286 Indefinite Integral

Properties of Integration, fundamental Integration formulae

Basic Level

1.
 sec x dx  [MP PET 1988,95; Rajasthan PET 1996]

 x   
(a) log tan     c (b) log(sec x  tan x )  c (c) log   x   c (d) log(sec x  tan c)  c
4 2 4 

2.
 5 sin x dx  [MP PET 1988]

(a) 5 cos x  c (b) 5 cos x  c (c) 5 sin x  c (d) 5 sin x  c

 (sec x  tan x) dx 
2
3. [MP PET 1987, 92]

1
(a) 2(sec x  tan x )  x  c (b) (sec x  tan x )3  c (c) sec x (sec x  tan x )  c (d) 2(sec x  tan x )  c
3

 cosec
2
4. x dx is equal to [MP PET 1999]

(a) cot x  C (b) cot x  C (c) tan 2 x  C (d)  cot 2 x  C

5.
 sec x tan x dx  [Rajasthan PET 2003]

(a) sec x  tan x  C (b) sec x  C (c) tan x  C (d)  sec x  C

sin x  cos x
6.
 1  sin 2 x
dx  [MP PET 1990]

(a) sin x  c (b) cos x  c (c) x  c (d) x 2  c

 (3cosec
2
7. x  2 sin 3 x ) dx  [AI CBSE 1981]

2  2  2
(a) 3 cot x  cos 3 x  c (b)   3 cot x  cos 3 x   c (c) 3 cot x  cos 3 x  c (d) None of these
3  3  3

1  cos 2 x
8.
 sin 2 x
dx  [MP PET 1993; Ranchi BIT 1982]

(a)  cot x  2 x  c (b) 2 cot x  2 x  c (c) 2 cot x  x  c (d) 2 cot x  x  c

9. The value of
 cot x dx is [Rajasthan PET 1995]

(a) log cos x  c (b) log tan x  c (c) log sin x  c (d) log sec x  c
1
10. The value of
 (x  5) 2
dx is

1 1 2
(a) c (b)  c (c) c (d)  2(x  5)3  c
x 5 x 5 (x  5)3
 Indefinite Integral 287

x2
11.
x 2
4
dx equals to [Rajasthan PET 2001]

(a) x  2 tan 1 (x / 2)  c (b) x  2 tan 1 (x / 2)  c (c) x  4 tan 1 (x / 2)  c (d) x  4 tan 1 (x / 2)  c

x
2
12. sec x 3 dx  [MNR 1986; Roorkee

1975]
1
(a) log(sec x 3  tan x 3 ) (b) 3(sec x 3  tan x 3 ) (c) log(sec x 3  tan x 3 ) (d) None of these
3
cos 2 x  1
13.
 cos 2 x  1 dx  [MP PET 2000]

(a) tan x  x  c (b) x  tan x  c (c) x  tan x  c (d)  x  cot x  c

 sin
1
14. (cos x)dx 

x x 2 x  x 2 x  x 2
(a) (b) (c) (d)
2 2 2 2

 (sin
1
15. x  cos 1 x ) dx  [MP PET 1990]

1 
(a) x  c (b) x (sin 1 x  cos 1 x )  c (c) x (cos 1 x  sin 1 x )  c (d) x c
2 2

x (tan 1 x  cot 1 x ) dx 
51
16. [MP PET 1991]

x 52 x 52
(a) (tan 1 x  cot 1 x )  c (b) (tan 1 x  cot 1 x )  c
52 52

x 52  x 52 
(c)  c (d)  c
104 2 52 2
1
17. The value of
x 4
dx is [Rajasthan PET 1995]

1 1 1 1
(a) c (b) c (c) c (d)  c
 3x 3 3x 3  4x3 3x 3

 a dx 
x
18. [Rajasthan PET 2003]

ax
(a) C (b) a x log a  C (c) log a  c (d) a x  C
log a

 a da 
x
19. [MP PET 1994, 96]

ax ax
(a) C (b) a x log e a  C (c) C (d) None of these
log e a x 1

 13
x
20. dx = [Kerala (Engg.) 2002]

13 x
(a) C (b) 13 x 1  C (c) 14 x  C (d) 14 x 1  C
log 13

e
x log a
21. . e x dx is equal to

(ae ) x ex
(a) (ae) x (b) (c) (d) None of these
log( ae ) 1  log a
288 Indefinite Integral

a
3 x 3
22. dx  [Roorkee 1977]

a 3 x 3 a 3 x 3
(a) c (b) c (c) a 3 x  3 log a  c (d) 3 a 3 x  3 log a  c
log a 3 log a

e
log(sin x)
23. dx  [MP PET 1995]

(a) sin x  c (b) cos x  c (c) e log cos x  c (d) None of these

e
m log x
24. The value of dx is

x m 1 e m log x em em
(a) k (b) k (c) k (d) k
m 1 m log x x

e 5 log x  e 4 log x
25.
 e 3 log x  e 2 log x
dx  [MNR 1985]

x3
(a) e . 3 3 x  c (b) e 3 log x  c (c) c (d) None of these
3
1 5
26. If f ' (x )   x and f (1)  , then f (x ) 
x 2
x2 x2 x2 x2
(a) log x  2 (b) log x  1 (c) log x  2 (d) log x  1
2 2 2 2

27.
 1  sin x dx  [MP PET 1995]

1 x x 1 x x
(a)  sin  cos   c (b)  sin  cos   c (c) 2 1  sin x  c (d)  2 1  sin x  c
2 2 2 2 2 2

x
28.
 1  sin
2
dx  [IIT 1980; MP PET 1989]

1 x x  x x  x x  x x
(a)  cos  sin   c (b) 4  cos  sin   c (c) 4  sin  cos   c (d) 4  sin  cos   c
4 4 4  4 4  4 4  4 4

29.
 1  sin 2 x dx  .......... ......, x  (0,  / 4 ) [MP PET 1987]

(a)  sin x  cos x (b) sin x  cos x (c) tan x  sec x (d) sin x  cos x
dx
30.
 1  sin x
 [MP PET 1991]

(a) x  cos x  c (b) 1  sin x  c (c) sec x  tan x  c (d) sec x  tan x  c
cos x  1
31.
 cos x  1 dx  [MP PET 1989, 92]

x 1 x 1 x x
(a) 2 tan x c (b) tan  x  c (c) x  tan  c (d) x  2 tan c
2 2 2 2 2 2

32.
 1  cos x dx equals [Rajasthan PET 1996]

x x x x
(a) 2 2 sin c (b)  2 2 sin c (c)  2 2 cos c (d) 2 2 cos c
2 2 2 2
dx
33.
 x  x 2
 [MP PET 1990]

(a)
1 3/2
3
x 
 (x  2)3 / 2  c  (b)
3

2 3/2
x 
 (x  2)3 / 2  c (c)
1
3
 
(x  2)3 / 2  x 3 / 2  c (d)
2
3
 
(x  2)3 / 2  x 3 / 2  c
 Indefinite Integral 289
dx
34.
 x a  x b
 [AISSE 1989]

(a)
2
3(b  a)

(x  a)3 / 2  (x  b)3 / 2  c (b)
2
3(a  b)
 
(x  a)3 / 2  (x  b)3 / 2  c

(c)
2
3(a  b)

(x  a)3 / 2  (x  b)3 / 2  c (d) None of these

3x3  2 x
35.
 x
dx  [Roorkee 1976]

(a) x 3  x  c (b) x 3  x  c (c) x 3  2 x  c (d) x 3  4 x  c

5(x 6  1)
36.
 x2 1
dx 

5 3
(a) 5(x 7  x ) tan 1 x  c (b) x 5  x  5x  c
3

(c) 3 x 4  5 x 2  15 x  c (d) 5 tan 1 (x 2  1)  log( x 2  1)  c

dx
37.
 tan x  cot x  [MP PET 1991]

cos 2 x sin 2 x sin 2 x cos 2 x

(a) c (b) c (c)  c (d)  c
4 4 4 4

 1
38.
  2 sin x  x  dx is equal to [MP PET 1999]

1 1
(a) 2 cos x  log x  C (b) 2 cos x  log x  C (c)  2 sin x  C (d)  2 cos x  C
x2 x2

39.
 sin 2 x cos 3 x dx  [Roorkee 1976]

1 1  1 1  1 1
(a)  cos x  cos 5 x   c (b)  cos x  cos 5 x   c (c) cos x  cos 5 x  c (d) cos x  cos 5 x  c
2 5  2  5  5 5

1
40. If
 (sin 2 x  cos 2 x)dx  2
sin(2 x  a)  b, then [Roorkee 1978; MP PET 2001]

  5 5
(a) a  ,b  0 (b) a   ,b  0 (c) a  , b  any constant (d) a   , b  any constant
4 4 4 4
1
41. If
 (sin 2 x  cos 2 x ) dx  2
sin(2 x  c)  a, then the value of a and c is [Roorkee 1978]

  
(a) c  and a  k (an arbitrary constant) (b) c   and a 
4 4 2

(c) c  and a is an arbitrary constant (d) None of these
2
cos 8 x
42. If
 sin 5 x cos 3 x dx   16
 A, then A= [MP PET 1992]

sin 2 x cos 2 x
(a)  constant (b)   constant (c) Constant (d) None of these
16 4

43. If
 2 1  sin x dx  4 cos(ax  b)  C then the value of (a,b) is [UPSEAT 2002]

1  
(a) , (b) 1, (c) 1,1 (d) None of these
2 4 2
290 Indefinite Integral
sin x  cosec x
44.
 tan x
dx 

(a) sin x  cosec x  c (b) cosec x  sin x  c (c) log tan x  c (d) log cot x  c
1
45.
 1  sin x
dx  [Rajasthan PET 1996]

 x  1  x   x  1  x 
(a) 2 2 log tan     c (b) log tan     c (c) 2 log tan     c (d) log tan     c
8 4 2 8 4 8 4 2 2 8 4

sin 2 x  cos 2 x
46.
 sin 2 x cos 2 x
dx  [MP PET 1996]

(a) tan x  cot x  c (b) tan x  cosec x  c (c)  tan x  cot x  c (d) tan x  sec x  c
1  tan x
47.
 1  tan x dx  [MP PET 1994]

     
(a) log sec   x   c (b) log cos   x   c (c) log sin  x   c (d) None of these
4  4  4 
cos 2 x
48.
 cos x dx is equal to [Rajasthan PET 1991]

(a) 2 sin x  log(sec x  tan x )  c (b) 2 sin x  log(sec x  tan x )  c

(c) 2 sin x  log(sec x  tan x )  c (d) 2 sin x  log(sec x  tan x )  c

(1  x )3
49.
 x
dx equals [Rajasthan PET 1990]

2 7/2 6 5/2 2 7/2

(a) x  x  2x 3 / 2  2x 1/ 2  c (b) x  2x 5 / 2  6 x 3 / 2  2x1 / 2  c
7 5 5
2 7/2 6 5/2
(c) x  x  2x 3 / 2  2x1 / 2  c (d) None of these
7 5
dx
50.
 9x 2
4


1 3x  2 1 3x  2 1 3x  2 1 3x  2
(a) log c (b) log c (c) log c (d) log c
12 3x  2 6 3x  2 12 3x  2 6 3x  2
dx
51.
a 2
 x2
is equal to [DCE 2002]

1 x 1 ax  1 a x  1 ax 

(a) tan 1   (b) sin  (c) log   (d) log  
a a 2a  a  x  2a ax  2a a x 

52.
 x 2  a 2 dx is equal to [Rajasthan PET 2001]

x a2 x a2
(a) x 2  a2  log {x  x 2  a 2 }  C (b) x 2  a2  log {x  x 2  a 2 }  C
2 2 2 2
x a2 x a2
(c) x 2  a2  log {x  x 2  a 2 }  C (d) x 2  a2  log {x  x 2  a 2 }  C
2 2 2 2
dx
53.
 4x 2
9
= [MP PET 1991; Roorkee 1977; MNR 1974]

1  2x  3  2x  1  2x  1  3x 
(a) tan 1  c (b) tan 1  c (c) tan 1  c (d) tan 1  c
2  3  2  3  6  3  6  2 

54.
 (x  a)(x  b)(x  c)......... .(x  z)dx is equal to

(a) Constant (b) 5c  5d  x (c) 0 (d) None of these

 Indefinite Integral 291

55. If f ' (x )  x and f (1)  2, then f (x ) 

3 2
(a) x 2 (b) x x  2 (c) ( x x  2) (d) ( x x  2)
2 3

x then f (m 1) x  0, where

m 1
56. If f (x )  dx

(a) m is a negatve integer (b) m 0 (c) m is not an integer (d)

57. A primitive of | x |, when x  0 is [SCRA 1999]

1 2 1 2
(a) x c (b) x c (c) x  c (d)  x  c
2 2
cosec   cot 
58.
 cosec   cot  d 
(a) 2cosec   2 cot     c (b) 2 cosec   2 cot     c (c) 2 cosec   2 cot     c (d) None of these

 (e
a log x
59.  e x log a ) dx 

ax x a1 x a1 ax
(a) x a1  c (b)  a x log a  c (c)  c (d) None of these
log a a 1 a  1 log a
dx
60.
 4 cos 3
2 x  3 cos 2 x


1 1
(a) log sec 6 x  tan 6 x   c (b) log sec 6 x  tan 6 x   c (c) log sec 6 x  tan 6 x   c (d) None of these
3 6

Advance Level

dx
61.
 sin 2
x cos 2 x
 [Roorkee1976; Rajasthan PET 1991]

(a) tan x  cot x  c (b) cot x  tan x  c (c) tan x  cot x  c (d) None of these
cos 2 x  cos 2
62.
 cos x  cos 
dx  [MP PET 1994]

(a) 2[sin x  x cos  ]  c (b) 2[sin x  sin  ]  c (c) 2[ sin x  x cos  ] + c (d) 2[sin x  sin  ]  c
8 8
sin x  cos x
63.
 1  2 sin 2
x cos 2 x
dx  [IIT 1986]

1 1
(a) sin 2 x  c (b)  sin 2 x  c (c) sin 2 x  c (d)  sin 2 x  c
2 2

64. 1  2 tan x (tan x  sec x )1 / 2 [Roorkee 1987]

(a) log(sec x  tan x )  c (b) log(sec x  tan x )1 / 2  c (c) log sec x (sec x  tan x )  c (d) None of these
cos 4 x  1
65. If
 cot x  tan x dx  A cos 4 x  B, then
1 1 1
(a) A  (b) A  (c) A  (d) None of these
2 8 4
1/2
 dx  2  dy  2 
66. If x  f "(t) cos t  f ' (t) sin t, y   f "(t) sin t  f ' (t) cos t, then
      
 dt   dt  
dt is equal to [SCRA 1999]

(a) f ' (t)  f "(t)  c (b) f "(t)  f ' "(t)  c (c) f (t)  f "(t)  c (d) f ' (t)  f "(t)  c
292 Indefinite Integral
67. If f (0 )  f ' (0 ) = 0 and f  (x )  tan 2 x then f (x ) is

1 2 1 2 1 2
(a) log sec x  x (b) log cos x  x (c) log sec x  x (d) None of these
2 2 2
cos 2 x
68.
 (sin x  cos x ) 2
dx is equal to

1
(a) C (b) log(sin x  cos x )  C (c) log(sin x  cos x )  C (d) log(sin x  cos x )2  C
sin x  cos x

cos 4 x x
69. If
 2
sin x
dx  A cot x  b sin 2 x  C  D, then
2
(a) A  2 (b) B  1 / 4 (c) C  3 (d) None of these
tan x
70.
 sec x  tan x dx 
(a) sec x  tan x  x  c (b) sec x  tan x  x  c (c) sec x  tan x  x  c (d)  sec x  tan x  x  c

Integration by substitution

Basic Level

x
71. A primitive of is [SCRA 1996]
x2 1

log e (x 2  1) 1
(a) log e (x 2  1) (b) x tan 1 x (c) (d) x tan 1 x
2 2

x3
72. The value of
 1  x4
dx is [SCRA 1996]

1 1
(a) (1  x 4 )1 / 2  c (b)  (1  x 4 )1 / 2  c (c) (1  x 4 )1 / 2  c (d)  (1  x 4 )1 / 2  c
2 2

1 x
73.
 1x
dx  [Rajasthan PET 2002]

(a)  sin1 x  1  x 2  c (b) sin1 x  1  x 2  c (c) sin1 x  1  x 2  c (d)  sin1 x  x 2  1  c

x
x
74. (1  log x )dx is equal to

1
(a) x x (b) x 2 x (c) x x log x (d) (1  log x ) 2
2

(x  1)(x  log x )2
75.
 x
dx  [AI CBSE 1986]

1 1 1
(a) (x  log x )  c (b) (x  log x ) 2  c (c) (x  log x ) 3  c (d) None of these
3 3 3

x2 1
76.
 x (x 2  1)
dx is equal to [MP PET 1999]

x2 1 x2 1 x x
(a) log C (b)  log C (c) log C (d)  log C
x x x2 1 x2 1
 Indefinite Integral 293
1
77.
 x (x2 4
 1)3 / 4
dx  [IIT 1984; Rajasthan PET 2000; UPSEAT 2001]

4 4
(x  1)3 / 4
(x 4  1)1 / 4 (x 4  1)1 / 4 3 (x 4  1)3 / 4 3
(a) c (b)  c (c) c (d) c
x x 4 x x

 x cos x
2
78. dx is equal to [MP PET 1999]

1 1 1 1
(a)  sin 2 x  C (b) sin 2 x  C (c)  sin x 2  C (d) sin x 2  C
2 2 2 2

e
x
79. cosec 2 (2e  x  5) dx  [AISSE 1988]

1 1
(a) cot(2e  x  5)  c (b)  cot(2e  x  5)  c (c) 2 cot(2e  x  5)  c (d)  2 cot(2e  x  5)  c
2 2
1  tan x
80.
 x  log sec x dx  [AI CBSE 1986]

(a) log( x  log sec x )  c (b)  log( x  log sec x )  c (c) log( x  log sec x )  c (d) None of these
3
x
81.
 x2  2
dx 

1 2 1 2
(a) (x  2)3 / 2  2(x 2  2)1 / 2  c (b) (x  2)3 / 2  2(x 2  2)1 / 2  c
3 3
1 2 1 2
(c) (x  2)3 / 2  (x 2  2)1 / 2  c (d) (x  2)3 / 2  (x 2  2)1 / 2  c
3 3

x
3
82. 3  5 x 4 dx  [DSSE 1982]

1 1
(a) (3  5 x 4 )3 / 2  c (b) (3  5 x 4 )3 / 2  c (c) (3  5 x 4 )3 / 2  c (d) None of these
5 30

 sin
2
83. x cos x dx is equal to [SCRA 1996]

cos 2 x sin 2 x sin 3 x cos 2 x

(a) (b) (c) (d) 
2 3 3 2
(1  log x )2
84.
 x
dx  [Roorkee1977]

1
(a) (1  log x )3  c (b) 3(1  log x )3  c (c) (1  log x )3  c (d) None of these
3
sin x dx
85.
 (a  b cos x ) 2


1 1 1
(a) (a  b cos x )  c (b) c (c) log( a  b cos x )  c (d) None of these
b b(a  b cos x ) b

 cos (ax  b) sin(ax  b) dx 

2
86. [DSSE 1979]

cos 3 (ax  b) cos 3 (ax  b) sin 3 (ax  b) sin 3 (ax  b)

(a)  c (b) c (c) c (d)  c
3a 3a 3a 3a
1  tan 2 x
87.
 1  tan 2 x
dx equals to [Rajasthan PET 2001]

 1  tan x   1  tan x  1  1  tan x  1  1  tan x 

(a) log  C (b) log  C (c) log  C (d) log  C
 1  tan x   1  tan x  2  1  tan x  2  1  tan x 
294 Indefinite Integral
x
a
88.
 x
dx  [Roorkee 1990; MP PET 2001]

x x x x
(a) 2a log e a  c (b) 2a log a e  c (c) 2a log 10 a  c (d) 2a log a 10  c

t
89.
e 3t2
dt  [MP PET 1997]

1 3t2 1 3t2 1  3t2 1 3t2

(a) e c (b)  e c (c) e c (d)  e c
6 6 6 6

 xe
x2
90. dx  [SCRA 1996; Rajasthan PET 2003]

2 2
ex ex ex ex
(a)  C (b) C (c) C (d)  C
2 2 2 2

e
x
91. dx is equal to [MP PET 1988]

x 1 x x x
(a) e A (b) e A (c) 2( x  1)e A (d) 2( x  1)e A
2
(A is an arbitrary constant)
x
e
92.
 x
dx  [DCE 1999]

x
x e x x
(a) e (b) (c) 2 e (d) xe
2
a dx
93.
 b  ce x
 [MP PET 1988; BIT Ranchi

1978]

a  ex  a  b  ce x  b  ex  b  b  ce x 
(a) log  x 
k (b) log  x k (c) log  x 
k (d) log  x k
b  b  ce  b  e  a  b  ce  a  e 

1
94.
 (e x
 e  x )2
dx 

1 1 1
(a)  2x
c (b) 2x
c (c)  2x
c (d) None of these
2(e  1) 2(e  1) e 1

e 2x  1
95.
 e 2x  1
dx  [MP PET 1987]

e 2x  1
(a) c (b) log( e 2 x  1)  x  c (c) log( e 2 x  1)  c (d) None of these
e 2x  1
e 2x  1
96.
 e 2x  1
dx equals [Rajasthan PET 1996]

(a) log( e x  e  x )  c (b) log( e x  e  x )  c (c) log( e  x  e x )  c (d) log(1  e  x )  c

dx
97.
e x
 e x
 [Bihar CEE 1997; MNR 1974]

(a) tan 1 (e  x ) (b) tan 1 (e x ) (c) log( e x  e  x ) (d) log( e x  e x )

dx
98. What is the value of the integral I 
 (1  e x
) (1  e  x )
[DCE 1999]

1 ex 1
(a) (b) (c) (d) None of these
1e x
1ex 1  ex
 Indefinite Integral 295

e (x 4  1)1 dx 
3 log x
99. [MP PET 2001]

1
(a) log( x 4  1)  c (b) log( x 4  1)  c (c)  log( x 4  1)  c (d) None of these
4
1
e tan x
100.
 1  x2
dx  [MP PET 1987]

1 1 1
(a) log(1  x 2 )  c (b) log e tan x
c (c) e tan x
c (d) tan 1 e tan x
c
1
e m tan x
101.
 1  x2
dx equals to [Rajasthan PET 2001]

1 1 tan 1 x 1 m tan 1 x
(a) e tan x
(b) e (c) e (d) None of these
m m

e
cos 2 x
102. sin 2 x dx  [AI CBSE 1995]

2 2 1 cos 2 x
(a) e cos x
c (b)  e cos x
c (c) e c (d) None of these
2

e
x
103. sin(e x )dx  [MP PET 1995]

(a)  cos e x  c (b) cos e x  c (c)  cosec e x  c (d) None of these

dx
104.
e x
1
 [MP PET 1989]

(a) ln(1  e  x )  c (b)  ln(1  e  x )  c (c) ln(e x  1)  c (d) None of these

 1
 1   x 
105. The value of
 1  2  e  x  dx equals
 x 
[Kurukshetra CEE 1998]

1 1 1 1
x x x2 x2
x2 c
(a) e x c (b) e x c (c) e x c (d) e
2
x
106.
 1 x3
dx equals [Rajasthan PET 1987]

2 2 1 1
(a) 1  x3  c (b) 1  x3  c (c) 1  x3  c (d) 1  x3  c
3 3 3 3
x
107.
1 x 4
dx  [IIT 1978; UPSEAT 2002]

1 1
(a) cot 1 x 2  c (b) tan 1 x 2  c (c) cot 1 x 2  c (d) tan 1 x 2  c
2 2

3x 2
108.
x 6
1
dx  [MNR 19981; MP PET 1988; Rajasthan PET 1995]

 x3 
(a) log( x 6  1)  c (b) tan 1 (x 3 )  c (c) 3 tan 1 (x 3 )  c (d) 3 tan 1  c

 3 
1
109.
 1  e 2x
dx  [MP PET 1993, 2002; Rajasthan PET 1999]

(a) x  log[1  1  e 2 x ]  c (b) x  log[1  1  e 2 x ]  c (c) log[1  1  e 2 x ]  x  c (d) None of these

296 Indefinite Integral
sec 2 x dx
110.
 tan 2 x  4


1
(a) log  tan x  tan 2 x  4   c (b) log  tan x  tan 2 x  4   c
  2  

1 1 
(c) log  tan x  tan 2 x  4   c (d) None of these
 2 2 

111.
 cos x 4  sin 2 x dx 

1 1  1 1 
(a) sin x 4  sin 2 x  2 sin 1  sin x   c (b) sin x 4  sin 2 x  2 sin 1  sin x   c
2 2  2 2 
1 1 
(c) sin x 4  sin 2 x  sin 1  sin x   c (d) None of these
2 2 

3x 2
112.
 9  16 x 6
dx 

1  4x3  1  4x3  1 1
(a) sin 1  c
 (b) sin 1  c
 (c) sin 1 x 3  c (d) sin 1 x 3  c
4  3  3  3  4 3

x
113.
 4  x4
dx = [Roorkee 1976]

x2 1 x2 x2 1 x2
(a) cos 1 (b) cos 1 (c) sin 1 (d) sin 1
2 2 2 2 2 2
ax
114. dx  [MNR 1983, 87]
1  a2 x
1 1
(a) sin 1 a x  c (b) sin 1 a x  c (c) cos 1 a x  c (d) cos 1 a x  c
log a log a
sin x dx
115.
 3  4 cos 2
x
 [Karnataka CET 2000]

1  cos x  1  2 cos x  1  2 cos x 

(a) log( 3  4 cos 2 x )  c (b) tan 1  c
 (c) tan 1  c (d) tan 1  c
2 3  3  2 3  3  2 3  3 
sin 2 x
116.
a 2
 b 2 sin 2 x
dx  [Roorkee 1977]

1 1
(a) log( a 2  b 2 sin 2 x )  c (b) log( a 2  b 2 sin 2 x )  c
b2 b
(c) log( a 2  b 2 sin 2 x )  c (d) b 2 log( a2  b 2 sin 2 x )  c
sin x cos x
117.
 a cos 2
x  b sin 2 x
dx  [AI CBSE 1988, 89]

1 1
(a) log( a cos 2 x  b sin 2 x )  c (b) log( a cos 2 x  b sin 2 x )  c
2(b  a) b a
1
(c) log( a cos 2 x  b sin 2 x )  c (d) None of these
2
1
118.
x 1  log x
dx [Roorkee 1997]

2
(a) (1  log x )3 / 2  c (b) (1  log x )3 / 2  c (c) 2 1  log x  c (d) 1  log x  c
3
 Indefinite Integral 297
dx
119.
 x  x log x  [MP PET 1993; Roorkee1977]

(a) log(1  log x ) (b) log log(1  log x ) (c) log x  log(log x ) (d) None of these

sin 2 x
120.
 1  sin 2
x
dx  [Roorkee 1976]

1
(a) log sin 2 x  c (b) log(1  sin 2 x )  c (c) log(1  sin 2 x )  c (d) tan 1 (sin x )  c
2

sec 2 x
121.
 1  tan x
dx  [MP PET 1987]

1
(a) log(cos x  sin x )  c (b) log(sec 2 x ) (c) log(1  tan x ) (d) 
(1  tan x ) 2

cosec 2 x
122.
 1  cot x
dx  [MNR 1973]

1
(a) log(1  cot x )  c (b)  log(1  cot x )  c (c) c (d) None of these
2(1  cot x ) 2
1
123.
 x
sin x dx  [MP PET 1989]

1 1
(a)  cos x  c (b)  2 cos x  c (c) cos x c (d) 2 cos x  c
2 2
x 1
124.
 1  x2
dx  [MP PET 1991]

(a) 1  x 2  tan 1 x  c (b) 1  x 2  log{ x  1  x 2 }  c

(c) 1  x 2  log{ x  1  x 2 }  c (d) 1  x 2  log(sec x  tan x )  c

3x
125.
 9x 1
dx  [EAMCET 202]

1 1
(a) log | 3 x  9 x  1 | c (b) log | 9 x  9 x  1 | c
log 3 log 3
1 1
(c) log | 3 x  9 x  1 | c (d) log | 3 x  9 x  1 | c
log 9 log 9
1  log x
126. To find the value of
 x
dx , the proper substitution is [MP PET 1988]

1
(a) log x  t (b) 1  log x  t (c) t (d) None of these
x

10 x 9  10 x log e 10
127.
 10 x  x 10
dx  [MNR 1979]

1 1 1 1
(a)  (b) log(10 x  x 10 )  c (c) c (d) None of these
2 (10  x 10 ) 2
x
2 (10  x 10 ) 2
x

sin x
128.
 sin(x  ) dx  [Rajasthan PET 1999; Kerala (Engg.) 2002]

(a) x cos   sin  log sin( x   )  c (b) x cos   sin  log sin( x   )  c
(c) x sin   sin  log sin( x   )  c (d) None of these
298 Indefinite Integral

2 x tan 1 x 2
129.
 1 x4
dx  [Roorkee 1982]

1
(a) [tan 1 x 2 ] 2  c (b) [tan 1 x 2 ] 2  c (c) 2[tan 1 x 2 ] 2  c (d) None of these
2
2x
 tan
1
130. dx  [MP PET 1991]
1 x2
(a) x tan 1 x  c (b) x tan 1 x  log(1  x 2 )  c (c) 2 x tan 1 x  log(1  x 2 )  c (d) 2 x tan 1 x  log(1  x 2 )  c

 sin
1
131. (3 x  4 x 3 ) dx  [AISSE 1986; DSSE 1984]

(a) x sin 1 x  1  x 2  c (b) x sin 1 x  1  x 2  c (c) 2[x sin 1 x  1  x 2 ]  c (d) 3[ x sin 1 x  1  x 2 ]  c

2 dx
132. The value of
 1  4x 2
is [Karnataka CET 2001]

(a) tan 1 (2 x )  c (b) cot 1 (2 x )  c (c) cos 1 (2 x )  c (d) sin 1 (2 x )  c

cot x
133.
 log sin x dx  [MNR 1974]

(a) log(log sin x )  c (b) log(log cosec x )  c (c) 2 log(log sin x )  c (d) None of these

 f(x) dx  f(x), then  [ f(x)] dx

2
134. If is [DCE 2002]

1 [ f (x )]3
(a) [ f ( x )] 2 (b) [ f (x )]3 (c) (d) [ f (x )]2
2 3

135. Integral of f (x )  1  x 2 with respect to x 2 is

2 (1  x 2 )3 / 2 2 2
(a) k (b) (1  x 2 ) 3 / 2  k (c) x (1  x 2 ) 3 / 2  k (d) None of these
3 x 3 3
d ( x 2  1)
136.
 x2  2
is equal to

1
(a) 2 x 2  2  k (b) x2  2 k (c) k (d) None of these
(x 2  2)3 / 2

 x sec x
2
137. dx is equal to

1 x2
(a) log(sec x 2  tan x 2 )  k (b) log(sec x 2  tan x 2 )  k
2 2
(c) 2 log(sec x 2  tan x 2 )  k (d) None of these

 f ' (ax  b){ f(ax  b)} dx is equal to

n
138.

1 1
(a) { f (ax  b)}n 1  c, n except n  1 (b) { f (ax  b)}n 1  c, n
n 1 n 1
1 1
(c) { f (ax  b)}n1  c,  n except n  1 (d) { f (ax  b)}n 1  c, n
a(n  1) a(n  1)
sin x  cos x
139.
 1  sin 2 x
e sin x cos x dx is equal to

(a) e sin x  c (b) e sin x cos x  c (c) e sin x cos x  c (d) e cos x sin x  c
5x

5
x
5
140. . 5 5 . 5 x dx is equal to

x 5x
55 55
x
3 55
(a) c (b) 5 (log 5)  c (c) c (d) None of these
(log 5 ) 3 (log 5) 3
 Indefinite Integral 299
2x
141. If
 14 x
dx  k sin 1 (2 x )  c, then k is equal to

1 1 1
(a) log 2 (b) log 2 (c) (d)
2 2 log 2
1
142.
 3
sin x cos x
dx is equal to

2 2
(a) c (b) 2 tan x  c (c) c (d)  2 tan x  c
tan x tan x
sec x dx
143.
 cos 2 x


sin x
(a) sin 1 (tan x ) (b) tan x (c) cos 1 (tan x ) (d)
cos x
x dx
144.
 1  x cot x 
(a) log(cos x  x sin x )  c (b) log( x sin x  cos x )  c (c) log(sin x  x cos x )  c (d) None of these
2
sec x
145. To evaluate
 (1  tan x)(2  tan x) dx , the most suitable substitution is
(a) 1  tan x  t (b) 2  tan x  t (c) tan x  t (d) None of these
2
146. For which of the following functions, the substitution x  t is applicable
1  2x 
(a)
x
6
tan 1 x 3 dx (b)
 tan   dx
1  x 2 
(c)
x
3
cos x 2 dx (d) None of these

1  x2
147.
 x
1  x2
dx 

1 1
(a) [sin 1 x 2  1  x 4 ]  c (b) [sin 1 x 2  1  x 2 ]  c
2 2

(c) sin 1 x 2  1  x 4  c (d) sin 1 x 2  1  x 2  c

1
148.
 cos 2
x (1  tan x ) 2
dx 

1 1 1 1
(a) c (b) c (c)  c (d) None of these
tan x  1 1  tan x 3 (1  tan x )3

 sec
p
149. x tan x dx 

sec p 1 x sec p x tan p 1 x tan p x

(a)
p 1
c (b)
p
c (c)
 p 1
c (d)
p
c

Advance Level

150. Consider the following statements: [SCRA 1996]

1
Assertion (A): 2 can be integrated by a substitution x  a tan  .
x  a2
Reason (R): Because all integrands are integrated by the methodof substitution only.
Of these statements
(a) Both A and R are true and R is the correct explanation of A (b) Both A and R are true
but R is not the correct explanation of A
300 Indefinite Integral
(c) A is true but R is false (d) A is false but R is true
ax
151.
 x
dx 

 x x ax   x x ax 
(a) a in 1  . C (b) a sin 1  C
 a a a   a a a 

 x x ax 
(c)  a sin 1  C (d) None of these
 a a a 
sin x
152.
 sin x  cos x dx  [Roorkee 1988]

1 1
(a) log(sin x  cos x )  x  c (b) [log(sin x  cos x )  x ]  c
2 2
1 1
(c) log(cos x  sin x )  x  c (d) [log(cos x  sin x )  x ]  c
2 2

1 x2
153.
 1 x2
dx  [IIT 1977]

3 1 3 1
(a) sin 1 x  x 1  x 2  c (b) sin 1 x  x 1  x 2  c
2 2 2 2
3 1 3 1
(c) cos 1 x  x 1  x 2  c (d) cos 1 x  x 1  x 2  c
2 2 2 2


154. If I  sec 4 x cosec 2 x dx  K tan 3 x  L tan x  M cot x  constant , then

1 1
(a) K  , L  1, M  2 (b) K  , L  2, M  1 (c) K  1, L  0, M  1 (d) None of these
3 3
log( x  1)  log x
155.
 x (x  1)
dx 

 x 1   x  1 
(a)  log  c (b)  log log    c
 x    x 

1   x 1 
 
2
1
(c)    log   c (d) c  log( x  1)2  (log x ) 2
 2    x   2

dx
156.
 1  sin x


(a) 2 log tan( x / 4   / 8 ) (b) 2 logcosec (x / 2   / 4)  cot( x / 2   / 4)

(c) 2 logsec (x / 2   / 4)  tan( x / 2   / 4) (d) All (a), (b) and (c)

x 1
157.
 x(1  xe x 2
)
dx  log | 1  f (x )|  f (x )  c , then f (x ) 

1 1 1
(a) (b) (c) (d) None of these
x ex 1  xe x
(1  xe x ) 2
1
158. If l r (x ) means log log log ...... log x, the log being repeated r times, then
 xl(x)l (x )l (x)..... l (x ) dx 
2 3 r

l r 1 (x )
(a) l r 1 (x )  c (b) c (c) l r (x )  c (d) None of these
r 1
 Indefinite Integral 301

 2 sin( x 2  1)  sin 2(x 2  1) 

159.
 x  2 2
 2 sin( x  1)  sin 2(x  1) 
 dx = , (where x 2 1  n )

1  x 2 1  1
(a) log sec( x 2  1) (b) log sec  
 (c) log sec( x 2  1) (d) None of these
2  2  2


 1x 

 cos 2 tan
1
160.  dx is equal to
1 x 

1 2 1 2 1
(a) (x  1)  k (b) x k (c) x k (d) None of these
8 2 2

x
3
2
161. Let the equation of a curve passing through the point (0,1) be given by y  . e x dx . If the equation of the

curve is written in the form x  f (y ) then f (y ) is

(a) log e (3 y  2) (b) 3 log e (3 y  2) (c) 3 log e (2  3 y) (d) None of these

cos x  cos 3 x
162.
 1  cos 3 x
dx is equal to

2 3 2
(a) sin 1 (cos 3 / 2 x )  c (b) sin 1 (cos 3 / 2 x )  c (c) cos 1 (cos 3 / 2 x )  c (d) None of these
3 2 3

ax 2  b
163. The value of
x c 2 x 2  (ax 2  b)2
dx is

 b  2 b   b  2 b 
 ax  x   ax  2   ax    ax  2 
1 1x k 1  x  k 1  x k
(a) sin  k (b) sin  (c) cos (d) cos
 c   c   c   c 
     
     

1 x 
164.
   dx 
1  x 
 
[IIT 1985]

(a) cos 1 x  1  x .( x  2)  c (b) cos 1 x  1  x .( x  2)  c

(c) cos 1 x  1  x .( x  2 )  c (d) None of these

sin 2 x
165.
 sin 4
x  cos 4 x
dx  [Rajasthan PET 1995]

(a) cot 1 (tan 2 x )  c (b) tan 1 (tan 2 x )  c (c) cot 1 (cot 2 x )  c (d) tan 1 (cot 2 x )  c

 tan
3
166. 2 x sec 2 x dx  [IIT 1977]

1 1 1 1 1 1
(a) sec 3 2 x  sec 2 x  c (b) sec 3 2 x  sec 2 x  c (c) sec 2 2 x  sec 2 x  c (d) None of these
6 2 6 2 9 3

(x 2  a 2 )
167. The value of
 x
dx will be [UPSEAT 1999]

 (x 2  a 2 )   (x 2  a 2 ) 
(a) (x 2  a 2 )  tan 1   (b) (x 2  a 2 )  tan 1  
 a   a 
   
x
(c) (x 2  a 2 )  a 2 tan 1  x 2  a 2  (d) tan 1 c
  a
302 Indefinite Integral

Integration by Parts

Basic Level

 (1  x
2
168. ) log x dx  [DSSE 1982]

 x3   3   x3   3 
(a)  x   log x   x  x c (b)  x   log x   x  x c
3   9  3   9 
       
 x 3   3 
(c)  x  log x  x  x   c (d) None of these
 3  
 9 

1
169.
x 2
log( x 2  a 2 ) dx [MNR 1980]

1 2 x 1 2 x
(a) log( x 2  a 2 )  tan 1  c (b)  log( x 2  a 2 )  tan 1  c
x a a x a a
1 2 x
(c)  log( x 2  a 2 )  tan 1  c (d) None of these
x a a
log x
170.
 x3
dx  [Roorkee 1986]

1 1 1 1
(a) (2 log x  1)  C (b)  (2 log x  1)  C (c) (2 log x  1)  C (d) (1  2 log x )  C
4x2 4x2 4x2 4x2


171. x 3 log x dx  [Karnataka CET 2002]

x 4 log x 1 1 1
(a) C (b) [4 x 4 log x  x 4 ]  C (c) [4 x 4 log x  4 x 2 ]  C (d) [4 x 4 log x  x 4 ]  C
4 16 8 16

 x sin
1
172. x dx  [MP PET 1991]

 x 2 1  1 x  x 2 1  1 x
(a)    sin x  1 x2 c (b)    sin x  1 x2 c
 2 4  4  2 4  4

 x 2 1  1 x  x 2 1  1 x
(c)    sin x  1 x2 c (d)    sin x  1  x2  c
 2 4  4  2 4  4

173.
 cos(log e x )dx is equal to [MP PET 2003]

1
(a) x {cos(log e x )  sin(log e x )} (b) x{cos(log e x )  sin(log e x )}
2
1
(c) x {cos(log e x )  sin(log 2 x )} (d) x{cos(log e x )  sin(log e x )}
2

 xe dx is equal to e 2 x f (x )  c where c is constant of integration, then f (x ) is

2x
174. If [UPSEAT 2001]

(a) (3 x  1) / 4 (b) (2 x  1) / 2 (c) (2 x  1) / 4 (d) ( x  4 ) / 6

2x  sin 4 x  2 
175.
e   dx 
 1  cos 4 x 
[Mathematics Olympiad 1986]

1 2x 1 2x
(a) e cot 2 x  c (b)  e cot 2 x  c (c)  2e 2 x cot 2 x  c (d) 2e 2 x cot 2 x  c
2 2
 Indefinite Integral 303

176.
 x cos x dx  [MP PET 1988]

(a) x sin x  cos x (b) x sin x  cos x (c) x cos x  sin x (d) x cos x  sin x

 x cos
2
177. x dx  [IIT 1972]

x4 1 1 x4 1 1
(a)  x sin 2 x  cos 2 x  c (b)  x sin 2 x  cos 2 x  c
4 4 8 4 4 8
x4 1 1 x4 1 1
(c)  x sin 2 x  cos 2 x  c (d)  x sin 2 x  cos 2 x  c
4 4 8 4 4 8
d
178. If f (x )  x cos x  sin x and f (0)  2, then f (x )  [MP PET 1989]
dx
(a) x sin x (b) x cos x  sin x  2 (c) x sin x  2 (d) x cos x  2
x 
e
x/2
179. sin   dx  [Roorkee 1982]
2 4
x x x x
(a) e x / 2 cos c (b) 2 e x / 2 cos c (c) e x / 2 sin c (d) 2 e x / 2 sin c
2 2 2 2

 x sin
2
180. x dx  [Ranchi BIT 1977; IIT 1972]

x2 x 1 x2 x 1
(a)  sin 2 x  cos 2 x  c (b)  sin 2 x  cos 2 x  c
4 4 8 4 4 8
x2 x 1 x2 x 1
(c)  sin 2 x  cos 2 x  c (d)  sin 2 x  cos 2 x  c
4 4 8 4 4 8
x  sin x
181.
 1  cos x dx = [AISSE 1989]

x x x
(a) x cot c (b)  x cot c (c) cot c (d) None of these
2 2 2

x
2
182. sin 2 x dx  [IIT 1974]

1 2 1 1 1 2 1 1
(a) x cos 2 x  x sin 2 x  cos 2 x  c (b)  x cos 2 x  x sin 2 x  cos 2 x  c
2 2 4 2 2 4
1 2 1 1
(c) x cos 2 x  x sin 2 x  cos 2 x  c (d) None of these
2 2 4

183.
 log x dx  [MNR 1979; Ranchi BIT 1992; SCRA 1996]

1
(a) x  x log x  c (b) x log x  x  c (c) x 2 log x  c (d) log x  x  c
x

184.
 log 10 x dx  [Roorkee 1973]

(a) x log 10 x  c (b) x(log 10 x  log 10 e)  c (c) log 10 x  c (d) x(log 10 x  log 10 e)  c
log x
185.
 (1  log x ) 2
dx 

1 x x 1
(a) c (b) c (c) c (d) c
1  log x (1  log x )2 1  log x (1  log x )2
 1 1 
186.
  log x  (log x ) 2  dx 

1 x x
(a) c (b) c (c) (d) None of these
log x log x (log x )2
304 Indefinite Integral

e
2x
187. sin 3 x dx  [Pb. CET 1994]

e 2x e 2x
(a) (2 sin 3 x  3 cos 3 x )  c (b) (2 sin 3 x  3 cos 3 x )  c
13 13
e 2x e 2x
(c) (2 cos 3 x  3 sin 3 x )  c (d) (2 cos 3 x  3 sin 3 x )  c
13 13


188. If I  e x sin 2 x dx , then for what value of K , KI  e x (sin 2 x  2 cos 2 x )  const. [MP PET 1992]

(a) 1 (b) 3 (c) 5 (d) 7

189. If
 g(x )dx  g(x ), then  g(x){f(x)  f '(x)}dx is equal to

(a) g(x ) f (x )  g(x ) f ' (x )  c (b) g(x) f ' (x )  c

(c) g(x ) f (x )  c (d) g(x ) f 2 (x )  c


190. The primitive of the function x | cos x | when  x   is given by
2
(a) cos x  x sin x (b)  cos x  x sin x (c) x sin x  cos x (d) None of these

191.
 log( x  1)dx  [Roorkee 1974]

(a) (x  1) log( x  1)  x  c (b) (x  1) log( x  1)  x  c (c) (x  1) log( x  1)  x  c (d) None of these

1
192.
 log x e
dx  [MP PET 1994]

1 x
(a) log log x e  c (b) c (c) x log    c (d) None of these
(log x e )2 e

 (log x ) dx 
2
193. [IIT 1971, 77]

(a) x (log x )2  2 x log x  2 x  c (b) x (log x )2  2 x log x  x  c

(c) x (log x )2  2 x log x  2 x  c (d) x (log x )2  2 x log x  x  c

194.
 x log xdx  [MP PET 1987]

x2 x2 x2 x2 x2 x2
(a) log x  c (b) log x  c (c) log x  c (d) None of these
2 2 2 4 2 2

 ln (x
2
195. If  x )dx  x ln (x 2  x )  A, then A  [MP PET 1992]

(a) 2 x  ln (x  1)  const. (b) 2 x  ln (x  1)  const. (c) Constant (d) None of these

log x
196. The value of
 (x  1) 2
dx is [UPSEAT 1999]

 log x log x
(a)  log x  log( x  1) (b)  log x  log( x  1)
x 1 x 1
log x  log x
(c)  log x  log( x  1) (d)  log x  log( x  1)
x 1 x 1

 tan
1
197. xdx  [Roorkee 1977]

1 1
(a) x tan 1 x  log(1  x 2 ) (b) x tan 1 x  log(1  x 2 (c) (x  1) tan 1 x (d) x tan 1 x  log(1  x 2 )
2 2
 Indefinite Integral 305

 x tan
1
198. xdx  [Roorkee 1979]

1 2 1 1 2 1
(a) (x  1) tan 1 x  x  c (b) (x  1) tan 1 x  x  c
2 2 2 2
1 2 1 1 2
(c) (x  1) tan 1 x  x  c (d) (x  1) tan 1 x  x  c
2 2 2

 e (1  tan x ) sec xdx 

x
199.

(a) e x cot x (b) e x tan x (c) e x sec x (d) e x cos x

 x 1 
200.
 e x sin 1 
 a a  x2
2
 dx 

1 x x x x ex
(a) e sin 1  c (b) ae x sin 1 c (c) e x sin 1 c (d) c
a a a a a2  x 2

e
x
201. sin x (sin x  2 cos x )dx  [MP PET 1988]

(a) e x sin 2 x  c (b) e x sin x  c (c) e x sin 2 x (d) None of these

x 1 1 
202.
 e  x  x 2
 dx 

[AISSE 1983; MP PET 1994, 96; MNR 1990]

ex ex ex ex
(a)  c (b) c (c) c (d)  c
x2 x2 x x

 e [ f (x )  f ' (x )]dx
x
203. is equal to [DCE 2002]

(a) e x f (x ) (b) e x (c) e x f ' (x ) (d) None of these

x2
  x  4  e dx
x
204. is equal to [AMU 2000]

 x   x2  x 2  2 xe x 
(a) e x  C (b) e x  C (c) e x  C (d)  C

x 4 x 4  x 4   x 4 
x 1
205.
 (x  1) 3
e x dx  [IIT 1983; MP PET 1990]

ex ex ex ex
(a) 2
c (b) 2
c (c) 3
c (d) c
(x  1) (x  1) (x  1) (x  1)3
xe x
206.
 (1  x ) dx 2
[MP PET 1997; UPSEAT 2001; Rajasthan PET 2002]

e x e x ex ex
(a) C (b)  c (c) c (d)  c
1 x 1 x 1 x 1 x
(x 2  1)
207.
 ex
(x  1)2
dx 

 x 1  x  x 1 
(a)  e c (b) e x  c (c) e x (x  1)(x  1)  c (d) None of these
 x 1   x 1 

e
2x
208. The value of (2 sin 3 x  3 cos 3 x )dx is [MP PET 2003]

(a) e 2 x sin 3 x (b) e 2 x cos 3 x (c) e 2 x (d) e 2 x (2 sin 3 x )

306 Indefinite Integral
 1  sin x 
 e . 1  cos x dx
x
209. is equal to [Rajasthan PET 1997; Karnataka CET 2003]

x x
(a) e x . tan    C (b) e x . cot    C (c) e x . tan x  C (d) e x . cot x  C
2 2

 e .(1  tan x  tan

x 2
210. x )dx  [Karnataka CET 1999]

(a) e x sin x  C (b) e x cos x  C (c) e x tan x  C (d) e x sec x  C

 (1  x  x
1
1
211. )e x  x dx  [EAMCET 2003]

1 1 1 1
(a) (x  1)e x  x C (b) (x  1)e x  x C (c)  xe x  x C (d) xe x  x C

e
x
212. (1  tan x ) sec xdx is equal to

(a) e  x sec x  C (b) e  x tan x  C (c)  e  x tan x  C (d) None of these

 e { f (x )  f ' (x )}dx   (x ) Then  e

x x
213. Let f ( x )dx is

1 1
(a)  (x )  e x f (x ) (b)  (x )  e x f (x ) (c) { (x )  e x f (x )} (d) { (x )  e x f ' (x )}
2 2

214. If
 f (x )dx  g(x ), then  f 1 (x )dx is equal to [MP PET 2003]

(a) g 1 (x ) (b) xf 1 (x )  g( f 1 (x )) (c) xf 1 (x )  g 1 (x ) (d) f 1 ( x )

215.
 sin x dx  [Roorkee 1977]

(a) 2[sin x  cos x ]  c (b) 2[sin x  x cos x ] c (c) 2[sin x  cos x ]  c (d) 2[sin x  x cos x ] c

216.
 cos x dx  [BIT Ranchi 1990; IIT 1997; Rajasthan PET 1999]

(a) 2 [ x sin x  cos x ]  c (b) 2[ x sin x  cos x ]  c (c) 2[cos x  x sin x ]  c (d)  2[ x sin x  cos x ] c

x sin 1 x
217.
 1  x2
dx  [MNR 1978; EAMCET 1982; IIT 1984]

(a) x  1  x 2 sin1 x  c (b) x  1  x 2 sin1 x  c (c) 1  x 2 sin1 x  x  c (d) None of these

1
x tan x dx
218.
 (1  x 2 3/2
)

x  tan 1 x x  tan 1 x tan 1 x  x

(a) c (b) c (c) c (d) None of these
1 x2 1 x2 1 x2

Advance Level

219.
 [sin(log x)  cos(log x )]dx  [MP PET 1991]

(a) x cos(log x )  c (b) sin(log x )  c (c) cos(log x )  c (d) x sin(log x )  c

 Indefinite Integral 307

 cos   sin  
220.
 cos 2 log cos   sin   d  [IIT 1994]

 cos   sin    cos   sin  

(a) (cos   sin  )2 log   (b) (cos   sin  )2 log  
 cos   sin    cos   sin  

(cos   sin  )2  cos   sin   1   1

(c) log   (d) sin 2 log tan      log sec 2
2  cos   sin   2 4  2

 1 
221.
 log(log x )  (log x ) dx  2

x x log x log x
(a) x log(log x )  c (b) x log(log x )  c (c) x log(log x )  c (d) x log(log x )  c
log x log x x x

0 x 2  sin x cos x  2

 f (x )dx is equal to
2
222. If f (x )  sin x  x 0 1  2x , then
2  cos x 2x  1 0

x3 x3 x3
(a)  x 2 sin x  sin 2 x (b)  x 2 sin x  cos 2 x (c)  x 2 cos x  cos 2 x (d) Constant
3 3 3
2 sin x  sin 2 x
223. If integral of ( x  0 ) is g(x ), then lim g' (x ) will be equal to
x3 x 0

(a) 1 (b) -1 (c) 0 (d) None of these

e
sec x
224. The value of . sec 3 x (sin 2 x  cos x  sin x  sin x cos x )dx is

(a) e sec x (sec 2 x  sec x . tan x )  c (b) e sec x  c

(c) e sec x (sec x  tan x )  c (d) None of these

tan 1 x  x 
225.
e 1 

dx is equal to
1  x2 
1 1 1 1 1 tan 1 x
(a) x .e tan x
(b) xe tan x (c) e tan x
(d) e
2 2

226.
 sin 2 x. log cos xdx is equal to

1 
(a) cos 2 x   log cos x   k (b) cos 2 x . log x  k
2 

1 
(c) cos 2 x   log cos x   k (d) None of these
2 

 x log(1  x ) dx   (x ). log(1  x 2 )   (x )  c then

2
227. If

1  x2 1 x2 1 x2 1  x2
(a)  (x )  (b)  (x )  (c)  (x )   (d)  (x )  
2 2 2 2

x tan 1 x
228. If
 1  x2
dx  1  x 2 f (x )  A log( x  x 2  1)  c , then

(a) f (x )  tan 1 x , A  1 (b) f (x )  tan 1 x , A  1 (c) f (x )  2 tan 1 x , A  1 (d) f (x )  2 tan 1 x , A  1

308 Indefinite Integral
x 2  1 [log( x 2  1)  2 log x ]
229.
 x4
dx is equal to

1 3
1 1 2   1  2 1 1 2   1  2
(a) 1  2  log 1  2     c (b)  1  2  log 1  2     c
3 x    x  3 3 x    x  3
3
2 1 2   1  2
(c) 1  2  log 1  2     c (d) None of these
3 x    x  3

1
 x log(1  x )dx  f (x ). log( x  1)  g(x ).x
2
230. If  Ax  c , then

1 2
(a) f (x )  x (b) g(x )  log x (c) A 1 (d) None of these
2

xe x
231. If
 1e x
dx  f (x ) 1  e x  2 log g(x )  c , then

1  ex 1 1 ex 1
(a) f (x )  x  1 (b) g(x )  (c) g(x )  (d) f (x )  2(x  2)
1  ex 1 1  ex 1

sin 1 x
232.
 3
dx  [AISSE 1983, 87]
(1  x 2 ) 2
x 1 x 1
(a) sin 1 x  log(1  x 2 )  c (b) sin 1 x  log(1  x 2 )  c
(1  x ) 2 2 (1  x )2 2

1 1 1 1
(c) sin 1 x  log(1  x 2 )  c (d) sin 1 x  log(1  x 2 )  c
(1  x ) 2 2 (1  x )2 2

 f (x)dx  F(x), then  x

3
233. If f (x 2 ) dx is equal to

1 1 2
 F(x ) d (x ) 
(a)  x 2 F(x 2 )  2 2  (b) x F(x 2 )  F(x 2 ) dx 
2  2  

1 2 1 
 F(x ) dx 
2
(c) x F(x )  (d) None of these
2  2

Evaluation of the Various forms of Integrals by use of Standard Results

Basic Level

dx
234.
 x 2  4 x  13
is equal to [Kerala CET 2002]

1 x  2 2x  4
(a) log( x 2  4 x  13 )  c (b) tan 1  c (c) log( 2 x  4 )  c (d) c
3  3  (x 2  4 x  13 )2

dx
235.
x 2
 8 x  20
 [Pb. CET 1996]

x 4  1 x 4 x 4 1 x 4

(a) tan 1  c (b) tan 1  c (c)  tan 1  c (d)  tan 1  c
 2  2  2   2  2  2 
 Indefinite Integral 309

dx
236.
 1 x  x 2


1  5  1  2x  1  5 1  2x 
(a) log  c (b) log  c
5  5  1  2 x  5  5  1  2 x 

1  5  1  2x  1  5  1  2x 
(c)  log  c (d)  log  c
5  5  1  2 x  5  5  1  2 x 

dx
237. The value of
 3  2x  x 2
will be [UPSEAT 1999]

1 3x 1 3x 1 3x 1x 

(a) log   (b) log   (c) log   (d) log  
4 1x  3 1x  2 1x  3x

2x  3
238. If
x 2
 5x  6
dx  9 ln(x  3)  7 ln( x  2)  A, then A 

(a) 5 ln( x  2)  constant (b) 4 ln(x  3)  constant (c) Constant (d) None of these

x dx
239.
x 2
 4x 5
[Rajasthan PET 2002]

1 1
(a) log (x 2  4 x  5)  2 tan 1 x  c (b) log( x 2  4 x  5)  tan 1 (x  2)  c
2 2

1 1
(c) log( x 2  4 x  5)  tan 1 (x  2)  c (d) log( x 2  4 x  5)  2 tan 1 (x  2)  c
2 2

2x  3
240.
x 2
 3 x  18
dx 

2 x 3 2 x 3
(a) log | x 2  3 x  18 |  log c (b) log | x 2  3 x  18 |  log c
3 x 6 3 x 6

2 x 3 2 x 3
(c)  log | x 2  3 x  18 |  log c (d)  log | x 2  3 x  18 |  log c
3 x 6 3 x 6

241.
 x 2  8 x  7 dx 

1 1
(a) (x  4 ) x 2  8 x  7  9 log[ x  4  x 2  8 x  7 ]  c (b) (x  4 ) x 2  8 x  7  3 2 log[ x  4  x 2  8 x  7 ]  c
2 2

1 9
(c) (x  4 ) x 2  8 x  7  log[ x  4  x2  8x  7]  c (d) None of these
2 2

dx
242.
 2x  x 2
 [MP PET 1991; Karnataka CET 2002]

(a) cos 1 (x  1)  c (b) sin 1 (x  1)  c (c) cos 1 (1  x )  c (d) sin 1 (1  x )  c

x4  x2 1
243.
 x2  x 1
dx 

1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2
(a) x  x  x c (b) x  x  x c (c) x  x x c (d) None of these
3 2 3 2 3 2
310 Indefinite Integral
dx
244.
 x [(log x )2  4 log x  1]


1  log x  2  5  1  log x  2  5 
(a) log  c (b) log  c
2 5  log x  2  5  5  log x  2  5 

1  log x  2  5  1  log x  2  5 
(c) log  c (d) log  c
2 5  log x  2  5  5  log x  2  5 

dx
245.
 7  5 cos x
 [EAMCET 2002]

1  1 x 1  1 x
(a) tan 1  tan   c (b) tan 1  tan   c
6  6 2  3  3 2 

1  x 1  x
(c) tan 1  tan   c (d) tan 1  tan   c
4  2 7  2

dx
246.
 sin x  3 cos x


x  1 x  x  1 x 
(a) log tan     c (b) log tan     c (c) log cot     c (d) log cot     c
2 2 2 2 6 2 6 2 2 6

dx
247.
 1  sin x  cos x  [Pb. CET 1992]

x x x
(a) log 1  tan c (b)  log 1  tan c (c) log 1  tan c (d) None of these
2 2 2

dx
248.
 sin x  cos x  2
equals [MP PET 2002]

1 x  1 x  1 x  1 x 
(a)  tan     c (b) tan     c (c) cot     c (d)  cot     c
2 2 8 2 2 8 2 2 8 2 2 8

dx
249.
 1  2 sin x  cos x  [Rajasthan PET 1991]

1
(a) log[1  2 tan( x / 2)]  c (c) log[1  2 tan( x / 2)]  c (c) log[ 1  2 tan( x / 2)]  c (d) None of these
2

c 2 sin 2 x
250.
 a  b 2 sin 2 x
2
dx 

c2 c2 b2
(a) log( a 2  b 2 sin 2 x )  k (b) log( a 2  b 2 sin 2 x )  k (c) log( a 2  b 2 sin 2 x )  k (d) None of these
b2 a2 c2
1
251.
 1  sin 2
x
dx 

1 1
(a) tan 1 ( 2 tan x )  k (b) 2 tan 1 ( 2 tan x )  k (c)  tan 1 ( 2 tan x )  k (d)  2 tan 1 ( 2 tan x )  k
2 2

1
252.
 1  cos 2
x
dx 

1 1 1  1  1 
(a) tan 1 (tan x )  c (b) tan 1  tan x   c (c) tan 1  tan x   c (d) None of these
2 2  2  2  2 
 Indefinite Integral 311

dx
253.
 (a sin x  b cos x ) 2


1 1 1 1
(a) c (b) c (c) c (d) c
a(a tan x  b) a(a tan x  b) a tan x  b a tan x  b

2 sin x  3 cos x
254.
 4 sin x  5 cos x
dx

2 23 1 1
(a) log 5 cos x  4 sin x  x c (b) log sin x  cos x  x  c
41 41 2 2
2 3 1 1
(c) log 2 sin x  3 cos x  x c (d) log sin x  cos x  x  c
13 13 2 2

dx
255.
 1  tan x  [Pb. CET 1991, 93]

1 1 1 1
(a) x  log cos x  sin x  c (b) x  log cos x  sin x  c
2 2 2 2
1 1
(c) x  log cos x  sin x  c (d) None of these
2 2

dx
256.
 cos x  sin x
is equal to [AIEEE 2004]

1  x 3  1 x 1  x 3  1 x 
(a) log tan     c (b) log cot    c (c) log tan    c (d) log tan     c
2 2 8  2 2 2 2 8  2 2 8

3 sin x  2 cos x
257.
 3 cos x  2 sin x
dx 

12 5 12 5
(a) x log( 3 cos x  2 sin x ) (b) x log( 3 cos x  2 sin x
13 13 13 13
13 5
(c) x log( 3 cos x  2 sin x (d) None of these
12 13

6x  7
258.
 (x  5)(x  4 )
dx 

9 9
(a) 6 x 2  9 x  20  34 log x   x 2  9 x  20  c (b) 6 x 2  9 x  20  34 log x   x 2  9 x  20  c
2 2

9 9
(c) 6 x 2  9 x  20  34 log x   x 2  9 x  20  c (d) 6 x 2  9 x  20  34 log x   x 2  9 x  20  c
2 2

Advance Level

2x  3
259. The integral
 (x 2
 x  1)2
dx is equal to

8x  7 16  2x  1  1 4
(a)   tan 1  c (b)   tan 1 (4 x  3)  c
3 
2
3(x  x  1) 3 3  x2  x 1 3

1 (2 x  1)2 1 2
(c)  c (d)  tan 1 (2 x  1)  c
2(x 2  x  1) (x 2  x  1)2 2
4(x  x  1) 3

1  x2
260. The value of the integral
 1  x4
dx is equal to
312 Indefinite Integral
1  x2 1  1  x2  2x 1 
(a) tan 1 x 2  c (b) tan 1  
 (c) log  2 c (d) None of these
2  x  2x 1 
 2x  2 2  

x2
261.
 ( x 2  3 x  3) x  1
dx is equal to

1  x  2  x  2  x 
(a) tan 1   (b) tan 1   (c) tan 1  
 (d) None of these
3  3 ( x  1)  3  3 ( x  1)  3  x 1 
   
dx
262.
 (1  x ) 1  x2 2
 [MNR 1985]

1  1  x2  1  x 2   1  x2   1  x2 
(a) tan 1  c (b) tan 1  c (c) 2 tan 1  c (d)  2 tan 1  c
2  x 2  2  1  x
2
  x 2   x 2 
     

Integration of Rational functions by using Partial fractions

Basic Level

x
263. Correct evaluation of
 (x  2)(x  1) dx is [MP PET 1993]

(x  2)2 (x  1) x 1 (x  2)
(a) log e p (b) log e p (c) p (d) 2 log e p
(x  1) (x  2) x 2 (x  1)
(where p is an aribitrary constant)
dx
264.
 (x  1)(x  2)  [MP PET 1987]

(x  2) (x  1)
(a) log c (b) log( x  1)  log( x  2)  c (c) log c (d) None of these
(x  1) (x  2)

dx
265.
 1 x 2
 [MP PET 1987, 92, 2000]

1 1 x 1 1x
(a) tan 1 x  c (b) sin 1 x  c (c) log c (d) log c
2 1x 2 1 x

x 1
266.
 (x  3)(x  2) dx  [Roorkee 1978]

(a) log( x  3)  log( x  2)  c (b) log( x  3)2  log( x  2)  c (c) log( x  3)  log( x  2)  c (d) log( x  3)2  log( x  2)  c

1
267.
 x  x3
dx  [MP PET 1996]

1 (1  x 2 ) (1  x ) 1 x2
(a) log c (b) log c (c) log x (1  x 2 )  c (d) log c
2 x2 x (1  x ) 2 (1  x 2 )

1 1
268. If
 (sin x  4 )(sin x  1)
dx  A
x
tan  1
 B tan 1 f (x )  c , then

x
4 tan    1
1 2 4 tan x  3 1 1 2
(a) A , B , f (x )  (b) A , B , f (x ) 
5 5 15 15 5 15 15
 Indefinite Integral 313
x
4 tan 1
2 2 4 tan x  1 2 2 2
(c) A , B , f (x )  (d) A , B , f (x ) 
5 5 5 5 5 15 15
dx
269.
 (sin x  2 cos x )(2 sin x  cos x ) 
1 tan x  2 1 tan x  2 tan x  2 tan x  2
(a) log c (b)  log c (c) log c (d)  log c
5 1  2 tan x 5 1  2 tan x 1  2 tan x 1  2 tan x

dx
270.
 (x  1) (x  2) 
2
[CBSE PMT 1994]

x 2 1 x 1 1 x 2 1 x 1 1
(a) log  c (b) log  c (c) log  c (d) log  c
x 1 x 1 x  2 x 1 x 1 x 1 x  2 x 1

x 1
271.
 (x  1) 2
dx 

2 2 2
(a) log( x  1)  c (b) log( x  1)  c (c)  log( x  1)  c (d) None of these
x 1 x 1 x 1
2x
272.
 (2 x  1) 2
dx  [DSSE 1985]

1 1 1 1
(a) log( 2 x  1)  c (b) log( 2 x  1)  c
2 2(2 x  1) 2 2(2 x  1)
1 1
(c) 2 log( 2 x  1)  c (d) 2 log( 2 x  1)  c
2(2 x  1) 2(2 x  1)
dx
273.
 (x  x )  2
[Roorkee 1982]

(a) log x  log(1  x )  c (b) log(1  x )2  c (c)  log x  log(1  x )  c (d) log( x  x 2 )  c

x2
274. Value of
 x  a2
2
dx  [MNR 1997]

a  x a a  x a a  x a a  x a

(a) x log  c (b) x log  c (c) x log  c (d) x log  c
2  x a 2  x a 2  x a 2  x a

1
275.
 (x  1)(x 2
 1)
dx  [Roorkee 1984]

1 1 1 1 1 1
(a) log( x  1)  log( x 2  1)  tan 1 x  c (b) log( x  1)  log( x 2  1)  tan 1 x  c
2 4 2 2 4 2
1 1 1
(c) log( x  1)  log( x 2  1)  tan 1 x  c (d) None of these
2 2 2

2x  3 

5  1
2 (x 2  1)a  
276. If
 2
(x  1)(x  1)
dx  log e 


( x  1) 


2
tan 1 x  A, Where A is any arbitrary constant, then the value of ‘a’ is

[MP PET 1998]

5 5 5 5
(a) (b)  (c)  (d) 
4 3 6 4
dx
277.
 (x 2
 1)(x 2  4 )
 [MP PET 1995]

1 1 x 1 1 x
(a) tan 1 x  tan 1  c (b) tan 1 x  tan 1  c
3 3 2 3 3 2
314 Indefinite Integral
1 1 x x
(c) tan 1 x  tan 1  c (d) tan 1 x  2 tan 1 c
3 6 2 2

x2
278.
 (x 2  2)(x 2  3)
dx  [AISSE 1990]

x x
(a)  2 tan 1 x  3 tan 1 x  c (b)  2 tan 1  3 tan 1 c
2 3
x x
(c) 2 tan 1  3 tan 1 c (d) None of these
2 3
1
279.
 (x 2
 a 2 )(x 2  b 2 )
dx 

1 1 1  x  1 1  x  1 1 1  x  1 1  x 
(a)  tan    tan    c (b)  tan    tan    c
(a 2  b 2 )  b b a  a  (b 2  a 2 )  b b a  a 

1 x 1 x 1 x 1 x

(c) tan 1    tan 1    c (d) tan 1    tan 1    c
b b
  a a a a
  b b
x dx
280.
 (x 2
 a 2 )(x 2  b 2 )
 [Roorkee 1976]

1  x 2  a2  1  x 2  b2 
(a) 22
log  2 c
2 
(b) 22
log  2 2
c

(a  b ) x b  a b  x a 

1  x 2  a2  1  x 2  b2 
(c) log  c (d) log  c
2(a 2  b 2 )  x 2  b2  2(a 2  b 2 )  x 2  a2 
   

(2 x 2  1)dx  x  1 a  x  2 
281. If
 (x 2  4 ) (x 2  1)
 log      c, then the values of a and b are respectively
 x  1   x  2 
[Roorkee 2000]

1 3 3 3 1 3
(a) , (b)  1, (c) 1, (d) ,
2 4 2 2 2 4

2x 2  3  x 1  x
282. If
 (x 2
 1)(x 2  4 )
dx  a log 
 x 2
  b tan 1    c , then values of a and b are
2
[Rajasthan PET 2000]

1 1 1 1
(a) (1,  1) (b) (1, 1) (c)  ,  (d)  , 
2 2 2 2
1
283. For x  1,
 x (x 4
 1)
dx  [Rajasthan PET 1997, 89]

x4 1 1 x4 1 x4 1 1 x4 1
(a) log k (b) log k (c) log k (d) log k
x4 4 x4 x 4 x
dx
284.
 e x  1  2e x


1 1
(a) log( e x  1)  log( e x  2)  c (b) log( e x  1)  log( e x  2)  c
2 3
1 1 1 1
(c) log( e x  1)  log( e x  2)  c (d) log( e x  1)  log( e x  2)  c
3 3 3 3

x2
285.
 2
x  6x  3
dx  [AICBSE 1999]
 Indefinite Integral 315

21 x 32 3 21 x 32 3
(a) x  3 log x 2  6 x  3  log c (b) x  3 log x 2  6 x  3  log c
4 3 x 32 3 4 3 x 32 3

21 x 32 3
(c) x  3 log x 2  6 x  3  log c (d) None of these
4 3 x 32 3

ex
286.
 (1  e )(2  e ) dx 
x x

1  ex 
(a) log[(1  e x )(2  e x )]  c (b) log  x 
c (c) log[(1  e x ) 2  e x ]  c (d) None of these
 2  e 

Advance Level

x3  x  2
287.
 (1  x 2 )
dx  [AICBSE 1985]

 x 1  x2  x 1  x2  x 1  x2  x 1  x2
(a) log   c (b) log   c (c) log   c (d) log   c
 x 1  2  x 1  2  x 1  2  x 1  2
x2  x 1
288.
 x2  x  6
dx  [AISSE 1988]

(a) x  log( x  3)  log( x  2)  c (b) x  log( x  3)  log( x  2)  c

(c) x  log( x  3)  log( x  2)  c (d) None of these
dx
289.
 1 x  x 2
 x3
 [MP PET 1991]

1 1
(a) log 1  x  log 1  x 2  tan 1 x  c (b) log 1  x  log 1  x 2  tan 1 x  c
2 2
1
(c) log 1  x 2  log 1  x  tan 1 x  c (d) log 1  x  tan 1 x  log 1  x 2  c
2
x3 1
290.
 x3  x
dx  [Roorkee 1988, MP PET 2001]

1
(a) x  log x  log( x 2  1)  tan 1 x  c (b) x  log x  log x 2  1  tan 1 x  c
2

(c) x  log x  log x 2  1  tan 1 x  c (d) None of these

3
(1  x )
291.
 (1  x )3
dx 

12 4 12 4
(a) x  6 log 1  x   c (b)  x  6 log 1  x   c
1  x (1  x )2 1  x (1  x )2
12 4
(c)  x  6 log 1  x   c (d) None of these
1  x (1  x )2
dx
292.
 x (x 5  1)
 [CBSE 1997]

1 x5 x5 1 x5 x5
(a) log 5 c (b) 5 log 5
c (c)  log 5 c (d)  5 log 5
c
5 x 1 x 1 5 x 1 x 1

4 e x  6e x
293. If
 9e x  4 e x
dx  Ax  B log( 9 e 2 x  4 )  C then A, B and C are [IIT 1990]
316 Indefinite Integral
3 36 3 3 35 3
(a) A , B , C  log 3  constant (b) A , B , C  log 3  constant
2 35 2 2 36 2
3 35 3
(c) A , B , C   log 3  constant (d) None of these
2 36 2
x
294.
 4
x 1
dx 

1  x2 1 1  x2 1 1  x2 1 1  x2 1

(a) log  2 c (b) log  2 c (c) log  2 c (d) log  2 c
4  x  1  4  x  1  2  x  1  2  x  1 
dx
295.
 sin x  sin 2 x  [IIT 1984; J & KCET 1995]

1 1 2 2
(a) log (1  cos x )  log (1  cos x )  log (1  2 cos x )  c (b) 6 log(1  cos x )  2 log(1  cos x )  log(1  2 cos x )  c
6 2 3 3
1 2
(c) 6 log(1  cos x )  log(1  cos x )  log(1  2 cos x )  c (d) None of these
2 3
cos 3 x  cos 5 x
296. The value of
 sin 2 x  sin 4 x
dx is

(a) sin x  6 tan 1 (sin x )  c (b) sin x  2(sin x )1  c

(c) sin x  2(sin x )1  6 tan 1 (sin x )  c (d) sin x  2(sin x )1  5 tan 1 (sin x )  c

Reduction formulae for some Special cases, Integration of form

 sin   
m
x cos n x dx , sin mx cos nx dx , sin mx sin nx dx , cos mx cos nx dx

Basic Level

 tan
4
297. x dx 

1 1 1
(a) tan 3 x  tan x  x  c (b) tan 3 x  tan x  x  c (c) tan 3 x  tan x  x  c (d) tan 3 x  tan x  2 x  c
3 3 3

 sec
3
298. The value of x dx will be [UPSEAT 1999]

1 1
(a) [sec x tan x  log(sec x  tan x )] (b) [sec x tan x  log(sec x  tan x )]
2 3
1 1
(c) [sec x tan x  log(sec x  tan x )] (d) [sec x tan x  log(sec x  tan x )]
4 8

 sec
2/3
299. x . cosec 4 / 3 x dx 

(a)  3(tan x )1 / 3  c (b)  3(tan x )1 / 3  c (c) 3(tan x )1 / 3  c (d) (tan x )1 / 3  c

 sin
4
300. x cos 3 x dx = [CBSE 1985]

1 1 1 1 1 1
(a) sin 5 x  sin7 x  c (b) sin 5 x  sin7 x  c (c)  sin 5 x  sin7 x  c (d) None of these
5 7 5 7 5 7

 sin
3
301. xdx is equal to [SCRA 1996]

cos 3 x 1 3
(a) sin 2 x  1 (b) sin x 2  x 2  1 (c)  cos x (d) sin 4 x  sin 2 x
3 4 4
302. Which value of constant not integration makes the value of integral of sin 3 x. cos 5 x equal to zero at x  0 [Roorkee 1971]
(a) 0 (b) –3/16 (c) –5/6 (d) 1/8

303.
 sin 2 x. sin 3 x dx equals [Rajasthan PET 1989]
 Indefinite Integral 317
(sin x  sin 5 x ) (sin x  sin 5 x ) (5 sin x  sin 5 x )
(a) c (b) c (c) c (d) None of these.
2 10 10

304.
 cos 2 x. sin 4 xdx equals

cos 2 x cos 6 x  cos 2 x cos 6 x   cos 2 x cos 6 x 

(a)  c (b)   c (c)   c (d) None of these.
2 6  2 6   4 12 

sin 5 x
305.
 cos 7 x . cos 2 x
dx is equal to

(a) log sec 7 x  c (b) log sec 7 x . sec 2 x  c (c) log sec 7 x  sec 2 x  c (d) None of these

 cos
5
306. x dx 

2 1 2 1
(a) sin x  sin 3 x  sin 5 x  c (b) sin x  sin 3 x  sin 5 x  c
3 5 3 5

2 1
(c) sin x  sin 3 x  sin 5 x  c (d) None of these
3 5

Advance Level

1   
 cot
4
307. If f (x )  xdx  cot 3 x  cot x and f    then f (x ) 
3 2 2


(a) x (b) x  (c)  x (d) x
2

Integration of Hyperbolic Functions

Basic Level

dx
308.
 1  cosh x 
x x 1 x
(a) cot h   c (b) tan h   c (c) tan h   c (d) None of these
2 2 2 2

dx
309.
 x (log x )2  3
is equal to

 x   x   x 
(a) sin h 1  log c (b) cos h 1  log c (c) cos h 1  log c (d) None of these
 3   3   2 

(e x  e  x )2
310.
 (e x  e  x )2
dx is equal to

(a) 2 log( e x  e  x )  c (b) 2 log( e x  e  x )  c (c) x  cot hx  c (d) x  cot hx  c

1 x 1
311.
 x x 1
dx equals

(a) cos h 1 x  sec 1 x  c (b) sin h 1 x  sec 1 x  c (c) cos h 1 x  sec 1 x  c (d) sin h 1 x  sec 1 x  c
318 Indefinite Integral

312.
 sec x  1dx is equal to

  x    x    x 
(a) 2 sin h 1  2 cos    c (b)  2 sin h 1  2 cos    c (c)  2 cos h 1  2 cos    c (d) None of these
 2
    2    2 

e
x
313. (sin h x  cos hx ) dx is equal to [Karnataka CET 1993]

(a) e x sec hx  c (b) e x cos hx  c (c) sin h 2 x  c (d) cos h 2 x  c

Integration of Surds like Expression

Basic Level

x5 / 2
314.
 1  x7
dx is

2 1 x7  1
(a) log( x 7 / 2  x 7  1 )  c (b) log 7 c (c) 2 1  x7  c (d) None of these
7 2 x 1
dx
315.
 x 1/5
(1  x 4 / 5 )1 / 2
is

5
(a) 1  x4 / 5  k (b) 1  x4 /5  k (c) x 4 / 5 (1  x 4 / 5 )1 / 2  k (d) None of these
2
2 1 5
 
316.
 x 3 (1  x 2 ) 3 dx is equal to

(a) 3(1  x 1 / 2 ) 1 / 3  c (b) 3(1  x 1 / 2 )2 / 3  c (c) 3(1  x 1 / 2 )2 / 3  c (d) None of these

(x  x 3 )1 / 3
317. The value of
 x4
dx is

4 4 4
3  1 3 3  1 3 1  1 3
(a)  2  1  c (b)   2  1  c (c) 1  2   1 (d) None of these
8  x  8  x  8  x 

(x 4  x )1 / 4
318.
 x5
dx is equal to

5 5 5
4  1 4 4  1 4 4  1 4
(a) 1  3   c (b) 1  3   c (c) 1  3   c (d) None of these
15  x  5  x  15  x 

1 1  x2 1
319. If
 x 1  x3
dx  a log
1  x2 1
 b, then a is equal to

1 2 1 2
(a) (b) (c)  (d) 
3 3 3 3

Advance Level
 Indefinite Integral 319

1
320.
 [(x  1) (x  2) ]
3 5 1/4
dx is equal to

1 1 1 1
4  x 1 4 4  x  2 4 1  x 1 4 1  x  2 4
(a)   c (b)   c (c)   c (d)   c
3 x 2 3  x 1  3 x 2 3  x 1 

1
321.
 (1  x ) 1  x
2 2
dx is equal to

1  2x  1  2x  1  2x 
(a) tan 1   (b) tan 1   (c) tan 1   (d) None of these
2  1  x2  2  1  x2  2  1  x2 
     

x 2 dx
322. Let f (x ) 
 (1  x 2 )(1  1  x 2 )
and f (0 )  0, then f (1) is

 
(a) log(1  2 ) (b) log(1  2 )  (c) log(1  2 )  (d) None of these
4 4

x1/2 2
323. Let
 1x 3
dx 
3
gof (x )  c , then

(a) f (x )  x (b) f (x )  x 3 / 2 (c) f (x )  x 2 / 3 (d) g(x )  sin 1 x

(e) Both b and d

dx
324.
 xx x
is equal to

(a) log x  x x  c (b) 1 x c (c) 4 1 x c (d) None of these

x4 1
325.
 x2 x4  x2 1
dx 

1 x4  x2  1 x4  x2  1
(a) x2  1 (b) (c) (d) Both a and b
x2 x x

dx
326.
 (x   ) (x   )6 / 7
8 /7


1 1 1 1
6  x   6 6  x  6 7  x  7 7  x   7
(a)   (b)   (c)   (d)  
    x    x    x       x  

xdx
327.
 (x 2
 1) (x 2  2)6 / 5
4 /5


1 1 1

2  x 2  2 5 5  x 2  2  5 5  x 2  1  5
(a)   (b) (c) (d) Both (b) and (c)
5  x2 1 
  2  x 2  1  2  x 2  2 

***
320 Indefinite Integral

Assignment (Basic and Advance Level)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
d b a b b c b c c b a c c c a a a a d a
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
b b b a c a d c d d d a a b d b d a b d
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
a b a a c a c d a c c b c a d d b a c b
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
c a b c b c a b b,c b c c c a c a b d a a
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
b c c c b a d b d b c c a a b a b a b c
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
c b a a a b b b a a b a d a c a a c a b
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
c b b c a b b b b d d d a a b a a c a c
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160
d b a c c c a b b c b a a b c d b a b b
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180
b c a a b a a a b b b a a c a a b c d d
181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200
b b b d c b b c c b a c c b d a b a c c
201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220
a c a a b c a a a c d d c b b a a d d b
221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240
d d c a c a a b d b,d a a b b b a c d a c
241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260
b a a a a b b d c a a c b a a a a a a b
261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280
b b a c c b d d a a a a a b a d c b a c
281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300
a d b c b b d b a b c a d a a c b a b b
301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320
c b c c d a d b b d c c b a b b b a a a
321 322 323 324 325 326 327
c b e c d d d