Question Bank

Unit: Laplace Transform

Q. Find the Laplace transform of following functions
3  1   
1) 1  2 t   Ans : 
  3
t  s s3/ 2 s 

 1 4 
2) (sin 2t  cos 2t ) 2  Ans :  2 
 s s  42 

 1 1 s 
3) cosh 2 4t  Ans :   2  
 2  s s  64 

 1 
4) erf t  Ans : 
 s s 1 

5) f (t )  t 2 0t 2
 t 1 2t 3


2 e 2 s
 Ans : 
3 3
2 3s  3s 2
 
e 3s
2
5 s  1



7 t 3  s s s 

  
6) e 3t t 1 / 2  Ans :

 s  3 

 
 Ans : s  1 
2
7)(t  1) e 2 t

 s  13 
 a ( s 2  2a 2 ) 
8) cos at sinh at  Ans : 
 s  4a 
4 4 

   
9) e 4t sin 2t cos t  Ans : 1  3

1
 
 2  ( s  4)  9 ( s  4)  1 
2 2


  2( s  2) s2 
10) e 2t sin 4 t  Ans : 1  3    

 4  2( s  2) ( s  2)  2
2 2

2 ( s  2) 2  4 2 


cos 2t sin t  s 2  2s  2 
 Ans : 
  
11)
et  s 2  2s  10 s 2  2s  2 
 

1  sin 4t  s4 
12)  Ans : 2 
e 2t  s  4s  8 

13) cosh t sin 4t cos t

1 5 3 5 3 
Ans :     
4  ( s  1) 2  25 ( s  1) 2  3 2 ( s  1) 2  25 ( s  1) 2  3 2 

 2 
14) t (2 sin 3t  3 cos 3t )  Ans : 3(9  4s  s 

 s2  9 
2




  
 Ans :  cos  (s   )  sin  . 2s  
2 2
15) t cos(t   )


 
s2  2
2
  


 
 Ans : 2( s  6s  9s  2 
3 2
2 3t
16) t e sin 2t

  s 2  4s  5
3




 6 
17) (1  t e t ) 3  Ans : 1 

3

6

 s s  12 s  23 s  34 

cosh 2t sin 2t   s  2 1  s  2  
18)  Ans :   tan 1    tan   
t   2   2 
 1

19) e t sin 3 t
t

20) t 1e t sin t Ans : cot 1
( s  1) 
 1  cos t   1 1 2 
21)    Ans : cot s  s log(1  s ) 
 t2   2 

22) Given f (t )  t  1 0  t  2
find L{ f (t )}, L{ f ' (t )}, L{ f ' ' (t )}.
3 t2

 1 1
 Ans :   2 1  e 2 s ,  1s 1  e , e 
2 s 2 s

 s s    

 4s 2 
23) t sin 2t 
d  Ans : 
dt 
 
s 2  22 2 

t
 6( s  2) 
24)  u e 2u sin 3u du  Ans : 
 2 
s( s  4s  13) 
2
0 
t
1 1 / 2 u  1 
25)

u e du  Ans :
 s s  1


0

t
26)  e t cos t dt  s 1 
 Ans : 
 2
  
0  s ( s 2 s 2) 
Q. Evaluate the following integrals.

1)  e 2t sin 3 t dt  6
 Ans : 
0  65 

 3
t sin t
2)  et dt  Ans : 0
0


cos 6t  cos 4t  2
3)  dt  Ans : log 
0
t  3


sinh t  
4)  e 2t dt 1
 Ans : log 3 
0
t  2 


5)  e  2t sinh t sin t  
dt  Ans : 
0
t  8

  t sin u 
6)  e  t
du  dt  
 Ans : 
0  0 u   4

1 1/ s
find L{e t f (3t )}
 e 3 / s 1 
Q. if L{ f (t )}  e  Ans :



s  s  1 


3  
Q. if  e 2t sin( t   ) cos(t   ) dt  find   Ans : 
0
8  4
 if LJ 0 (t ) 
1
Q prove that
1 s 2

a) L t.J 0 (at ) 
s
s 2
 a2 3/ 2


3
b)  t.e 3t J 0 (4t ) dt 
0
125

Inverse Laplace Transform

Q. Find the inverse Laplace Transform of the following
functions.
4s  15  1 5t 3 5t 
1)  Ans : cosh  sinh 
16 s 2  25  4 4 4 4

3( s 2  1) 2  3 3 2 1 4
2)  Ans :  t  t 
2s 5
 2 2 16 

1  1 
3)  Ans : e 3t / 2 
2s  3  2t 

 1  4(t  2) 
e 2 s  Ans : f (t )  e sin 3(t  2) t  2 
4)  3 
s 2  8s  25    
 0 t 2 

5)
4s  12
s  8s  16
2
Ans : 4e  4t
(1  t ) 
 s 1   
6)  Ans : 1 e t / 2  3 cos 3 t  sin 3 t  
s  s 1
2   2  
 3  2

s 1  1 3  2t 
7)  Ans :   e 
s 2  2s  2 2 

1  1 1 t 1 2t 1 3t 
8)  Ans :  e  e  e 
s( s  1)( s  2)( s  3)  6 2 2 6 

s 2  10 s  13  3 2t 2 7 t 
 Ans : 2e  e  e 
9) 3t
( s  7)( s  5s  6)
2
 5 5 

1  2  at at / 2  3at  
10)  Ans : a e  e  cos
3at
 3 sin 
s3  a3    
 3   2 2  

s2  6  
 Ans : 5 sin t  sin 2t 
1
11)
( s 2  1)( s 2  4)  3 

12)
4s  5
( s  1) ( s  2)
2
 4 t
  2t t 
 Ans : e  e  6te  
 9 

s4  2 t 3 1 
13)  Ans : 1  e  cos 2t  sin 2t 
s( s  1)( s 2  4)  5 5 5 

5s  3  t 3 t 
 Ans : e  e cos 2t  e sin 2t 
t
14)
( s  1)( s  2s  5)
2
 2 

s  2 3 t
15)  Ans : sin t sinh 
s4  s2 1  2 
 3 2

s   4 5 
16)  Ans : e 2t  t  2 t  
( s  2) 6  5!  
  4!
Q. Find the inverse Laplace Transform of the following
functions using Convolution Theorem.
1  1 
1)  Ans : 2 (1  cos at ) 
s( s  a )
2 2
 a 

1  1 2t  2t  2t 
2)  Ans : (e  e  4te ) 
( s  2)( s  2) 2
 16 

s2  1 
3)  Ans : (sin 3t  3t cos 3t ) 
( s  9)
2 2
 6 
s  1 
4)  Ans : (cos t  cos 2t 
( s  4)( s  1)
2 2
 3 

1  e 2t  1  
5)  Ans : sin 3t  t cos t
( s 2  4s  13) 2 
 18  3  


1  1 t 1 1 
6)  Ans : e  sin 2t  cos 2t 
( s  1)( s  4) 2
 5 10 5 

Q.Using Laplace Transform solve the following

differential equation with given conditions
d2y dy
1) 2
  sin 2t y (0)  y ' (0)  0
dt dt

 1 1 2 1 2 t 
 Ans :  cos 2t  sin 2t  cos 2t   e 
 2 5 5 2 5 

 t2 
2) y ' '2 y ' y  e t
y (0)  2, y ' (0)  1  Ans : y  e t (2  3t  

 2 
3) ( D 2  2 D  2) X  0 X (0)  X ' (0)  1 Ans : e t
cos t 
4) y ' ' (t )  y (t )  t y (0)  1, y ' (0)  2  Ans : t  3 sin t  cos t 

5) D 3  2 D 2  5 D y  0  y (0)  y ' (0)  0, y ' ' (0)  1

 1 1 t 1 t 
 Ans : y   e cos 2t  e sin 2t 
 5 5 10 

 
6) D 2  2 D  1 y  3te t
 t 1 3 
y (0)  4, y ' (0)  2  Ans : y  e (4  6t  t ) 
 2 

dy t
 1 1  2 t t 
7)  3 y  2 ydt  t with y  0 at t  0  Ans : y   e e 
dt 0  2 2 

Q. Find the Laplace Transform of the following functions .

1) f (t )  sin t 0  t   /  2
and f (t )  f  t  
0  /   t  2 /    

  
 Ans : 

  
s   1  e  s / 
2 2
 


2) f (t )  1 0  t  a
and f (t )  f t  2a 
 1 a  t  2a

 1  e  as 
 Ans : 
  as 
s(1  e ) 


3) f (t )  t 0t 
and f (t )  f t  2 
   t   t  2

 1  e s (1  s) 
 Ans : 
 2
 s 
 s (1 e ) 
4) f (t )  t 2 0  t  2, f (t ) is periodic function with period 2.

 2 1 1 2 s 2 2 s 2 2 s  
 Ans : 2 s  3
 e  e  2 e  
 1 e s s 3
s s 

2t
5) f (t )  0t 3 f (t )  f (t  3).
3


 Ans :

2
3s
3s (1  e )
2

1  e 3s  3se 3s 
 

 2e  s 
6) (t  1) 2 H (t  1)  Ans : 
 s3 
 

 e 2( s  3) 
7) e 3t H (t  2)  Ans : 
 s  3 


8) t 4 H (t  2)  t 2 (t  2)

  16 32 48 48 42  
 Ans : e 2 s 4   2  3  4  5  
  s s s s s 

sin t
8) (t 2  3t  2) H (t  1)   (t  3)
t

 6 5 2  sin 3 3s 
 Ans : e s   2  3   e 
 s s s  3 
Q. Find the Inverse Laplace Transform of the following
functions
e s  1 
1)  Ans : sin 2t.H (t   ) 
s 42
 2 

e 2 s  e 5(t 2) 1 / 2 
2)  Ans : (t  2) .H (t  2) 
s5   
 

e 3s  e (t 3) 
3) 2  Ans : sin 2(t  3)t .H (t  3) 
s  2s  5  2 
 

es
4)
( s  1)( s  2)
Ans : e 2(t 1)

 e (t 1) H (t  1) 
se  s / 2  e  s
5)  Ans : H (t  1 / 2)  H (t  1)sin t 
s2   2

Q. Evaluate

1)  cos 2`t  (t   / 3)dt  1
 Ans :  
0  2


2)  e t H (t  a)dt Ans : e 
a



Q. Express the following function in terms of Heaviside unit step

function and hence find its Laplace Transform.
f (t )  cos t
 sin t
0t 
t 

 Ans : 2

1
s 1
 
s  ( s  1)e s 

