Lacririle Seminamiui de CRRALIVITATE MATEMATICA Vol (199-1999), 147-163 MATEMATICA CRASULUL Vasile TULBA, Endochia TULBA Uns din cele mai mari descoperi a geniuha! uman 2 fost si va riméne invengia ttispoztivufui de masarare a scurgeriétimpulai, numit ceas (ceasomnic). Din punct de vedere matematic. vom considera ¢a ceas eu minntar i orar, pe acel dispaat de fare a treceril timpului, la care, se produce cea mai micé ercare, inir-o perioada cata Indelungati. Pe un astfel de dispozitiv jl yoin muni eens matematic 1 condiutle funetionérii perfecte a unui ceas cu aritatoare, limp de 12 ore, se produc vizibil, urmiitoarele evenimente remarcabile a} Ia orcle 12 (sau zero) se realizeaza unghiul nul; 1} la ora 6 se renlizcazi unghiul alungit: ola orele 3 si 9 se realizeazd unghiuri drepte. th funetionarea ceasului, timp de 12 ore, astfel de eve Propunem fn aceasta Iuccare, si studiem: 1). cite evcnimente de tipul a), b} 51 ch exist’, fi) orcle-cxacte ta care se produc ele; sii) orcinca desfiguranii acestor evenimente; is) masurilé unghiurilor corespunzatoare flecirui eveniment, descris de orar Fespeciiv de minutar: ¥) Acgatura dintze unitatile de timp ji unitiile de are. Fonnulele ceasului corespunzitoare diversclor evenimente; i) misura unghiului format de mainutar gi oras Timpi complementari (ore complementare) Tnerarea euprinde: 1. Aritmetica ceasutui (partea carc se ocupi cu stabilirea oret exACtE a evenimentelor), 2. Geometria ceasului (partea care se oeupi eu: seabitirea misurti unghiului descris de orar respectiv de mimiiar, corespunzitoare fiscirm eveniment cu Poligoancle regulate formate corespunzitoare cvenimentelos precum gi proprietiile acesiora), 3° Algebra ceasului (ceasut ¢a madel matematic) 4. Trigonometria ceasului148 Se gtie =masnra cercului este egalé cu 360°; ~ in timp ce minutarul face 60 minute, orarul face 3 minute, adicié viteza minutarului este de 12 ori mai mare decat-viteza orarului, sea ~ jn timp ce minutarul descrie un unghi de rolafie cu masura de 360°, orarul deserie un unghi de rotajie de 30°, ~acele ceasornicului se migca invers seasului trigonometric; ~logatura dintre unitate de timp gi wnitaile de are ¥. Lmin = 6"; 2. 1h = 360"; F mumarud gradelor - 6°: numdral minutetor = 4°. We Lmin= 105; 5° mumarul gradelor 30! muenarul orelor ~ misura unghiului descris de orer: U,, -masura unghiului descris de minutar, UA (m,0)) ~ masura unghiului format de minutar gf orar; fh, ~ ora cxacté (Yormata din patea intreagé + partea fracyonara - exprimats in ore: fi, 1g" 6ta exaeld in momentul producerii evenimentulal i Up, ~misuraunghiului deseris de orar in momentul i; Uj, = mijsura unghiulai deseris de minutar in moment + ARITMETICA §T GEOMETRIA CEASULUI Axiomele ceasului ‘ALL. La ora 12 (sau zero) aratétoarele ceasului formeazi unghiul ul. A.2, La.ora 6 acele ceasului formeaza unghiul alungit ‘A3, Laorele 3 $i 9 acele ceasului formeaza inte ele unehiun drepte, Afititoarele sunt pe 12 (sau zero), se pomeste ceasul145 A. Unghiuri nule formate de ardtatoarcle ceasulul Tl. intimp de 12 ore ue fisctionare a ceasulut, arctdtoarele formeazs unghiul ned de 1¥ ort Demonstratie. [inand seama de A.{., urmitoarca suprapanere a acelor se va Produce in urmétoral context “In timp oe oraru} va parcurge x-minute (considerim ca punet de plecare din 12 Sau 2sro), minutarul trebuie si parcurg’. (x -60) minute sau in timp ¢2 orarl parcurge 1”, minutarul trebuie sd faca (y+ 360)? .* ‘Stim c& minutarut are viteza de 12 ont mai mare deoat orarul, putem cada enungul ‘in urmiitoarca schema Vachiiig gc2 reaulta proportia: oF Mita. (+60 ) in Acest rezultat (de 12/11 A) reprezinté timpul necesar pentru a se prohice primul ‘nghi nul, dupa pornitea ceasului. Folosmnd faptul ef lucrim cu un cess matematic, produocrea celorialte unghiuri nule se va‘faee, in mod periodic si la intervale cgale de timp Deci, numiiral nunror unghiurilor nule formate de acele ceasului, timp de 12 ore este: 12:12 411. died, timp de 12 b, doar de 11 oft acele ceasulai se suprapun 12. Oreie exncie ta care se produc unghiurele mule farmeazi o progresie arimeties eu ropa: r= 2 hea Demonstratie. Conform lui T.1., exist 1] unghiuri ule, deci: 2a etks min27 3 5; rT) i 1 6 A= 12h adicd 2-22 h2010min 54 1 1150 2g 2p 38y, 85, 804, 2p, By 2p nae ee ee Wn progresie aritmetica, “L3. Misurile unghiwrilor descrise de rat, earespunzitaare momenielor producerit wghturilor nude formeazd 0 progresie arlumeried cu rafic 360° i” Demonstrafie. Sa determina masura unghiului descris de orar corespunzator momentului t, Peuncan I 4 rezulta propria: ay 36, iar iru: pe icotplsig] OPE Pine . 1 aren tN aA formenzii o progresic aritmetica LA. Masurile unghiurilor descrise de minntar, corespanziitoarc momentelor producerii unghiurilor ule formeazk o progresie aritmelicd eu rata Demonstratie. Am vizut of 7.3, este propozitie adewirati, iar intre masura unghiului deseris de minular si mBsura unghiului descris de orar exist rlayia Uz 12a, wembd cd si TA este ca propazitic adevarata, adica sirul: oe ed zs oN 12-20? 34 2,45 399,20 Oo el Te eT eT formmeazi o progresic aritmetica. TS. Punctele de pe cadrwral ceasulut corespuncétoare realizarit unghiuritor nule, imap de 12 ore, formeazdan poligon regular cu 1 laturt aveind virful in sus in 12 sau A, pe care dnotim cuPyinde P, = AAgAry A, A ia~Aee i seare are ca axdide sinieme Pe AwA:ysk ‘Acest desen mated pozitia cclor 11 puncte deforma Ag, & T,1T unde se produc linghiure mule dinive arititearele ceasului. Unind gele 11 punete de pe cercul interior 36 -obting poligenul regulai P,. Diametrul ec comjine pe A,, este 0 axa de simhetric a poligonuluiP,. . Unghiuri alungite formate de acele ceasuli 1.6. Aratanarele coasedea, rinup de 12 ure, formeaza doar 1 unghiun atungite Demonstrajie. Se stic ca a ora 6, aritiLoarele ceasulul formeazd un unghi alungit (orarul este pe 6 iar minutarul pe 12) Pomim din aceasti pozitic cu T2vottamentul. Urmiitoarea situapic ca cele doua ace ale ceusului si fie in prelungire se va crea In urmatonil context: “In timp ce orani! parcurge x-iinute, minutarul trebuie si parcurga (+60) minute sau, in timp ce oral deserig wi arc de y", minutarul trebuic <4 faca (y +360)?" Frungel poate # tnendrat in umatourea schema Il ye | ae seam proponiy 1 = 8 min xmin 2... . (+360) min | x +360 WT iar (60) min =| + 60) min = 60 42 pain = 22 Ty, it 1 Oeci timpul necesar pentru producerea unui unghi elungit este de = 4 iar mumarul tuturor unghiurilor alungite, timp de 12 ore, este de: 12: a =u Tn, Grete exacte Ja care se produc aceste evenimente (poztfia arartiui) 22a £aae i VW formeazséo progresie aritmetied cu ragia: 1 Demoastratie. Sir: Bs : 2 h My formeaza © progresie aritmetied. T.8. Misurife unghturilor descrise de orar formeazé a progreste aritmetied cu152 yf s40° 900? 372° Demonsirati. Sir. ae. SM, AEA tormeas progres aritmetick T.9, Misurile unghiurlor descrise de mimutar formeaai 0 progresie ariemeticd emrapa 7212-30" , -12- lat gone i TAO, Pumetele de pe cadran corespuncatoare acestor evenimente formeazd un poligon regular P, cu 11 latur avdind vézful in jos (in 6 saw A,,) $f care are ca axa de simetic pe AyA;, unde P= A, AgA\ Ay Aeg T.Al, Ceasul are doar 17 perechi de puncte diamerral opuse. Cate 1m punct este wirf af poligonului P, iar celiladt purect diametral opus tui este vdrf ad pollganuleé Py ‘Exeeple de puncte diametril opus: A, CU Aggy Mg Cm Agy, Ayo CU Ayy ele. Peacest desen sunt 3 cereuri concentrice. Pe cereal interior sunt ayeeale puncisle de forma Aggy) &=T, TT unde se produc unghiarile alungite dintre aritAtoarele ceasului. Unind cele 11 puncte se obyine potigonul P,. Diametrul ce ‘coming pe A,,este avi de simetrie a lui P,, Pe eereul de razi mijlocie sunt varfurile poligomului F,. C. Unghiuri drepte formate de acele ceasului T.12. Ardtatoarele ceasulti formeazé doar 22 de unghiuri drepte, timp de [2 ore de fine icnare. Demoastratie. Se gtic cd la orcke 3 gi 9 ale ceasului se formeaza unghiuri drept Laaceste ore minutarul se afl pe 12 iar orarul este pe 3 sau pe 9. Pentru a determina timpul necesar producenii urmatorului unghi drept intre arititoarele ceasului, por sin 3 gi aplicarn urmatorul rapionameatIsa “In timp ce oraru! va face.x minute, minwarui trebuie sé faci (x30) minute sau in timp ce orarul descrie un unghi de ¥", minutarul descric un unghi de (y+ 180°) *. Aplicénd regula de tei simpli obginem: oD wi iar (+30) min =—h, Deci timpul necesar penini a se produee umAtorul uaghi 1 rep, dupa ora 3, este de z +. Muniitul tuturor unghiurilor drepte ce se formeazi, in imp de 12, este: 12 & TH, Orele exacte la care se produc aceste evenimente jormeazié 0 progresie arumeties ex raga: 6 Sh gf ao? A by fomenaiprogresieaniuneic, TI. Méierile wnghiurilor descrise de orar (oorespumzatoare eventmentelor) a wg n=22 formeazd o progresle aritmetioa cu rapa» 7 20° 270" 450° 3870? ee ag Oe Te qr a mena progresic: Demonstratie. Siru!: aritmetica. TALS. Mésurile unghiurilor descrise de minutar (corespancitoare evenimentelor) formeazé'a piragresie aritmeticd avind rapa rer Be in T.16, Punciete de pe cadramul ceasului eorespunzitoare acestar evenimente Sormeaca wn poitgon regulat P, cu 22 de laturt avaind ca axi de stmetrie pe A A;s ide Py= A AyAcest desen indici pozitia olor 22 de puncte de forma Ay, &-T,22 ‘onde ge produc unghiurile drepte dintre prititoarele ceasului. Unind cele 22 de ppunete se abjine potigonul F, cu 22 de latuni care are ca axd de simetrie pe AAs TI. Orele exacte la care se produc cele 44 de evenimente remarcabile, t1 functionarea ceavulut itmp de 12 ore, formeacd 0 progreste ariumeticd cu rajia Bing sOirgt 29 129, 132 AM, Sak a, hh hh ae ae non 1 a formeawii progresie aritmetic TAR, Puncicle ee pe caramel eedsului corespunsioare eelor 44 de evenimente remarcabile formenzd ui poligon regular P, cu 44 de laturi wade Mavurile wighiurtlor descrese de orar corespunzitoare calor 14 ¢le eventmente remarcabile farmeacd @ progresie avifmetic cu rapa: au iL F.20, Maswrite unghtwrior decrise de minutar corespnaiioare celor 44 de eventmeme formeazito progresie aritmelicd cu rafia: > 12 = saeryn ld D. Conetuzit ‘Am viizut ca, timp de 12 are, in functionaréa unui ecas s¢ produc, 11 unghiuri ule, 11 unghiuri alungite si 22 de unghiuri drepte, Deei exist 44 de evenimente remarcabile, ‘Analizind gi interpretind reaultatele objinute la paragrafele A, B si C am dedus formulele cu ajutoral cdrora putem exprima (descrie) aceste cvenimente, dupa cum wrrneaza LOra cxactit(h,) la care se produc unghinrile nule s¢ calculeazd cu formula: a h,155 ° = 308i, 8 i, = 120, Il. Ora exacti la care se pwede unghiurile alungite se caleuleaz3 cu formula: 4) & aka Dy a k=; ui, 30h. UL = 12 Uy TH. Ora exacti la care se produc unghiurile drepte se calculeaza eu formu h, (akan, OT 3) V. Orele exacte la care se produc eele 44 de cvenimente rernarcabile in ordinea desfigurint lor este dati de formule: 3 6) A, * 6) ir Oe ‘V, Ora exact la care se produce, inre aecle ceasului, unghiul cu masura de.2°, ne (0, 18D) se poate eaicula cu formulele: h(n) =4k pen lh 330 Aii(n) 24k +1) z hen qpheen unde AG) si 4/1) reprezinta orele exacte la care unghiul dintre acele ccnsului este ni”, Pentru orice n dat existé cfite 22 de solutii. Cu formulele (63, (7) si (8) se pot verifica ecle 44 de evenimente Fonmulele (1)-(8) le numim formutele ceasului E. Misura unghiutui dintre seele cexsului Exast doud situaui 1 Minutarul in fata oraruhi156 U(4 (m,0)) Pe{mum drut minutelor) ~30" (numairul orelor) = 6°(mumarul minutelor ~5-numdrul orelor) 2°. Orarul este In fata (inaintea) minutarului TA (m0) = 6°(S-riumdrul orelor - num.irul minurelor’) _Analizdnd cele doul situstii, ohservim 8 ele pol fi contopite int-o singurd formuli 51 anume: @) UA (ra )) = 6 | Soh, conde » teprezint& qumarul minutelor parcurse de mimutar. H, Timpi complementari (sau ore complementare) Definijie. Doi timpi (sau doua citiri de ceas) a cdror sum este egald cu 12 ore, Si numim timpi complementari (san ore complementare). 21. Daca dos tinpe sunt complementari ottetct masurile unghwurtlor diatre aratitoarele ceasului sun egelle. Demonstrajie. Fick! si!’ esi doi timpi_astfel teat: 60 atunci 12h ae =12-h) iar 2! (£m, O)}= 6 fe 551 5 iar UP C« (m0) - 6 | 60-x'-5(12-hf) | = 6°- | 5AL in final reanita a (4 (im) = UA (OY) Exemplu, Fie i) = 6° = 6h 50 mi =65h gi ails sie 12h, x! 30min157 deci U4 (m,O)) = UC (m,0)) ALGEBRA $1 TRIGONOMETRIA CEASULU Ceasului ca model matematic, i se asociazi eouaia: x - = care are 4d de solupii complexe. Fic a o ridicing, atumci a = cos a sysin = Imaginile acestor numere complexe sunt ccle 44 de puncte de diviztune in care am impirit eereu] cu raza 1. Ele Sunt vérfori pent poligonul regulat convex sau stetat eu 44 de Turi gi ca mumere formeazi fia de inmuljirea nummerclor complexe un grup G cu 44 de clemente, Argumentels numereior complexe din G si mulkimea rotaisilor de aceste nghiuri formeazii un grup R izomarf cu G, Toste notatile dio R reduc poligonul regulat (convex sm stclat) fn tiparul intial pesmuand-i doar vérfurile. Deci aceste oligoan sunt invariant fuji de grupul R. 2h 5 isin 2A cae E® a jain ER 5 x16, BEE isin BT cco 8 4 join Ey OG Fic ccuatia 05 ERE isin KE cos 2% isin AE 3 pT £92, x,,2c08 22% sygin Pentru k=0,,, cose sinO=1: 4,,; ora 3 43% gin 33% k=43 ,xy,-005 22 oy sin 3B pentru 70S SE HF SINE A KAI x,,=cos-Etisin Beal, 20 2 ora 12158 Cele 44 de evenimente sc desfiyoard, dupa parninea ceasului, in wondtoares ordine: unghi drept, unghi alungit, unghi drept, unghi nul st ciclut se reia ite remarcabile sunt frecute th tabel —159160 Explicitarea cétorva evenimente, Folosim notagiile de la pagina 148, Pent 1-1, abginem primul eveniment, de la pomirca ceasului, care este unghiul drepl he, = oa exact 90° _ 90° u, Biel a BO! af = masura unghiului descris de orar: oT oa° nu, sar 0! sa ~ masura unghiului deseris de minutar, vy p Seabsericd: Uh, -Up,=90 cei U,) Ulop=12Ua)-Uor Lg, 1s fp = 388 sin = 32 min 43 1 1 ceastlui. Ugg Upy = 180° Pentru #=3, obtinem: h = 2 pain = 49min 5 ee ee a ‘Acest timp reprezinta ora exact In care se produce al dailea ung drept de Ia pornisen 270° 32 . BP yes cvasulll ee - 212 21 - so40gnr43 2 V2otog = 12 SEE = 25409243WL gg ~ Ugg = 270" 5 360% — 270" = 90" | Pearu 14, obgnem: fy 4-2 put -Acest timp reprerinti ura exact la care 9¢ produce primul unghi nul, de la pornirea ceasului min = 143 min 27 s agar a x * peass5 2 smasura unghiului deseris de orar. o Ugg 12-U py - sora ~ masura unghiului descris de minutar Use ~ Uoy = 360" . Analog se expliviteazi si celelalte evenimente, MATEMATIC CEASTILUL Pe unm{orul desen sunt reprezente! spre ex,snior, 5 cercuri concentrice. Le discutim din = Pe cereal C, sunt ajezate punciele de forma Ay. k= T,1T unde se produe ture nile dire statonrele eeasulul ia siuMtercle insofitoare reprezint misura rphiulé deseris de orer, de 1a pornirea cess, + Pe corcul C. sunt puncte de forma Ay... TTT unde se produc tnghinrle alungite far numerele insoyitoare reprevint mAsura unghiului descris de orar = Pe cereul C, sunt punctele de fonna a, ,, &=T,22 unde se produc ‘unghiurile drepte iar numerele insexitoare reprezintd misura unghiului descris de orar, dela pomirea ceasului ~ Pe eercul exterior sunt cele 44 de puncte corespunziinare evenimentelor Femarcabile din functionarea unui eas, titip dé 12 ore iar numerele insotitoare reprezintd ora exacta la care se produce evenimentul Abardarea subiectului in mai multe moduri (aritmetic, geomemic, alecbsic gi trigonometric) justifica titlul prezentei lucrariTHE. MATHEMATICS OF THE CLOCK Abstract. One of the preatest discoveries of man was and will remain the invention of the deviee which measures the passing of time: the clock. We consider a clock with a minute hand and an hour band (this vartant produces the slightest error in the longest period) under the conditions of perfect functioning, and we call such a device mathematical clock. ‘Studying the position of the minute hand and hour hand, the following noticeable events will take place during 12 hours: a) At 12 o°clock (or zer9) the mull angle is ferrned. 'b) AL6 o'clock the long angle is formed. ¢) At3 and 9 o°clock right angles are formed ‘During twelve hours this kind of events happen not only once ‘Our paper’s aim is to study: iy How many events of the types” a), b), and o) exist. ii) The exact hours they happen at iii) The onder these events happen in. jv) The measure of the angle which correspands to each event, described by the hour hand and the minute hand respectively: v) Relations between the time units and the are units. The formnlac of the clack, corresponding to different events, +vi) The measure of the angle between the minute hand and the hour hand. We arganized cur paper as follows: The Arithmetics of the Clock, The Geometry of the Clock, The Algebra of the Closk; The Trigonometry of the Clock. Primit; 01.04.1999 Scoala Generalé Nr.6 Baia Mare