log c
4 7 2 2  7x
1 3x  2 2
A) log c
12 2 3x  2 2
1 2 2  7x
D) log c
4 14 2 2  7x
1 3x  2 2
B) log c
12 2 3x  2 2
sec x tan x
257.  9  16 tan 2
x
dx 
1 3x  2 2
C) log c
6 2 3x  2 2
1 5  4sec x
A) log c
20 5  4sec x
1 3x  2 2
D) log c
6 2 3x  2 2
1 5  4sec x
B) log c
20 5  4sec x
x3
254.  16x8  25 dx 
1 5  4sec x
C) log c
1 4x  5 4 40 5  4sec x
A) log c
320 4x 4  5
1 5  4sec x
D) log c
1 4x  5 4
40 5  4sec x
B) log c
320 4x 4  5
1  tan 2 x
258.  dx 
1 4x 4  5 1  tan 2 x
C) log c
160 4x 4  5
1  tan x
A) log c
1 4x  5 4
1  tan x
D) log c
160 4x 4  5
1  tan x
B) log c
dx 1  tan x
255. a 2
 b2 x 2

1 1  tan x
C) log c
1 a  bx 1 a  bx 2 1  tan x
A) log c B) log c
ab a  bx ab a  bx
1 1  tan x
D) log c
1 a  bx 1 a  bx 2 1  tan x
C) log  c D) log c
2ab a  bx 2ab a  bx
 Integration 142

dx cos x  sin x
259.   264.  8  sin 2x
dx 
a 2  b2 x 2

 sin x  cos x 
1 1  bx  1 1  ax  A) sin 1  c
A) sin    c B) sin    c  3 
b  a  b  b 

 sin x  cos x 
1 1  bx  1 1  ax  B) cos 1  c
C) sin    c D) sin    c  3 
a  a  a  b 
 sin x  cos x 
dx C) sin 1  c
260.  9  25x 2
  2 2 

 sin x  cos x 
1 1  3x  D) cos 1  c
1 1  3x 
A) sin    c B) sin    c  2 2 
3  5  3  5 
265.  1  sec x dx 
1 1  5x  1 1  5x 
C) sin    c D) sin    c
5  5  5  3  
1  x 
A) sin 1  2 sin     c
2   2 
dx
261.  9  16x 2

1   x 
B) sin 1  2 sin     c
2   2 
1  4x  4 1  4x 
A) sin 1    c B) sin    c
3  3  3  3    x 
C) 2 sin 1  2 sin     c
  2 
3  4x  1  4x 
C) sin 1    c D) sin 1    c
4  3  4  3    x 
D) 2 sin 1  2 sin     c
  2 
1 x
262.  1 x
dx 
ex
266.  e x  ex
dx 
A) 1  x 2  sin 1 x  c
A) sin–1 ex + c B) 2sin–1 ex + c
1
B)  1  x  sin x  c
2
C) – sin–1 ex + c D) – 2sin–1 ex + c

C)  1  x 2  sin 1 x  c ax
267.  1  a 2x
dx 

D) 1  x 2  sin 1 x  c
1
A) cos 1 a x  c
sec x log a
263.  cos 2x
dx 

1
B) sin 1 a x  c
A) sin–1 (tan x) + c B) cos–1 (tan x) + c log a

sin x C) (log a) cos–1 ax + c

C) tan x + c D) c
cos x D) (log a) sin–1 ax + c
 Integration 143

dx ex
268.  2x 2  25
 271.  dx 
a 2 ex  b2 e x

1 5 1 b2
A) log x  x2  c A) log e x  e 2x  2  c
2 2 b a

1 5 1 b2
log x  x2  c B) log e x  e 2x  2  c
B) 2 b a
2 2

1 b2
1 25 C) log e x  e2 x  2  c
C) log x  x  2
c a a
2 2

1 b2
1 25 D) log e x  e 2x  2  c
D) log x  x2  c a a
2 2 2

dx
dx 272.  3x 2  5

269.  3x 3  8


1 5
A) log x  x2  c
1 8 3 3
A) log x  x 2  c
3 3
1 5
B) log x  x2  c
5 3
1 8
B) log x  x   c 2

3 3
1 5
C) log 3x  x2  c
3 3
1
C) log x  3x 2  8  c
3 1 5
D) log 3x  x2  c
5 3
1
D) log x  3x 2  8  c
3 dx
273.  4x 2  5


sec 2 x
270.  16  tan 2 x
dx 
1 5
A) log x  x2  c
4 4

A) 4log tan x  4  tan 2 x  c

1 5
B) log x  x2  c
2 4
B) 4log tan x  16  tan 2 x  c
1
C) log x  x 2  5  c
4
C) log tan x  4  tan 2 x  c
1
D) log x  x 2  5  c
2
D) log tan x  16  tan 2 x  c
 Integration 144

dx dx
274.  2 2
 277. x 2
a 2  x2

x 3
x 4
3

1
1 2 A) 2
a2  x2  c
a x
A)  3log x  3
x 4  c3

1
B) a2  x2  c
ax
1 2

B) 3log x 3  x3  4  c 1
C) a2  x2  c
a2 x
1 2
1 1 2
C) log x 3  x3  4  c D) a  x2  c
3 ax

dx
1 1 2 278.  (x 2
 1) x 2  1

D) log x 3  x 4  c
3
3

1 1  x2  x 2
sin x  cos x A) log c
275.  1
dx  2 2 1  x2  x 2
sin 2x 
2
1 1  x2  2
B) log c
3 2 2 1 x  2
2

A) log sin x  cos x  (sin x cos x) 2   c

2
1  1  x2  x 2
C) log c
3 2 2 1  x2  x 2
B)  log sin x  cos x  (sin x cos x)   c 2

1 1  x2  2
D) log c
1 2 2
C) log sin x  cos x  (sin x cos x) 2  c 1  x2  x 2
2
x2
279. If f (x)   dx = and f(0) = 0,
1 (x 2  1) (1  x 2  1)
D)  log sin x  cos x  (sin x cos x) 2  c
2
then f(1) =
A) log (1  2) B) log (1  2)
Integrals Using Standard Substitution
 
dx C) log (1  2)  D) log (1  2) 
4 4
276.  (a 2  x 2 )3
dx
280.  (a  x 2 )3
2

x 1
A)  c B) c
a2 a2  x2 a2 a2  x2
x x
A)  c B) c
x 1 a a x 2 2
a 2
a2  x2
C) c D) c
a a x 2 2
a a2  x2 x x
C)  c D) c
a a x 2 2
a 2
a2  x2
 Integration 145

a2  x2 x2  a2
281.  x2
dx  284.  x
dx 

1 x
a2  x2 x A) x 2  a 2  sec 1    c
A)  sin 1    c a a
x a
1 x
B) x 2  a 2  sec1    c
a x
2 2
x a a
B)  sin 1    c
x a
x
C) x 2  a 2  a sec 1    c
a
 a2  x2 x
C)  sin 1    c
x a x
D) x 2  a 2  a sec1    c
a
 a2  x2 x dx
 sin 1    c
D)
x a 285. x 2
x2 1


x2  x2 1 x2 1
282.  (a 2  x 2 )3
dx  A)
x
 c B)
x
c

x x
1 x 1 C) c D) c
A)  sin    c x 1
2
x2 1
a x
2 2
a
ax
1 x 286.  x
dx 
B)  sin 1    c
a x
2 2
a
x
A) a sin 1    x (a  x)  c
x x a
C)  sin 1    c
a x
2 2
a x
B) a sin 1    x (a  x)  c
a
x x
D)  sin 1    c
a2  x2 a x
C) a sin 1  x (a  x)  c
a
x
283.  a  x3
3
dx 
D) a sin 1
x
 x (a  x)  c
a
3
 x 2 ax
A) 1
sin    c
a
287.  ax
dx 

x
3
A) a 2  x 2  a cos 1    c
2 1  x  2
a
B) sin    c
3 a
x
B) a 2  x 2  cos 1    c
3 a
3 1  x  2
C) sin    c
2 a x
C)  a 2  x 2  a cos 1    c
a
2
3 1  x  3 x
D) sin    c D)  a 2  x 2  cos 1    c
2 a a
 Integration 146

1 x dx
288. x 1 x
dx  292. x 2
 8x  20


cos 1 x x 1 1  x  2 
A)  1  x2  1  x2  c
2 2 A) tan  c
2  2 
cos 1 x x
B)  1  x2  1  x2  c
2 2 1 1  x  4 
B) tan  c
2  2 
cos 1 x x
C)  1  x2  1  x2  c
2 2
1  x2
C) tan 1  c
1
cos x x 4  4 
D)  1  x2  1  x2  c
2 2
1 1  x  4 
a2  x2 D) tan  c
4  4 
289.  x 2
a  x2
dx 

x 2  3x  5
a  a 4  x 4  x2   293.  dx 
2
A)   cos 1  2    c (x  2) (x 2  2x  3)
2  a 2
 a  

1  x 1
a 2  a 4  x 4 1  x
2
 A) log x  2  tan 1  c
B)   cos  2    c 2  2 
2  a2 a 
1  x 1
a2  a4  x4  B) log x  2  tan 1  c
1  x
2

C)   cos  2    c 2  2 
2  a2 a 
1  x 1
C) log x  2  tan 1  c
a2  a4  x4 1  x
2
 2  2 
D)   cos  2    c
2  a2 a 
1  x 1
D) log x  2  tan 1  c
dx 2  2 
290. To find the value of x 2ax  x 2
, the suitable

substitution is dx
A) x = a cos t B) x = 2a cos t
294.  9x 2
 6x  10


C) x = 2at D) x = 2a sin2 t
1  3x  2 
A) tan 1  c
18  3 
Integrals of Type
dx dx 1  3x  1 
 ax 2
 bx  c
,  ax  bx  c
2 B) tan 1  c
18  3 
dx
291. x 2
 4x  8
 1  3x  2 
tan 1 
C) c
9  3 
A) 2tan–1 (x + 2) + c B) 2tan–1 (2x + 4) + c

1 1  x  2  1 1  x  2  1  3x  1 
C) tan  c D) tan  c D) tan 1  c
2  4  2  2  9  3 
 Integration 147

dx sec2 x
295.  x  2x cos   1
2
 298.  2 tan 2 x  7 tan x  13
dx 

1  4 tan x  7 
1  x  cos   A) tan 1  c
A) tan 1  c 55  55 
sin   sin  
1  tan x  7 
1  x  cos   B) tan 1  c
B) cot 1  c 55  55 
sin   sin  
2  4 tan x  7 
1  x  cos   C) tan 1  c
C) tan 1  c 55  55 
cos   sin  
2  tan x  7 
D) tan 1  c
1  x  cos   55  55 
D) cot 1  c
cos   sin  
dx
x 299. x 2
 4x  5

296. x 4
 x2  1
dx 
1 x5 1 x 1
A) log  c B) log c
1  x2  2  6 x 1 6 x5
A) tan 1  c
3  3 
1 x5 1 x 1
C) log  c D) log c
3 x 1 3 x5
1  2x 2  2 
B) tan 1  c
3  3  dx
300.  2x 2
 x 1


1  x2  2 
C) tan 1  c 1 2x  1 1 2x  1
2 3  2 3  A) log c B) log c
3 2(x  1) 3 x 1

1  2x 2  2  1 2x  1 1 2x  1
D) tan 1  c log c log c
2 3  2 3  C) D)
6 2(x  1) 6 x 1

dx dx
297.  5  6sin 2x  9cos 2
x
 301.  4x 2
 20x  17


1  5 tan x  6  1 2x  5  2 2
A) cot 1  c A) log c
34  34  4 2 2x  5  2 2

1  5 tan x  6  1 2x  5  2 2
B) tan 1  c B) log c
34  34  4 2 2x  5  2 2

4  5 tan x  6  1 2x  5  2 2
C) cot 1    c C) log c
34  3 34  8 2 2x  5  2 2

2  5 tan x  6 
tan 1  1 2x  5  2 2
D)
34   c D) log c
 2 34  8 2 2x  5  2 2
 Integration 148

x cos x
302.  2x 4
 2x 2  1
dx  305.  3sin 2
x  4sin x  1
dx 

1 2x 2  1  3 1 3sin x  1
A) log c A) log c
4 3 2x 2  1  3 2 3sin x  3

1 3sin x  1
1 2x 2  1  3 B) log c
log c 4 3sin x  3
B)
4 3 2x 2  1  3
1 3sin x  3
C) log c
1 2x  1  3
2 2 3sin x  1
C) log c
2 3 2x 2  1  3
1 3sin x  3
D) log c
4 3sin x  1
1 2x 2  1  3
D) log c
2 3 2x 2  1  3 dx
306.  x((6log x) 2
 7 log x  2)


x
303.  4x 4
 2x 2  3
dx 
6log x  3
A) log c
6log x  4
1 4x 2  1  13
A) log c
4 13 4x 2  1  13 6log x  4
B) log c
6log x  3
1 4x 2  1  13
B) log c 1 6log x  3
4 13 4x 2  1  13 C) log c
3 6 log x  4

1 4x 2  1  13
C) log c 1 6 log x  4
8 13 4x 2  1  13 D) log c
3 6log x  3

1 4x 2  1  13 dx
D)
8 13
log
4x  1  13
2
c 307.  1 x  x 2


dx 1 5  1  2x
A) log c
304.  sin x  5sin x cos x  2
2
 5 5  1  2x

2 tan x  3 1 5  1  2x
A) 2log c B) log c
3tan x  3 5 5  1  2x

2 tan x  3
B) log c 1 5  1  2x
3tan x  3 C) log c
2 5 5  1  2x

3tan x  2
C) 2log c 1 5  1  2x
3tan x  3 D) log c
2 5 5  1  2x
3tan x  2
D) log c
3tan x  3
 Integration 149

dx dx
308.  7  6x  x 2
 312.  15  4x  4x 2


1 7x 1 1 x 1 1  2x  1 
A) log  c B) log c A) sin  c
4 1 x 4 7x 2  2 

1 1  2x  1 
1 7x 1
 c D) log
1 x
c
B) sin  c
C) log 2  4 
8 1 x 8 7x
1 1  2x  1 
dx C) sin  c
4  2 
309.  3  10x  25x 2


1 1  x  2 
1 3  5x 1 1  5x D) sin  c
5  5 
A) log  c B) log c
20 1  5x 20 3  5x
ex
313.  5  4e x  e2 x
dx 
1 3  5x 1 1  5x
C) log  c D) log c
10 1  5x 10 3  5x
1  e  2 
x
 ex  2 
A) sin 1    c B) sin  c
dx  3   3 
310.  3  4x  4x 2

 ex  1  1  e  1 
x
C) sin 1    c D) sin  c
 3   3 
1  2x  1 
A) cos 1  c
2  2  dx
314.  x  4x  29
2


 2x  1 
B) 2cos 1  c
 2  A) log x  4  x 2  4x  29  c

1 1  2x  1  log x  4  x 2  4x  29  c
C) sin  c B)
2  2 

C) log x  2  x 2  4x  29  c
 2x  1 
D) 2sin 1  c
 2 
D) log x  2  x 2  4x  29  c
dx
311.   dx
21  4x  x 2 315.  3x 2  4x  2


x 2
A) sin 1  c 2 2 4x 2
 5  A) log x   x2   c
3 3 3 3

 x 2
B) cos 1  c 2 2 4x 2
 5  B) log x   x2   c
3 3 3 3

1 1  x  2 
C) sin  c C)
1
log x 
2
 x2 
4x 2
 c
5  5 
3 3 3 3

1 x2
D) cos 1  c 1 2 4x 2
5  5  D) log x   x2   c
3 3 3 3
 Integration 150

dx cos x
316.  3x  5x  7
2
 319.  sin x  2sin x  5
2
dx 

1 5 5 7 A) log sin x  1  sin 2 x  2sin x  5  c

A) log x   x2  x  c
2 3 3 3 3

B)  log sin x  1  sin 2 x  2sin x  5  c

1 5 5 7
B) log x   x  x c
2

2 3 6 3 3
C) log sin x  1  sin 2 x  2sin x  5  c
1 5 5 7
C) log x   x2  x  c
3 3 3 3
D)  log sin x  1  sin 2 x  2sin x  5  c

1 5 5 7
D) log x   x2  x  c sec 2 x
3 6 3 3
320.  2 tan 2 x  3tan x  3
dx 

dx
317.  2x  3x  5
2

3 3 3
A) log tan x   tan 2 x  tan x   c
2 2 2
1 3 3 5
A) log x   x2  x   c
2 2 4 2 2
1 3 3
B) log tan x   tan 2 x  tan x   c
2 2 2
1 3 3 5
B) log x   x2  x   c
2 2 2 2 2
1 3 3 3
C) log tan x   tan 2 x  tan x   c
2 4 2 2
1 3 3 5
C) log x   x2  x   c
2 4 2 2
1 1 3 3
D) log tan x   tan 2 x  tan x   c
2 4 2 2
1 3 3 5
D) log x   x 2  x   c
2 2 2 2
dx
321.  (x  a) (x  b)

x2
318.  x 6  2x 3  3
dx 
ab
A) log x   x 2  (a  b) x  ab  c
2
1
A) log x 3  1  x 6  2x 3  3  c
3
ab
B) log x   x 2  (a  b) x  ab  c
1 2
B) log x 3  1  x 6  2x 3  3  c
3
ab
3 log x 3  1  x 6  2x 3  3  c C) log x   x 2  (a  b) x  ab  c
C) 2

D) 3 log x 3  1  x 6  2x 3  3  c ab
D) log x   x 2  (a  b) x  ab  c
2
 Integration 151

dx Integrals of Type
322.  x  8x  20
2

px  q px  q
 ax 2
 bx  c
dx, 
ax 2  bx  c
dx
A) log x  4  x  8x  20  c
2

x
B) log x  4  x 2  8x  20  c 326. x 2
 x 1
dx 

C) log x  4  x 2  8x  20  c 1 1  2x  1 
A) log x 2  2x  1  tan 1   c
2 3  3 
D) log x  4  x 2  8x  20  c
1 1  2x  1 
B) log x 2  x  1  tan 1   c
dx 2 3  3 
323.  (x  2) (x  3)

1 2  2x  1 
C) log x 2  x  1  tan 1   c
5 2 3  3 
A) log x   x 2  5x  6  c
2
1 2  2x  1 
D) log x 2  x  1  tan 1   c
5 2 3  3 
B) log x   x 2  5x  6  c
2
1  3x
C)
5
log x   x 2  5x  6  c
327.  3x 2
 4x  2
dx 
2
1 2  3x  2 
5 A) log 3x 2  4x  2  tan 1  c
D) log x   x 2  5x  6  c 2 3  2 
2

cos x 1 3  3x  2 
B) log 3x 2  4x  2  tan 1  c
324.  sin 2 x  2sin x  3
dx  2 2  2 

1 3  3x  2 
A) log sin x  1  sin 2 x  2sin x  3  c C) log 3x 2  4x  2  cot 1  c
2 2  2 

B) log sin x  1  sin 2 x  2sin x  3  c 1 3  3x  2 

D) log 3x 2  4x  2  cot 1  c
2 2  2 
C) log sin x  1  sin 2 x  2sin x  3  c
5x  1
328.  3x 2
x2
dx 
D) log sin x  1  sin 2 x  2sin x  3  c
5 11  6x  1 
sin 2x A) log 3x 2  x  2  tan 1   c
325.  sin 4 x  4sin 2 x  2
dx  6 3 23  23 

5 11  6x  1 
A)  log sin 2 x  2  sin 4 x  4sin 2 x  2  c B) log 3x 2  x  2  tan 1   c
6 3 23  23 

B) log sin 2 x  2  sin 4 x  4sin 2 x  2  c 5 11  6x  1 

C) log 3x 2  x  2  tan 1   c
3 3 23  23 
C)  log sin x  2  sin 4 x  4sin 2 x  2  c
5 11  6x  1 
D) log 3x 2  x  2  tan 1   c
log sin x  2  sin 4 x  4sin 2 x  2  c 3 3 23  23 
D)
 Integration 152

3x  4 2x  1
329. x 2
 6x  5
dx  332.  8  6x  9x 2
dx 

3 5 x 1 1 4  3x 1
A) log x 2  6x  5  log c A) log  log 8  6x  9x 2  c
2 4 x5 54 2  3x 9

3 5 x 1 1 4  3x 1
log x 2  6x  5  log c B) log  log 8  6x  9x 2  c
B) 54 2  3x 9
2 4 x 5

3 5 x 1 1 4  3x 1
log x 2  6x  5  log c C) log  log 8  6x  9x 2  c
C) 54 2  3x 3
2 2 x5

3 5 x 1 1 4  3x 1
log x 2  6x  5  log c D) log  log 8  6x  9x 2  c
D) 54 2  3x 3
2 2 x 5

2x  3 x
330.  dx  333.  8  x  x2
dx 
2x  3x  1
2

1 3 4x  3  17 1  2x  1 
A) log 2x 2  3x  1  log c A) sin1    8  x  x2  c
2 2 17 4x  3  17 2  33 

1 3 4x  3  17 1  2x  1 
sin1   8 x  x c
2
B) 2 log 2x  3x  1  2 17 log 4x  3  17  c
2
B)
2  33 

1 3 4x  3  17 1  2x  1 
C) log 2x 2  3x  1  log c C) sin1    8  x  x2  c
2 17 4x  3  17 4  33 

1 3 4x  3  17 1  2x  1 
sin1   8 x  x c
2
D) 2 log 2x  3x  1  17 log 4x  3  17  c
2
D)
4  33 

2x 9x
331.  4x  4x  3
2
dx  334.  x
dx 

5 2x  1 1 3 1  2x  9 
A) log  log 4x 2  4x  3  c A) 9x  x 2  sin   c
16 2x  3 8 2  9 

5 2x  1 1 3 1  2x  9 
B) log  log 4x 2  4x  3  c B) 9x  x 2  sin   c
16 2x  3 8 2  9 

5 2x  1 1 9 1  2x  9 
C) log  log 4x 2  4x  3  c C) 9x  x 2  sin   c
32 2x  3 8 2  9 

5 2x  1 1 9 1  2x  9 
D) log  log 4x 2  4x  3  c D) 9x  x 2  sin   c
32 2x  3 8 2  9 
 Integration 153

7x  3 1 1
335.  3  2x  x 2
dx  C) x2  x 
2
log x   x 2  x  c
2

 x 1 1 1
A) 5sin 1    7 3  2x  x  c
2
D) x2  x  log x   x 2  x  c
 2  2 2

 x 1 x 1
5sin 1    7 3  2x  x  c 
2
B) 339. dx 
 2  x2

 x 1 x 2  3x  2 
1 3
log x   x 2  3x  2  c
C) 10sin 1    7 3  2x  x  c
2
A)
 2  4 2

 x 1 1 3
10sin 1  B) x 2  3x  2  log x   x 2  3x  2  c
  7 3  2x  x  c
2
D) 4 2
 2 

2x  1 1 3
C) x 2  3x  2  log x   x 2  3x  2  c
336.  x 2  2x  3
dx  2 2

1 3
D) x 2  3x  2  log x   x 2  3x  2  c
A) 2 x 2  2x  3  log x  1  x 2  2x  3  c 2 2

x 5
B) 2 x  2x  3  log x  1  x  2x  3  c 
2 2
340. dx 
x7

C) x 2  2x  3  log x  1  x 2  2x  3  c A) x 2  12x  35  2log x  6  x 2  12x  35  c

D) x 2  2x  3  log x  1  x 2  2x  3  c B) x 2  12x  35  2log x  6  x 2  12x  35  c

3x  2 C) x 2  12x  35  log x  6  x 2  12x  35  c

337.  2x 2  2x  1
dx 

D) x 2  12x  35  log x  6  x 2  12x  35  c

3 1 1 1
A) 2 2x  2x  1  2 log log x  2  x  x  2  c
2 2

Integrals of Type
3 1 1 1
B) 2x 2  2x  1  log log x   x 2  x   c
2 2 2 2 (x)
 ax 2
 bx  c
dx,
3 1 1 1
2x 2  2x  1  log log x   x 2  x   c
C) 2 2 2 2 2 Where (x) is a Polynomial In x of
Degree Greater than or Equal to two
3 1 1 1
D) 2x 2  2x  1  log log x   x 2  x   c
2 2 2 2 2
x2  5
341.  x2  1
dx 
x 1
338.  x
dx 
A) x – 4tan–1 x + c B) x + 4tan–1 x + c
C) x – 2tan–1 x + c D) x + 2tan–1 x + c
1
A) x 2  x  log x   x 2  x  c 1 x2
2 342.  1  x 2 dx 
1 A) 2tan–1 x + x + c B) 2tan–1 x – x + c
B) x 2  x  log x   x2  x  c
2 C) tan–1 x + x + c D) tan–1 x – x + c
 Integration 154

x 2  5x  3 x 3  x 2  2x  1
343.
 x 2  3x  2
dx  346.  x2  x  1
dx 

A) x2 3
x 1  2x  log x 2  x  1
A) x  log x 2  3x  2  2log c 2 2
x2
1  2x  1 
 tan 1  c
x 1 3  3 
B) x  log x 2  3x  2  2log c
x2 x2 3
B)  2x  log x 2  x  1
2 2
x 1
C) x  log x 2  3x  2  2log c 2  2x  1 
x2  tan 1  c
3  3 

x 1 x2 1
D) x  log x 2  3x  2  2log c C)  2x  log x 2  x  1
x2 2 2

1  2x  1 
x  x2  tan 1  c
344.  x 2  2x  3
dx  3  3 

1 x 3 x2 1
A) x  log x 2  2x  3  log c D)  2x  log x 2  x  1
2 x 1 2 2

2  2x  1 
1 x 3  tan 1  c
B)  x  log x 2  2x  3  log c 3  3 
2 x 1
x 3  4x 2  6x  5
347.  x 2  2x  3
dx 
1 x 3
C)  x  log x 2  2x  3  log c
2 x 1 x2 1
A)  2x  log x 2  2x  3
2 2
1 x 3
D)  x  log x 2  2x  3  log c 10  x 1
2 x 1  tan 1  c
2  2 

x3 x2 1
345.  x2  x  1
dx  B)
2
 2x  log x 2  2x  3
2

5  x 1 
x2 1  2x  1   tan 1  c
A) x tan 1  c 2  2 
2 3  3 
x2 1
C)  2x  log x 2  2x  3
x2
1  2x  1  2 2
B) x tan 1  c
2 3  3  10  x 1
 tan 1  c
2  2 
x2 2  2x  1 
C) x tan 1  c
2 3  3  x2 1
D)  2x  log x 2  2x  3
2 2
x2 2  2x  1  5  x 1 
x tan 1  c  tan 1 
D)
2 3  3  c
2  2 
 Integration 155

x 3  4x 2  7x  2
348.  x 2  3x  2
dx  A) 11 1 2x  8
tan c
2 11
x2 x 1
A)  x  log x 2  3x  2  3log c 11 1 2x  8
2 x2 B) tan c
2 11
x2 x 1
B)  x  log x 2  3x  2  3log c 2 2x  8
2 x2 C) tan 1 c
11 11
x2 x 1
C)  x  log x 2  3x  2  3log c 2 2x  8
2 x2 D) tan 1 c
11 11
x2 x 1
D)  x  log x 2  3x  2  3log c dx
2 x2 352.  (2x  3) 3x  2


4x 4  4x 3  x 2  4x  5
349.  4x 2  4x  3
dx  2
tan 1
6x  4
c
A)
5 5
x3 1 2x  3
A)  x  log c
3 4 2x  1 5 6x  4
B) tan 1 c
2 5
x3 1 2x  3
B)  x  log c
3 4 2x  1 2 6x  4
C) tan 1 c
5 5
x3 1 2x  3
C)  x  log c
3 4 2x  1 5 6x  4
D) tan 1 c
2 5
x3 1 2x  3
D)  x  log c
3 4 2x  1
Integrals of Type
350.  e x  1 dx  dx
 (px  q) ax 2  bx  c
A) 2 e  1  2 tan
x 1
e 1  c
x

dx
B) e x  1  tan 1 e x  1  c 353.  (1  x) 1 x2


C) 2 e x  1  2 tan 1 ex  1  c
1 1 1 1 1 1
A) log     c
2 1 x 2 (1  x) 1  x 2
2
D) e x  1  tan 1 e x  1  c

1 1 1 1 1 1
B) log     c
Integrals of Type 2 1 x 2 (1  x) 2 1  x 2

dx
 (px  q) ax  b C)
1
2
log
1 1
 
1 x 2
1

1 1
 c
(1  x) 1  x 2
2

dx
351.
 (2x  3) x4

D)
1
log
1 1
 
1 x 2
1

1 1
 c
(1  x) 2 1  x 2
2
 Integration 156

dx
354. x 2ax  x 2
 x
tan    2  3
1 2
log c
D) 3 x
2a  x 1 2a  x tan    2  3
A) a  c B) c 2
x a x
dx
C) a
2a  x
 c D)
1 2a  x
c 357.  3  2sin x 
x a x

dx 2  1  x 
355.   A) sin 1   3tan    2    c
x 2x 2  2x  1 5  5 2 

A) log x  log 1  x  1  2x  2x 2  c 2  1  x 

B) sin 1   tan    2    c
5  5 2 

1  x  1  2x  2x 2
B) log x  log c 2  1  x 
x C) tan 1   3tan    2    c
2 5  5 2 

1  x  1  2x  2x 2 1  1  x 
C) log c tan 1 
x D)  tan    2    c
2 5  5 2 

D) log x  log 1  x 1  2x  2x 2  c dx
358.  4  5sin x 
Integrals of Type x
2 tan    1
dx dx dx 1 2
log c
 a  bcos x ,  a  bsin x ,  a  b cos x  csin x A)
3 x
2 tan    2
2
dx
356.  1  2sin x 
x
2 tan    2
1 2
x B) log c
tan    2  3 3 x
1 2 2 tan    1
A) log c 2
2 3  x
tan    2  3
2
x
2 tan    1
x 1 2
tan    2  3 C) log c
1 2 3 x
log c 2 tan    4
B) 2
2 3 x
tan    2  3
2
x
2 tan    4
x 1 2
tan    2  3 D) log c
1 2 3 x
C) log c 2 tan    1
3 x 2
tan    2  3
2
 Integration 157

dx dx
359.  3  5cos x  361.  1  sin x  cos x 
x x
2  tan   A) log tan    1  c
1 2 c 2
A) log
2 x
2  tan  
2
x
B)  log tan    1  c
2
x
2  tan  
1 2 c
B) log x
2 x C) log tan    1  c
2  tan   2
2

x
x D)  log tan    1  c
2  tan   2
1 2 c
C) log
4 x
2  tan   dx
2 362.  2  cos x  sin x 

x  1   x  
2  tan   A) 2 tan 1   tan    1   c
1 2 c
D) log  2   2  
4 x
2  tan  
2
 1   x  
B) 2 tan 1   tan    1   c
dx  2   2  
360.  4  5cos x 
 1   x  
C) 2 tan 1   tan    1   c
x  2   2  
3tan    1
1 2
A) log c
3 x  1   x  
3tan    1 D) 2 tan 1 
2  tan    1   c
 2   2  

x dx
1
3tan    1
2
363.  3  2sin x  cos x 
B) log c
3 x
3tan    1
2  x 
A) tan 1  tan    1  c
 2 
x
tan    1
1 2  x 
C) log c B) 2 tan 1  tan    1   c
3 x  2 
tan    1
2
 x 
C) tan 1  tan    1  c
x  2 
tan    1
1 2
D) log c
3 x  x 
tan    1 2 tan 1  tan    1  c
2 D)
 2 
 Integration 158

dx
364.  2sin x  cos x  3  x
tan    1
1 2
A) log c
2 x
 tan    5
x  2
A) tan 1  tan    1  c
 2 

1  x  x
B) tan 1  tan    1  c tan    5
2  2  1 2
B) log c
2 x
tan    1
2
 x 
C) tan 1  2 tan    1  c
 2 

x
tan    1
1  x  1 2
D) tan 1  2 tan    1  c C) log c
2  2  4 x
tan    5
2
dx
365.  3  cos x  3sin x 
x
tan    5
1 2
x D) log c
tan    2 4 x
2 tan    1
A) log c 2
x
tan    1
2
dx
367.  13  3cos x  4sin x 
x
tan    1
log 2 c 1 1  1  x 
B) A) tan   5tan    2    c
x 6
tan    2 6  2 
2

1 1  1  x 
B) tan   5 tan    2    c
6  6  2 
x
2 tan    2
C) log 2 c
x 1 1  1  x 
tan    1 tan   5tan    2    c
2 C) 12 6  2 

1 1 x 
x tan 1   5 tan    2    c
2 tan    1 D) 12
2  6 2 
D) log c
x
tan    2
2

dx
366.  3sin x  2cos x  3 
 Integration 159

dx  x
368.  cos a  cos x  cot    tan  
x cos   sin  log 2 2  c
A)

  x
a x cot    tan  
cot    tan   2 2
A) (cos ec a)log 2  2 c
a x
cot    tan    x
2 2 cot    tan  
x cos   sin  log 2 2  c
B)
 x
a x cot    tan  
cot    tan   2
  2
(cos ec a)log 2  2 c
B)
a x
cot    tan   x 
2 2 tan    tan  
x cos   sin  log 2 2 c
C)
x 
x a tan    tan  
tan    tan   2
  2
(cos ec a) log 2  2 c
C)
x a
tan    tan   x 
2
  2 tan    tan  
x cos   sin  log 2 2 c
D)
x 
tan    tan  
x a 2
  2
tan    tan  
2
  2 c
D) (cos ec a) log Integrals of Type
x a
tan    tan  
2  2 dx dx dx
 a  b cos 2x ,  a  bsin 2x ,  a  bcos 2x  csin 2x
dx
369.  1  cos a cos x  dx
371.  1  2sin x cos x 
 x 1 1
 tan    A) c B) c
1  2c tan x  1 tan x  1
A) tan 1 
sin a  a
 cot  2   1
c
1
c
   C) D)
tan x  1 tan x  1

 x dx
2  tan  2   372.  2sin 2x  3 
tan 1   c
B)
sin a  a
 cot  2    3tan x  2 
    tan 1  
A)  5 c
5
 x
 tan   
1  2c  3tan x  2 
C) tan 1  tan 1  
cos a  a  5 c
 cot  2   B)
   5

 x  3tan x  2 
tan     tan 1  
2   5 c
tan 1   2c C)
D)
cos a  a 5
 cot  2  
  
 3tan x  2 
tan 1  
1  cos  cos x D)  5 c
370.  cos   cos x
dx 
5
 Integration 160

dx dx
373.  2  3sin 2x  376.  3cos 2x  5 
1 2 tan x  3  5 1  tan x 
A) log c A) tan 1  c
2 5 2 tan x  3  5 2  2 

1  tan x 
1 2 tan x  3  5 B) tan 1  c
B) log c 2  4 
2 5 2 tan x  3  5
1  tan x 
C) tan 1  c
C) 1 2 tan x  3  5 4  2 
log c
5 2 tan x  3  5
1  tan x 
D) tan 1  c
1 2 tan x  3  5 4  4 
D) log c
5 2 tan x  3  5
dx
377.  2  3cos 2x 
dx
374.  3  5sin 2x 
1 5 tan x  1
A) log c
1 3tan x  9 2 5 5 tan x  1
A) log c
4 3tan x  1
1 5 tan x  1
B) log c
1 3tan x  1 2 5 5 tan x  1
B) log c
4 3tan x  9
1 5 tan x  1
1 3tan x  9 C) log c
C) log c 5 5 tan x  1
8 3tan x  1

1 3 tan x  1 1 5 tan x  1
D) log c D) log c
8 3tan x  9 5 5 tan x  1

dx dx
375.  3  2cos 2x  378.  3  4cos 2x 
1  1  1 7  tan x
A) tan 1  tan x   c log c
5  5  A)
2 7 7  tan x

2  1 
B) tan 1  tan x   c 1 7  tan x
5  5  B) log c
2 7 7  tan x

C)
1
5
tan 1  
5 tan x  c
1 7  tan x
C) log c
4 7 7  tan x
D)
2
5
tan 1  
5 tan x  c
1 7  tan x
D) log c
4 7 7  tan x
 Integration 161

dx dx
379.  5  7cos 2x  382. a 2
 b 2 cos 2 x


1 6  tan x 1  b tan x 
A) log c tan 1 
2 6 6  tan x A) c
b a b2
 a b 
2 2 2

1 6  tan x 1  b tan x 
B) log c B) tan 1  c
2 6 6  tan x b a b  a b 
2 2 2 2

1 6  tan x 1  a tan x 
log c tan 1 
C)
4 6 6  tan x C) c
a a b2
 a b 
2 2 2

1 6  tan x 1  a tan x 
log c tan 1 
D)
4 6 6  tan x D) c
a a 2  b2  a b 
2 2

dx dx
380.  3  2sin 2x  4cos 2x  383.  3  2cos 2

x

1 11  2  tan x 1  3 tan x 
A) log c A) cot 1  c
2 11 11  2  tan x 15  5 

1 11  2  tan x 1  3 tan x 
B) log c tan 1  c
B)
2 11 11  2  tan x 15  5 

2 11  2  tan x 1  tan x 
C) log c C) cot 1  c
11 11  2  tan x 5  5 

2 11  2  tan x 1  tan x 
log c D) tan 1  c
D) 5  5 
11 11  2  tan x

dx
Integrals of Type
384.
 4  5cos 2
x


dx dx dx 1  2 tan x 
 a  b cos 2
x
,
a  b sin x
2
,
a  b cos x  csin 2 x
2 A)
6
tan 1 
 3 
c

dx 1  2 tan x 
381.  1  3sin 2
x
 B)
3
tan 1 
 3 
c

1 2  2 tan x 
A) tan 1 (2 tan x)  c tan 1 
2 C) c
3  3 
1
B) tan 1 (2 tan x)  c 1  2 tan x 
2 D) tan 1  c
12  3 
C) 2 tan 1 (2 tan x)  c

D)  2 tan 1 (2 tan x)  c
 Integration 162

dx dx
385. a 2
sin x  b 2 cos 2 x
2
 388.  sin 2
x  sin 2x


1 1  b tan x  1 tan x
A) log c
A) tan  c 2 tan x  2
ab  a 

1 tan x
1  b tan x  B) log c
B) tan 1  c 2 tan x  2
ab  a 
1 tan x
1 1  a tan x  C) log c
C) tan  c 4 tan x  2
ab  b 
1 tan x
D) log c
1  a tan x  4 tan x  2
D) tan 1  c
ab  b 
cos x
dx
389.  cos3x dx 
386.  1  3sin 2
x  8cos 2 x

1 1  3 tan x
A) log c
3 1  3 tan x
1  2 tan x 
A) tan 1  c
2  3 
1 1  3 tan x
B) log c
1 1  2 tan x  3 1  3 tan x
B) tan  c
3  3 
1 1  3 tan x
C) log c
1 1  2 tan x  2 3 1  3 tan x
C) tan  c
6  3 
1 1  3 tan x
D) log c
1  2 tan x  2 3 1  3 tan x
D) tan 1  c
12  3 
sin x
390.  sin 3x dx 
dx
387.  cos 2x  3sin 2
x

1 3  tan x
A) log c
1 3 3  tan x
A) tan 1 ( 2 tan x)  c
2
1 3  tan x
B) log c
1 1 2 3 3  tan x
B) tan ( 2 tan x)  c
2
1 3  tan x
1 C) log c
C) tan 1 ( 2 tan x)  c 3 3  tan x
2 2

1 3  tan x
1 D) log c
D) tan 1 ( 2 tan x)  c 2 3 3  tan x
2 2
 Integration 163

Integration By Parts
 x sin x dx 
2
397.

 f (x) dx  g(x), then  f

1
391. If (x) dx 
x 2 x sin 2x cos 2x
A) g (x)
–1 A)   c
4 4 8
B) f–1 (x)
C) xf–1 (x) – g–1 (x) x 2 x sin 2x cos 2x
B)   c
D) xf–1 (x) – g(f–1(x) 4 4 8

392.  (f (x))g ''(x)  f ''(x)g(x)) dx  x 2 x sin 2x cos 2x

C)   c
A) f (x) g '(x)  f '(x)g(x) 4 4 8

B) f (x) g '(x)  f '(x)g(x) x 2 x sin 2x cos 2x

D)   c
C) f '(x) g(x)  f (x)g '(x) 4 4 8

f (x) 398.  x tan x dx 

2
D) g '(x)
x2
1 A) x tan x  log sec x  c
393. If  x f (x) dx  f (x), then f (x) 
2
2

A) ex B) e –x x2
C) log x D) e x
2 B) x tan x  log sec x  c
2
394.  x sin x dx  x2
C) x tan x  log sec x  c
A) cos x + x sin x + c B) cos x – x sin x + c 2
C) sin x + x cos x + c D) sin x – x cos x + c
x2
395.  x sin 2x dx  D) x tan x  log sec x 
2
c

sin 2x x sin 2x
A)  c  x cot x dx 
2
399.
4 2

sin 2x x cos 2x x2
B)  c A) log sin x  x tan x  c
4 2 2
cos 2x x sin 2x
C)  c x2
4 2 B) log sin x  x tan x  c
2
sin 2x x sin 2x
D)  c x2
4 2 C) log sin x  x cot x  c
2
396.  x sin 2x sin 5x dx 
x2
x sin 3x cos 3x x sin 7x cos7x D) log sin x  x cot x  c
A)    c 2
6 18 14 98
x sin x dx 
2
x sin 3x cos 3x x sin 7x cos7x 400.
B)    c
6 18 14 98 A) (x2 – 2) cos x + 2x sin x + c
x sin 3x cos 3x x sin 7x cos 7x B) (x2 – 2) cos x + 2x sin x + c
C)    c
6 18 14 98 C) (2 – x2) cos x + 2x sin x + c
x sin 3x cos3x x sin 7x cos7x D) (2 – x2) cos x – 2x sin x + c
D)    c
6 18 14 98
 Integration 164

401.  x sin x dx  2
1 2x
405. x dx 

x 2 sin 1 x x 1  x 2 sin 1 x 22x  1 

A)   c A) x  c
2 4 4 2log 2  2log 2 

x 2 sin 1 x x 1  x 2 sin 1 x  22x  1 

B)   c B) x  c
2 4 4 2log 2  2log 2 

x 2 sin 1 x x 1  x 2 sin 1 x 22x  1 

C)   c C) x  c
2 4 4 2log 2  2log 2 

x 2 sin 1 x x 1  x 2 sin 1 x  22 x  1 

D)   c
2 4 4 D) x  c
2log 2  2log 2 
 x tan
1
402. x dx 
406.  x log x dx 
2 1 1
x tan x x tan x
A)   c x2
2 2 2 A) (2log x  1)  c
4
x 2 tan 1 x x tan 1 x
B)   c x2
2 2 2 B) (2log x  1)  c
4
x 2 tan 1 x x tan 1 x
C)   c x2
2 2 2 C) (log x  1)  c
2
x 2 tan 1 x x tan 1 x
D)   c x2
2 2 2 D) (log x  1)  c
2
 x sec
1
403. x dx 
407.  x log x dx 
3

x 2 sec 1 x x2 1 x4
A)  c A) (log x  1)  c
2 2 4

x 2 sec 1 x x2 1 x4
B)  c B) (4log x  1)  c
2 2 4
x4
x 2 sec 1 x x2 1 C) (log x  1)  c
C)  c 16
2 4
x4
2
x sec x 1
x 1 2 D) (4log x  1)  c
D)  c 16
2 4
log x
404. x
2
e 3x
dx  408.  (x  1) 2
dx 

e3x  log x
A) (9x 2  6x  2)  c A)  log x  log x  1  c
9 x 1
e3x log x
B) (9x 2  6x  2)  c B)  log x  log x  1  c
9 x 1

e3x log x
C) (9x 2  6x  2)  c C)  log x  log x  1  c
27 x 1

e3x  log x
D) (9x 2  6x  2)  c D)  log x  log x  1  c
27 x 1
 Integration 165

 tan
1
log x 413. x dx 
409.  (1  x)3
dx 
1
A) x tan 1 x  log 1  x 2  c
2
1 1 x log
A)  log  c
1 x 2 1  x 2(1  x) 2 1
B) x tan 1 x  log 1  x 2  c
2
1 1 x log 1
B)  log  c x tan 1 x  log 1  x 2  c
1 x 2 1  x 2(1  x) 2 C)
4

1
1 1 x log D) x tan 1 x  log 1  x 2  c
C)  log  c 4
1 x 2 1  x 2(1  x) 2

 sec
1
414. x dx 
1 1 x log
D)  log  c
1 x 2 1  x 2 (1  x)2 A) x sec 1 x  log x  x 2  1  c

log x x sec1 x  log x  x 2  1  c

410.  x3
dx  B)

 2log x  1 C) x sec1 x  log x  x 2  1  c

A) 2log x  1 c
 c B) 4x 2
4x 2
D) x sec1 x  log x  x 2  1  c
2log x  1 1  2log x
C)  c D) c
4x 2 4x 2 415.  log x dx 
A) x (log x – 1) + c B) x (log x + 1) + c
411.  sin x dx 
1

C) x log x – 1 + c D) x log x + 1 + c

A) x sin 1 x  1  x 2  c 416.  log (x  x 2  a 2 ) dx 

B) x sin 1 x  2 1  x 2  c A) x log (x  x 2  a 2 )  2 x 2  a 2  c

B) x log (x  x 2  a 2 )  2 x 2  a 2  c
C) x sin 1 x  2 1  x 2  c

C) x log (x  x 2  a 2 )  x 2  a 2  c
1
D) x sin x  1  x  c
2

D) x log (x  x 2  a 2 )  x 2  a 2  c
 cos
1
412. x dx 
x
417.  1  cos 2x dx 
A) x cos 1 x  2 1  x 2  c
A) xtan x + log |secx| + c
B) xtan x – log |secx| + c
B) x cos 1 x  2 1  x 2  c
1
C) (x tan x  log| sec x |)  c
C) 1
x cos x  1  x  c
2 2

1
1 D) (x tan x  log| sec x |)  c
D) x cos x  1  x  c
2
2
 Integration 166

x x
418.  1  cos x dx  B)
4
(tan 2x  sec 2x)

x x 1
A) x cot    2log sin    c  log sec 2 2x  sec 2x tan x  c
2 2 2

x x x
B) x cot    2log sin    c C) (tan 2x  sec 2x)
2 2 2

x x 1
C)  x cot    2log sin    c  log sec 2 2x  sec 2x tan x  c
2 2 4

x x
D)  x cot    2log sin    c
2 2 x
D) (tan 2x  sec 2x)
2
x  sin x
419.  1  cos x dx  1
 log sec 2 2x  sec 2x tan x  c
4
x x
A) 4log sin    x cot    c
2 2
 sec x dx 
3
422.

x x A) secx tanx + log |secx + tanx| + c

B) 4log sin    x cot    c
2 2 B) secx tanx – log |secx + tanx| + c

x x 1
C) 2log sin    x cot    c C) (sec x tan x  log sec x  tan x )  c
2 2 2

x x 1
D) 2log sin    x cot    c D) (sec x tan x  log sec x  tan x )  c
2 2 2

 cos ec x dx 
3
x 423.
420.  1  sin x dx 
A) x(tanx + sec x) + log |1 + sin x| + c 1
A) (log cos ecx  cot x  cos ecx cot x)  c
B) x(tanx + sec x) – log |1 + sin x| + c
2

C) x(tanx – sec x) + log |1 + sin x| + c

1
B) (log cos ecx  cot x  cos ecx cot x)  c
D) x(tanx – sec x) – log |1 + sin x| + c 2

x
421.  1  sin 2x dx  C)
1
(log cos ecx  cot x  cos ecx cot x)  c
4
x
A) (tan 2x  sec 2x) 1
4 D) (log cos ecx  cot x  cos ecx cot x)  c
4
1
 log sec 2 2x  sec 2x tan x  c
2
 Integration 167

 log (x  x) dx  x log (x 2  x)  A, then A  e sin x dx 

2 x
424. If 428.
A) log (x + 1) + 2x + c
ex
B) 2x – log (x + 1) + c A) (sin x  cos x)  c
2
C) log (x + 1) – 2x + c
D) 2x – log (x + 1) + c  ex
B) (sin x  cos x)  c
2
 1 
425.   log (log x)  (log x) 2  dx 

ex
C) (sin x  cos x)  c
2
x
A) x log (log x)  c  ex
log x D) (sin x  cos x)  c
2

x
e cos 2x cos x dx 
5x
x log (log x)  c 429.
B) log x
e5x  5cos 3x  sin 3x 5cos x  sin x 
x A)    c
x log (log x)  c 26  34 26 
C) log x
e5x  5cos3x  sin 3x 5cos x  sin x 
B)    c
x 26  34 26 
D) x log (log x)  c
log x
e5x  5cos3x  sin 3x 5cos x  sin x 
C)    c
e sin (bx  c) dx 
ax
426. 2  34 26 

eax e5x  5cos3x  sin 3x 5cos x  sin x 

A) (a sin (bx  c)  b cos (bx  c))  c1 D)    c
a 2  b2 2  34 26 

B)
eax
(a sin (bx  c)  b cos (bx  c))  c1
430.  cos x dx 
a 2  b2
A) 2 x cos x  2sin x  c
ax
e
C) (a cos (bx  c)  bsin (bx  c))  c1 B) 2 x cos x  2sin x  c
a  b2
2

C) 2 x sin x  2cos x  c
eax
D) (a cos (bx  c)  bsin (bx  c))  c1
a 2  b2 D) 2 x sin x  2 cos x  c

e cos (bx  c) dx 
ax
427. 431.  sin (log x) dx 
eax x
A) (a sin (bx  c)  b cos (bx  c))  c1 A) (cos (log x)  sin (log x))  c
a 2  b2 2

eax x
B) (a sin (bx  c)  b cos (bx  c))  c1 B) (sin (log x)  cos (log x))  c
a 2  b2 2

eax x
C) (a cos (bx  c)  bsin (bx  c))  c1 C) (cos (log x)  sin (log x))  c
a 2  b2 2

eax x
D) (a cos (bx  c)  b sin (bx  c))  c1 D) (sin (log x)  cos (log x))  c
a 2  b2 2
 Integration 168

432.  sin x log (cos x) dx  x

2
437.
3
e x dx 

A) cos x(1 – log | cos x|) + c

2 2
ex ex
B) cos x(1 + log | cos x|) + c A) (x 2  1)  c B) (x 2  1)  c
2 2
C) sin x(1 – log | cos x|) + c
D) sin x(1 + log | cos x|) + c ex
2
ex
2

C) (2x 2  1)  c D) (2x 2  1)  c
2 2
433.  e dx 
x

  x 
( x  1)  c B) 2e   log (1  cos x)  x tan  2   dx 
x
A) 2e x
( x  1)  c 438.

C) e x
( x  1)  c D) e x
( x  1)  c
A) – x log (1 + cos x) + c

e x dx  B) x log (1 + cos x) + c
x
434.

x
A) 2 x e x
4 xe x
c C) log (1  cos x)  c
2
B) (2x  4 x  4) e x
c
x
D) log (1  cos x)  c
C) (2x  4 x  4) e x
c
2

 cos
1
D) (1  4 x ) e x
c 439. x dx 

x2  1 x  x 2 1 1
435.  x4
(log (x 2  1)  2log x) dx A) x cos 1 x 
2
 sin
2
x c

3
1 1 2  2  1  x  x 2 1 1
A)  1  2    log  1  2    c B) x cos 1 x   sin x c
3  x  3  x  2 2

3
1 1 2  2  1  x  x 2 1 1
C) x cos 1 x   sin x c
B)  1  2    log  1  2   c 2 2
3  x  3  x 

3 x  x 2 1 1
2 1 2  1  1  D) x cos 1 x   sin x c
C) 1  2    log  1  2    c 2 2
3  x  3  x 

 tan
1
3
440. x dx 
2  1  1 2  1 
D) 1  2    log  1  2    c
3  x   3  x  A) x  tan 1 x  x  c

log (log x) B) x  tan 1 x  x  c

436.  x
dx 

A) log x (log x + 1) + c
C) (x  1) tan 1 x  x  c

B) log x (log x – 1) + c D) (x  1) tan 1 x  x  c

C) log x (log (log x) + 1) + c
D) log x (log (log x)+ 1) + c
 Integration 169

sin 1 x  cos 1 x d
441.  sin 1
x  cos 1 x
dx  445. If
dx
f (x) = x cos x + sin x and f(0) = 2, then

f(x) =
4 A) x sin x B) x cos x + sin x + 2
A) ( x  x 2  (1  2x)sin 1 x )  x  c
 C) x sin x + 2 D) x cos x + 2
4
B) ( x  x 2  (1  2x)sin 1 x )  x  c
 Integrals of Form
2
( x  x 2  (1  2x)sin 1 x )  x  c e (f (x)  f '(x)) dx
x
C)

446. If an antiderivative of f(x) is ex and that of g(x) is
2
D) ( x  x 2  (1  2x)sin 1 x )  x  c
 f (x)cos x dx   g(x) e dx 
x
 cos x, then

x sin 1 x A) f (x) g (x) + c B) f (x) + g (x) + c

442.  1  x2
dx 
C) ex cos x + c D) – ex cos x + c

447.  e (cot x  1  cot x)dx 

x 2
A) cos–1 (sin–1 x) + x sin–1 x + c
B) – cos–1 (sin–1 x) + x sin–1 x + c
A) ex tan x + c
C) (sin–1 x) cos–1 (sin–1 x) + x + c
B) – ex tan x + c
D) – (sin–1 x) cos–1 (sin–1 x) + x + c
C) ex (2 + tan x) + c
443. If I1  sin 1 x dx  and I 2   sin 1 1  x 2 dx , D) ex | log sin x | + c
then
e (cot x  1  cot 2 x) dx 
x
448.

A) I 1 + I2 B) I2  I1 A) ex cot x + c B) – ex cot x + c
2
C) ex cot2 x + c D) – ex cot2 x + c
x x
C) I1  I 2  D) I1  I2  e (sec 2 x  sec3 x sin x) dx 
tan x
449.
2 2
A) etan x + c B) – etan x + c
 cot (1  x  x ) dx 
1 2
444.
C) etan x tan x + c D) – etan x tan x + c
1
e (1  tan x)sec x dx 
x
A) x tan 1 x  log 1  x 2  (1  x) tan 1 (1  x) 450.
2
A) ex cot x + c B) ex tan x + c
1
 log 1  (1  x) 2  c C) ex sec x + c D) ex cos x + c
2
e (tan x  log (sec x)) dx 
x
1 451.
B) x tan x  log 1  x 2  (1  x) tan 1 (1  x)
1

2 A) – ex tan x + c
1 B) ex tan x + c
 log 1  (1  x) 2  c C) – ex log (sec x) + c
2
D) ex log (sec x) + c
1
C) x tan 1 x  log 1  x 2  (1  x) tan 1 (1  x)
e (cot x  log (sin x)) dx 
x
2 452.
1 A) – ex cot x + c B) – ex log (sin x) + c
 log 1  (1  x) 2  c
2 C) ex cot x + c D) ex log (sin x) + c

 cos x  sin x 
e  dx 
x
1 453. 
D) x tan x  log 1  x 2  (1  x) tan 1 (1  x)
1 2
 sin x 
2
A) ex cosec x + c B) – ex cosec x + c
1
 log 1  (1  x) 2  c C) ex sec x + c D) – ex sec x + c
2
 Integration 170

x  1  sin x  ex
454.  e   dx 
 1  cos x 
461.  x
(x (log x) 2  2 log x) dx 

A) 2ex log x + c B) – 2ex log x + c

x x
A) e x cot    c B)  e x cot    c C) ex (log x)2 + c D) – ex (log x)2 + c
2 2
 x 1 
e  2  dx 
x
x 462.
x  x 
2e x cot    c D)  2e cot  2   c
x
C)
2  
ex  ex
A) c B) c
x  1  sin x  x x
455.  e   dx 
 1  cos x 
ex  ex
C) c D) c
x x x2 x2
A) e tan    c B) e cot    c
x x

2 2
 
463.  e x  x 2  dx 
x  (x  1) 
C) 2e x tan    c D) 2e x cot    c
x
2 2
 ex  ex
A) c B) c
x  2  sin 2x  x 1 (x  1) 2
456.  e   dx 
 1  cos 2x 
ex ex
A) ex cot x + c B) ex tan x + c C) c D) c
x 1 (x  1) 2
C) ex sin x + c D) ex cos x + c
 x 3 
x  sin 2x 
e  dx 
x
457.  e   dx  464. 
 (x  4)
2

 1  cos 2x 
A) ex tan x + c B) – ex tan x + c 1 ex
A) c B) c
C) ex cot x + c D) – ex cot x + c (x  4)2 (x  4)2
 sin x cos x  1 
e  dx 
x
458.  ex ex
 cos 2 x  C) c D) c
x4 x3
A) ex cot x + c B) – ex cot x + c
xe x
C) ex tan x + c D) – ex tan x + c 465.  (x  2)3
dx 

 1  x 2 sin 1 x  1 
459.  ex 
 1  x 2
 dx 
  ex
c
ex
c
  A) B)
x2 x2
A) ex sin–1 x + c B) – ex sin–1 x + c
 ex ex
e x C) c D) c
ex c (x  2) 2 (x  2) 2
C) c D)
1  x2 1  x2
 x 1 
e dx 
x
 1 466.  3 
460.  e  log x   dx 
x
 (x  1) 
 x
 ex ex
log x A) c B) c
A) c B) ex log x + c x 1 x 1
x
 ex ex
ex ex C) c D) c
C) c D) c (x  1) 2 (x  1) 2
x log x
 Integration 171

473.  e (sin x cos x  sin x)dx 

cos x
x  x 1
2

467.   x  1  dx 
e
  A) ecos x cos x + c
B) – ecos x cos x + c
 x 1  C) ecos x (1 + cos x) + c
A) ex  c
 x 1 D) – ecos x (1 + cos x) + c
474.  e (sin x cos x  cos x) dx 
sin x
 x 1
B) c
x
e 
 x 1  A) esin x sin x + c
C) ex (x + 1) (x – 1) + c B) – esin x sin x + c
C) esin x (1 + sin x) + c
D) ex (x + 1) + c
D) – esin x (1 + sin x) + c
2
x2
468.  e 
x
 dx 
475.  (sin (log x)  cos (log x)) dx 
x4
A) – x sin (log x) + c
 x   x 2 B) x sin (log x) + c
A) ex    c B) ex  c C) – x cos (log x) + c
 x 4  x 4
D) x cos (log x) + c
 x2  2x   1 1 
C) ex    c D) ex  c
 x 4  x 4 476.   log x  (log x) 2  dx 

2
 1 x  1 x
469.  ex  2
 x 1
 dx  A) log x
c B) log x
c

ex  ex x x
A) c B) c C) c D) c
1  x2 1  x2 (log x) 2 x log x

ex  ex log x
C)
(1  x 2 ) 2
c D)
1  x2
c 477.  (1  log x) 2
dx 

x x
 2  A) c B) c
x  x  x 1 1  log x 1  log x
470.  e
 2 3 
 (x  1) 2 
dx 
  1 1
C) c D) c
1  log x 1  log x
 ex  ex
A) c B) c 2
x2  1 1  x2  log x  1 
478.   2 
 1  (log x) 
dx 
ex ex
C) c D) c
(1  x 2 ) 2 x2  1 x
xe x c
A) c B)
1  x2 (log x) 2
e ( sin x  2cos x) dx 
2x
471.
A) e2x sin x + c B) – e2x sin x + c xe x x
C) c D) c
1  x2 x 1
2
C) e2x cos x + c D) – e2x cos x + c
 x  1  x2 
 1  sin 2x 
479.  e
1

472.  e 
sin x
  dx 
 dx 
2x
 1  x2 
 1  cos 2x   
1 1

e 2x e 2x A) xesin x
c B)  xesin x
c
A) cot x  c B) tan x  c
2 2 1 1
C) esin x
c D)  esin x
c
C) 2e cot x + c D) 2e tan x + c
2x 2x
 Integration 172

 1  x  x2 
480.  e
tan 1
x
  dx 
484.  2ax  x 2 dx 
 1 x 
2

A) e tan
1
x
c B)  e tan
1
x
c A) (x  a) 2ax  x 2 a 2  xa 
 sin 1  c
1 1
2 2  a 
C) xe tan x
c D)  xe tan x
c

(x  a) 2ax  x 2 a 2  xa 
Integrals of Type B)  sin 1  c
2 2  a 

 a 2  x 2 dx,  x 2  a 2 dx,  x 2  a 2 dx
(x  a) 2ax  x 2 a 1  x  a 
C)  sin  c
481.  (x  3) (5  x) dx  2 2  a 

A) x4 1 1
 8x  x  15  sin (x  4)  c
2
 (x  a) 2ax  x 2 a 1  x  a 
 2  4 D)  sin  c
2 2  a 
x4 1 1
 8x  x  15  sin (x  4)  c
2
B) 
 2  2
485.  cos x 36  sin 2 x dx 
x4 1 1
 8x  x  15  sin (x  4)  c
2
C) 
 4  4 sin x  sin x 
A) 36  sin 2 x  3sin 1  c
2  6 
 x4 1 1
 8x  x  15  sin (x  4)  c
2
D) 
 4  2
sin x  sin x 
B) 36  sin 2 x  6sin 1  c
2  6 
482.  4  3x  2x 2 dx 

 4x  3  1 41  4x  3  sin x  sin x 
A)  4 2  4  3x  2x  16 2 sin  c
2

   41  C) 36  sin 2 x  18sin 1  c

2  6 
 4x  3  1 41  4x  3 
B)  4 2  4  3x  2x  32 2 sin  c
2

   41  sin x  sin x 
D) 36  sin 2 x  36sin 1  c
2  6 
 4x  3  41  4x  3 
C)   4  3x  2x 
2
sin 1  c
8  16 2  41 

 4x  3
 41  4x  3 
486.  9x 2  4 dx 
1
D)  8  4  3x  2x  32 2 sin  c
2

 41 
x 2
A) 9x 2  4  log 3x  9x 2  4  c
 4  9x dx  2 3
2
483.

x 2  3x  x 2
A) 4  9x 2  sin 1    c B) 9x 2  4  log 3x  9x 2  4  c
2 9  2  2 3

x 2  3x  x 2
B) 4  9x 2  sin 1    c C) 9x 2  4  log 3x  9x 2  4  c
2 9  2  2 9

x 3  3x 
C) 4  9x 2  sin 1    c x 2
9x 2  4  log 3x  9x 2  4  c
2 2  2  D)
2 9
x 3  3x 
D) 4  9x 2  sin 1    c
2 2  2 
 Integration 173

487.  9x 2  6x  4 dx  489.  x 2  4x  13 dx 

x2
1 A) x 2  4x  13
A) (3x  1) 9x 2  6x  4 2
6
9
 log x  2 x 2  4x  13  c
2
1 3x  1  9x 2  6x  4
 log c
2 3 x2
B) x 2  4x  13
2
1 9
B) (3x  1) 9x 2  6x  4  log x  2 x 2  4x  13  c
6 2

x2
1 3x  1  9x 2  6x  4 C) x 2  4x  13
 log c 2
2 3
3
 log x  2 x 2  4x  13  c
2
1
C) (3x  1) 9x 2  6x  4
3
x2
D) x 2  4x  13
2
1 3x  1  9x 2  6x  4
 log c
2 3 3
 log x  2 x 2  4x  13  c
2

490.  x 2  4x  5 dx 
1
D) (3x  1) 9x 2  6x  4
3 A) x2 2
x  4x  5
2
1 3x  1  9x 2  6x  4 9
 log c  log x  2  x 2  4x  5  c
2 3 2

B) x2 2
x  4x  5
 4x  5 dx  2
2
488.
9
 log x  2  x 2  4x  5  c
x 5 5 2
A) 4x 2  5  log x  x2  c
2 4 4

C) x2 2
x  4x  5
2
x 5 5
B) 4x 2  5  log x  x2  c
2 4 4 9
 log x  2  x 2  4x  5  c
4

x 5 5
C) 4x 2  5  log x  x2  c x2 2
2 2 4 D) x  4x  5
2

x 5 5 9
4x 2  5  log x  x2  c  log x  2  x 2  4x  5  c
D) 2 2 4 4
 Integration 174

 2x 2  3x  4 dx  e e 2x  1 dx 
x
491. 493.

4x  3 e x 2x 1
A) 2x 2  3x  4 A) e  1  log e x  e 2x |1  c
8 4 4

23 4x  3 3 e x 2x 1
 log  x  x2 c
2
B) e  1  log e x  e 2x |1  c
8 2 4 2 4 4

e x 2x 1
C) e  1  log e x  e 2x |1  c
4x  3 2 2
B) 2x 2  3x  4
8 e x 2x 1
D) e  1  log e x  e 2x |1  c
2 2
23 4x  3 3
 log  x2  x  2  c
8 2 4 2 1  (log x) 2
494.  x
dx 
4x  3
C) 2x 2  3x  4 log x 1
8 A) 1  (log x)2  log log x  1  (log x)2  c
2 2
23 4x  3 3 log x 1
 log  x2  x  2  c B) 1  (log x) 2  log log x  1  (log x) 2  c
16 2 4 2 2 2

log x 1
4x  3 C) 1  (log x) 2  log log x  1  (log x)2  c
D) 2x 2  3x  4 2 4
8
log x 1
D) 1  (log x) 2  log log x  1  (log x) 2  c
23 4x  3 3 2 4
 log  x2  x2 c
16 2 4 2
(log x) 2  3(log x)  1
495.  x
dx 
492.  sin x cos x  2cos x  2 dx 
2

 2log x  3 
 (log x)  3(log x)  1
2
1 A) 
A) log 1  cos x  cos 2 x  2cos x  2  4 
2
5 3
1  cos x  log log x   (log x)2  3(log x)  1  c
 cos 2 x  2cos x  2 |  c 4 2
2

1  2log x  3 
 (log x)  3(log x)  1
2
log 1  cos x  cos 2 x  2cos x  2 B) 
B)  4 
2

1  cos x 5 3
 cos 2 x  2cos x  2 |  c  log log x   (log x) 2  3(log x)  1  c
2 8 2

1  cos x  2log x  3 
C) cos 2 x  2 cos x  2 C)   (log x)  3(log x)  1
2
2  4 
1
 log cos x  1  cos 2 x  2cos x  2  c 5 3
2  log log x   (log x) 2  3(log x)  1  c
4 2
1  cos x
D) cos 2 x  2 cos x  2  2log x  3 
2 D)   (log x)  3(log x)  1
2

 4 
1
 log cos x  1  cos 2 x  2cos x  2  c
2 5 3
 log log x   (log x)2  3(log x)  1  c
8 2
 Integration 175

Integrals of Type 499.  (x  1) x 2  x  1 dx 

 (px  q) ax 2  bx  c dx
1 2 3
1
A) (x  x  1) 2  (2x  1) x 2  x  1
3 8
496.  (x  5) x 2  1 dx 
3 2x  1
3  log  x2  x  1  c
1 5 5 16 2
A) (x 2  1) 2  x x 2  1  log x  x2 1  c
3 2 2
3
3 1 2 1
1 5 5 B) (x  x  1) 2  (2x  1) x 2  x  1
B) (x 2  1) 2  x x 2  1  log x  x 1  c
2
3 8
3 2 2
1 2 3
5 5 3 2x  1
C) (x  1) 2  x x 2  1  log x  x2 1  c  log  x2  x 1  c
3 2 2 16 2
3
1 2 5 5
D) (x  1) 2  x x 2  1  log x  x2 1  c 1 2 3
1
3 2 2 C) (x  x  1) 2  (2x  1) x 2  x  1
3 8
497. x 1  x  x 2 dx 
3 2x  1
 log  x2  x 1  c
1 3
1  2x  1 5 1  2x  1   16 2
A) 3 (1  x  x )  4  4  8 sin    c
2 2

  5 
3
1 2 1
1 1  2x  1 5 1  2x  1  
3 D) (x  x  1) 2  (2x  1) x 2  x  1
B) 3 (1  x  x )  4  4  8 sin 
2 2
  c 3 8
  5 
3 2x  1
1 3
1 5  2x  1    log  x2  x  1  c
C) 3 (1  x  x 2 2
)   2x  1  sin 1    c 16 2
8 2  5 

1
D) 3 (1  x  x 2 2
)
3
1 5  2x  1  
  2x  1  sin 1    c
500.  (3x  2) x 2  x  1 dx 
8 2  5 
3
7 (2x  1)
A) (x 2  x  1) 2  x2  x 1
 (x  5) x  x dx 
2
498. 8

1 2 3
11 21 1
A) (x  x) 2  (2x  1) x 2  x  log x   x 2  x  1  c
3 8 16 2
11 2x  1 3
7 (2x  1)
 log  x2  x  c B) (x 2  x  1) 2  x2  x 1
16 2 8
3
1 2 11 21 1
B) (x  x) 2  (2x  1) x 2  x  log x   x 2  x  1  c
3 8 16 2
11 2x  1
 log  x2  x  c 3
7 (2x  1)
16 2 C) (x 2  x  1) 2  x2  x 1
8
3
1 2 11
C) (x  x) 2  (2x  1) x 2  x 21 1
3 8  log x   x 2  x  1  c
8 2
11 2x  1
 log  x2  x  c
16 2 3
7 (2x  1)
D) (x 2  x  1) 2  x2  x 1
3 8
1 2 11
D) (x  x) 2  (2x  1) x 2  x
3 8 21 1
 log x   x 2  x  1  c
11 2x  1 8 2
 log  x2  x  c
16 2
 Integration 176

Integration By Partial Fractions 2x

Type - 1
505.  4  3x  x 2
dx 

A) 8 2
dx log 4  x  log 1  x  c
501.  x (x  1)
 5 5
8 2
B) log 4  x  log 1  x  c
x 1 x 5 5
A) log  c B) log c
x x 1 4 2
C) log 4  x  log 1  x  c
5 5
x 1 x 1
C) log  c D) log c 4 2
x x 1 D) log 4  x  log 1  x  c
5 5
dx 4x
502.  xx 3
 506.  2x 2
 x 1
dx 

2 2
1 1  x2 A) log 2x  1  log x  1  c
A) log c 3 3
2 x2
2 2
B) log 2x  1  log x  1  c
1 x 3 3
B) log c
x(1  x) 2 4
C) log 2x  1  log x  1  c
3 3
C) log | x (1 – x2)| + c
2 4
2 D) log 2x  1  log x  1  c
1 x 3 3
D) log c
2 1 x2
12x  3
507.  6x 2
 13x  63
dx 
dx
503.  x (x  2) (x  4)

A)
31 51
log 2x  9  log 3x  7  c
41 41
1 1 1 31 51
A) log x  log x  2  log x  4  c B) log 2x  9  log 3x  7  c
8 4 8 21 21

1 1 1 51 31
B) log x  log x  2  log x  4  c C) log 2x  9  log 3x  7  c
8 4 8 41 41
51 31
1 1 1 D) log 2x  9  log 3x  7  c
C) log x  log x  2  log x  4  c 21 41
8 4 8
x2  2
1 1 1 508.  (x  1) (x  2) (x  3)
dx 
D) log x  log x  2  log x  4  c
8 4 8
1 11
A) log x  1  2log x  2  log x  3  c
x 1 4 4
504. x 2
 5x  6
dx 
1 11
B) log x  1  2log x  2  log x  3  c
4 4
(x  3)2 x2
A) log  c B) log c 1 11
x2 (x  3) 2 C) log x  1  2 log x  2  log x  3  c
4 4
x3 x2 1 11
C) 2 log  c D) 2 log c D) log x  1  2 log x  2  log x  3  c
x2 x3 4 4
 Integration 177

x2 2x 3  3x 2  3
509.  (x  1)(3x  1)(3x  2)
dx  513.  2x 2  x  1
dx 

1 1 4 x2 5 1
A) log x  1  log 3x  1  log 3x  2  c A)  2x  log 2x  1  log x  1  c
2 18 9 2 6 3

1 1 4
B) log x  1  log 3x  1  log 3x  2  c x2 5 2
2 18 9 B)  2x  log 2x  1  log x  1  c
2 6 3
1 1 4
C) log x  1  log 3x  1  log 3x  2  c x2 1 2
2 18 9 C)  2x  log 2x  1  log x  1  c
2 6 3
1 1 4
D) log x  1  log 3x  1  log 3x  2  c
2 18 9 x2 1 1
D)  2x  log 2x  1  log x  1  c
2 6 3
x2  x 1
510.  x2  x  6
dx 
x2  1
A) x + log |x + 3| + log |x + 2| + c
514.  x 2  5x  6
dx 

B) x – log |x + 3| – log |x + 2| + c
C) x – log |x + 3| + log |x + 2| + c (x  3)2
A) x  5log c
D) x + log |x + 3| – log |x + 2| + c x2

1 x2
511.  x(1  2x)
dx 
B) x  5log
(x  3)2
c
x2
x 3
A)  log x  log 1  x  c
2 2 (x  3)2
C) x  log c
x2
x 3
B)  log x  log 1  2x  c
2 2
(x  3) 2
D) x  log c
x 3 x2
C)  log x  log 1  2x  c
2 4

x 3 3
D)  log x  log 1  2x  c 515.  (x 2
 1)(x 2  4)
dx 
2 4

x 3  4x 2  3x  11 1 x
512.  x 2  5x  6
dx  A) tan 1 x  tan 1    c
2 2
x2
A)  x  9log x  2  11log x  3  c 1 x
2 B) tan 1 x  tan 1    c
2 2
x2
B)  x  9 log x  2  11log x  3  c
2 x
C) tan 1 x  2 tan 1    c
2
x2
C)  x  9log x  2  11log x  3  c
2
x
2 D) tan 1 x  2 tan 1    c
x 2
D)  x  9 log x  2  11log x  3  c
2
 Integration 178

x2 2x 2  1
516.  (x 2  2)(2x 2  1)
dx  519.  (x 2  4) (x 2  5)
dx 

1 x 1 x 5
2 x 1 A) tan 1    log c
A) tan 1    tan 1 ( 2x)  c 2 2 2 5 x 5
3 2 3 2

1 x 1 x 5
2 x 1 B) tan 1    log c
B) tan 1    tan 1 ( 2x)  c 2 2 2 5 x 5
3 2 3 2
1 x 1 x 5
2  x  1 C) tan 1    log c
C) tan 1    tan 1 ( 2x)  c 2 2 5 x 5
3  2 3 2
1 x 1 x 5
2 1  x  1 D) tan 1    log c
D) tan    tan 1 ( 2x)  c 2 2 5 x 5
3  2  3 2
2x 2   x  2 n  x  1 b 
x 2 520. If  (x 2
 1)(x  4)
2
dx  log  
  x  2   x  1  
c,
517. x 4
 5x 2  6
dx 
then
 

11 5 11  5
 x  1  x  A) a ,b B) a ,
A) 3 tan 1    2 tan  c 12 6 12 6
 3  2
11 5 11 5
C) a , D) a ,
 x  1  x  12 6 12 6
B) 3 tan 1    2 tan  c
 3  2
x2
521.  (x 2  1)(x 2  2) (x 2  3)
dx 
1  x  1  x 
C) tan 1    2 tan  c
3  3  2 1 1 3  x  1 x 2
A) cot x  cot 1    log c
6 10  3  15 2 x 2
1  x  1  x 
D) tan 1    2 tan  c
3  3  2 1 1 3  x  1 x 2
B) cot x  cot 1   log c
6 10  3  15 2 x 2
2x 2  1
518.  (x 2  4)(x 2  5)
dx  1 1 3 1  x  1 x 2
C) 6 tan x  10 cot   log c
 3  15 2 x 2

11  x  9 1  x 
A) tan 5    tan  2   c 1 1 3 1  x  1 x 2
2 5  5 5   D) 6 tan x  10 cot   log c
 3  15 2 x 2

11  x  9 1  x  dx
tan 5    tan  2   c
B)
2 5  5 5   522.  x (x 5
 1)


11  x  9 1  x  1 x5  1 1 x5
tan 5  A) log  c B) log c
C)   tan  2   c 5 x5 5 x5  1
5  5 5  

1 x5  1 5
11  x  9
5 1  x  C) 10 log  c D) 1 log x  c
D) tan    5 tan  2   c x 5
10 x 1
5
5  5  
 Integration 179

dx sin 2x
523.  x(x 6
 1)
 527.  (1  cos 2x)(2  cos 2x) dx 

1 x6 1 x6  1 1 1  cos 2x
A) log 6  c B) 6 log c A) log c
6 x 1 x6 2 2  cos 2x

1 2  cos 2x
x6 x6  1 B) log c
C) 6log  c D) 6log c 2 1  cos 2x
x6  1 x6

1 1  cos 2x
2x C) log c
524.  (x  2)(x 2  3)
2
dx  2 2  cos 2x

2  cos 2x
x2  2 x2  3 D) log c
A) 2log 2  c B) 2log 2 c 1  cos 2x
x 3 x 2

dx
x 22
x 3
2 528.  sin x (3  2cos x) 
C) log  c D) log c
x2  3 x2  2
1 1
A) log 1  cos x  log 1  cos x
x 10 2
525.  (x 2
 a )(x 2  b 2 )
2
dx 
2
 log 3  2cos x  c
5
1 x2  a2
A) log c
2(a 2  b2 ) x 2  b2
1 1
B) log 1  cos x  log 1  cos x
10 2
1 x 2  b2
B) log c
2(a 2  b2 ) x2  a2 2
 log 3  2cos x  c
5

1 x2  a2
C) log c 1 1
(a 2  b 2 ) x 2  b2 C) log 1  cos x  log 1  cos x
10 2

1 x 2  b2 2
D) log c  log 3  2cos x  c
a 2  b2 x2  a2 5

1 1
x2 D) log 1  cos x  log 1  cos x
526.  (x 3  1) (x 3  2)
dx  10 2

2
 log 3  2cos x  c
1 x 2 31 x 1 3
5
A) log 3  c B) 6 log x 3  2  c
6 x 1

1 x3  2 1 x3  1
C) 3 log  c D) 3 log c
x3  1 x3  2
 Integration 180

dx ex
529.  sin x  sin 2x
 531.  (1  e x ) (2  e x )
dx 

1 1
A) log 1  cos x  log 1  cos x 1  ex 2  ex
6 2 A) log c B) log c
2  ex 1  ex
2
 log 1  2cos x  c
3 1 1  ex 1 2  ex
C) log  c D) 2 log c
2 2  ex 1  ex
1 1
B) log 1  cos x  log 1  cos x
6 2 dx
532.  
x log x(2  log x)
2
 log 1  2cos x  c
3
1 2  log x
A) log c
1 1 2 log x
C) log 1  cos x  log 1  cos x
6 2
1 log x
2 B) log c
 log 1  2cos x  c 2 2  log x
3
1 2  log x
1 1 C) log c
D) log 1  cos x  log 1  cos x 4 log x
6 2

2 1 log x
 log 1  2cos x  c D) log c
3 4 2  log x

dy log x
530.  cos y  sin 2y  533.  x(1  log x) (2  log x) dx 
2 1 (2  log x) 2
A) log 1  2sin y  log 1  sin y A) log c
3 2 1  log x
1
 log 1  sin y  c 1  log x
6 B) log c
(2  log x) 2
2 1
B) log 1  2sin y  log 1  sin y
3 2 2  log x
C) log c
1  log x
1
 log 1  sin y  c
6
1  log x
D) log c
2 1 2  log x
C) log 1  2sin y  log 1  sin y
3 2
1  log x
1 534.  x (2  log x)(3  log x) dx 
 log 1  sin y  c
6
A) 2log |3 + logx| + log |2 + logx| + c
2 1 B) 2log |3 + logx| – log |2 + logx| + c
D) log 1  2sin y  log 1  sin y
3 2
C) log |3 + logx| + 2log |2 + logx| + c
1 D) log |3 + logx| – 2log |2 + logx| + c
 log 1  sin y  c
6
 Integration 181
Type - 2 3x  2
538.  (x  1) 2
(x  3)
dx 
5x 2  20x  6
535.  x 3  2x 2  x
dx 
11 5 11
A) log x  1   log x  3  c
4 2(x  1) 4
9
A) 6log x  log x  1  c 11 5 11
x 1 B) log x  1   log x  3  c
4 2(x  1) 4
9 11 5 11
B) 6log x  log x  1  c log x  1   log x  3  c
x 1 C) 4 2(x  1) 4

9 11 5 11
C) 6log x  log x  1  c D) log x  1   log x  3  c
x 1 4 2(x  1) 4

9 x2  1
D) 6log x  log x  1  c 539.  (x  1) 2
dx 
x 1
2
3x  2 A) x  2log x  1  c
536.  (x  2) 2 (x  3)
dx  x 1
2
B) x  2log x  1  c
x 1
x 3 8
A) 11 log  c 2
x2 x2 C) x  2log x  1  c
x 1
x 3 8 2
B) 11 log  c D) x  2log x  1  c
x2 x2 x 1
3x  1
x 3 8 540.  (x  2)2 dx 
C) 11 log  c
x2 x2
1
A) 3log x  2  c
x2
x 3 8
D) 11 log  c
x2 x2 1
B) 3log x  2  c
x2
3x  1 5
537.  (x  2) 2
(x  2)
dx  C) 3log x  2 
x2
c

5
5 7 5 D) 3log x  2  c
A) log x  2   log x  2  c x2
16 4(x  2) 16
2x  7
541.  (x  4) 2
dx 
5 7 5
B) log x  2   log x  2  c
16 4(x  2) 16 15
A) 4log x  4  c
x4
5 7 5 15
C) log x  2   log x  2  c B) 4log x  4  c
16 4(x  2) 16 x4
15
5 7 5 C) 2log x  4  c
D) log x  2   log x  2  c x4
16 4(x  2) 16
15
D) 2log x  4  c
x4
 Integration 182

x2  x 1 sin 2x
542.  (x  1)3
dx  545.  (3  2sin x) 2
dx 

3 3 1 3
A) log x  1   c A) log 3  2sin x  c
x  1 2(x  1)2 2 2(3  2sin x)

3 3 1 3
B) log x  1   c B) log 3  2sin x  c
x  1 2(x  1) 2 2 2(3  2sin x)

3 3 1 3
C) log x  1   c C) log 3  2sin x  c
x  1 2(x  1) 2 2 2(3  2sin x)

3 3 13 3
D) log x  1   c D) log 3  2sin x  c
x  1 2(x  1)2 2 2(3  2sin x)

(3sin x  2)cos x 8
543.  5  cos 2
x  4sin x
dx  546.  (x  2)(x 2
 4)
dx 

4 1 x
A) 3log sin x  2  c A) log x  2  log x 2  4  tan 1    c
sin x  2 2 2

4
B) 3log sin x  2  c 1 x
sin x  2 B) log x  2  log x 2  4  tan 1    c
2 2
2
C) 3log sin x  2  c
sin x  2 1 x
C) log x  2  log x 2  4  tan 1    c
2 2
2
D) 3log sin x  2  c
sin x  2 1 x
D) log x  2  log x 2  4  tan 1    c
2 2
tan x
544.  1  sin x dx 
5x 2
547.  (x  1)(x 2  4)
dx 
1 1  sin x 1
A) log  c
4 1  sin x 2(1  sin x)
x
A) log x  1  2log x 2  4  2 tan 1    c
2
1 1  sin x 1
B) log  c
4 1  sin x 2(1  sin x)
x
B) log x  1  2log x 2  4  2 tan 1    c
2
1 1  sin x 1
C) log  c
4 1  sin x 2(1  sin x)
x
C) log x  1  2log x 2  4  2 tan 1    c
2
1 1  sin x 1
D) log  c
4 1  sin x 2(1  sin x)
x
D) log x  1  2log x 2  4  2 tan 1    c
2
 Integration 183

x dx
548.  (x  1) (x 2
 1)
dx  552.  3

x (x  1)
2 4 4

1 1 1
A) log x  1  log x 2  1  tan 1 x  c 1
2 4 2 1  x4  1 4
A)  (x 4  1)  c B)
4  4   c
1 1 1  x 
B) log x  1  log x 2  1  tan 1 x  c
2 4 2 1
 x4  1 4 1
1 1 1 C)  4   c D) (x 4  1) 4  c
C) log x  1  log x 2  1  tan 1 x  c  x 
2 4 2

1 1 1 ex e x
D) log x  1  log x 2  1  tan 1 x  c 553. If I   dx, I   e4x  e2x  1 dx ,
2 4 2 e 4x  e 2x  1
then for arbitrary constants, J – I =
dx
549.  1 x  x 2
 x3

1 e4 x  e2x  1
A) log 4x c
2 e  e2x  1
1 1 1
A) log 1  x  log 1  x 2  tan 1 x  c
2 4 2 1 e 4x  e2x  1
B) log 4 x c
1 1 1 2 e  e 2x  1
B) log 1  x  log 1  x 2  tan 1 x  c
2 4 2
1 e2 x  e x  1
1 1 1 C) log 2x c
C) log 1  x  log 1  x 2  tan 1 x  c 2 e  ex  1
2 4 2

1 1 1 1 e 2x  e x  1
D) log 1  x  log 1  x 2  tan 1 x  c D) log 2 x c
2 4 2 2 e  ex  1

dx dx
550.  (x  1)2
(x 2  1)
 554.  1

(x  1) (x  2 )
3 5 4

1 1 1
A) log x  1   log x 2  1  c 1 1
2 2(x  1) 4 4  x 1 4 4  x 1 4
A)    c B)   c
3 x  2 3 x  2
1 1 1
B) log x  1   log x 2  1  c
2 2(x  1) 4 1 1
4  x 1 4 4  x 1 4
C)    c D)   c
1 1 1 3 x 2 3 x 3
C) log x  1   log x 2  1  c
2 2(x  1) 4
sin x  cos x
555.  sin (x  )
dx 
1 1 1
D) log x  1   log x 2  1  c
2 2(x  1) 4 A) (cos  – sin ) (x + ) + (cos  + sin )
log |sin (x – )| + c
 1  x  1x B) (cos  + sin ) (x – ) + (cos  – sin )
551. 
 1  x 
x
 e dx 
log |sin (x – )| + c
1 1
C) (cos  + sin ) (x – ) + (cos  – sin )
x x
A) (x  1) e x
 c B) xe x
c log |sin (x + )| + c
D) (cos  + sin ) (x – ) – (cos  – sin )
1
x x
1
log |sin (x + )| + c
C) (x  1)e x
 c D)  xe x
c