파켓팅

큐브 면으로 스텔라 옥탄굴라

기하학에서 페이싱(faceting, scelling faceting)은 새로운 정점을 만들지 않고 폴리곤, 폴리테론의 일부를 제거하는 과정이다.

면면 다면체의 새로운 가장자리는 면 대각선 또는 내부 공간 대각선을 따라 생성될 수 있다.면으로 된 다면체는 각 가장자리에 두 개의 얼굴을 가지고 새로운 다면체 또는 다면체의 화합물을 만든다.

파상화(faceting)는 스텔링에 대한 상호 또는 이중 과정이다.일부 볼록 폴리토프의 모든 스텔레이션에 대해 이중 폴리토프의 이중 표면이 존재한다.

면 폴리곤

예를 들어, 정규 오각형은 하나의 대칭 면인 펜타그램이 있고, 정규 육각형은 두 개의 대칭 면으로 되어 있는데, 하나는 다각형으로, 하나는 두 개의 삼각형의 복합체로 되어 있다.

일반 이코사면체는 세 가지 일반적인 케플러-푸인소 다면체로 면면될 수 있다: 작은 톱니 도데면체, 큰 이코사면체, 그리고 큰 이코사면체.그들은 모두 30개의 가장자리를 가지고 있다.

볼록스	항성
이코사헤드론	대두면체	작은 톱니 모양의 도데면체	대이코사면체

볼록스	항성	제복별			정점 변환
도데면체	대격포도면체	소직류 이코시-도데카헤드론	직교 도데카-도데카헤드론	대직교 이코시 도데카헤드론	발굴된 도데면체

볼록스	정규 화합물
도데면체	사면체 5개	정육면체 다섯 개	사면체 열 개

잼니처 책에 나오는 이코사면체(위대한 도데면체의 형상을 나타냄)와 펜타키스 도데면체의 면모

표면화는 스텔레이션만큼 광범위하게 연구되지 않았다.

1568년 Wenzel Jamnitzer는 다면체의 많은 장점과 면들을 보여주면서 그의 책 Totoritiva Commonumalium을 출판했다.^[1]
1619년 케플러는 정육면체 내부에 맞는 2개의 4면체의 규칙적인 화합물을 묘사했는데, 이것을 스텔라 옥탄굴라라고 불렀다.
1858년, 베르트랑은 정규 볼록 이코사면체와 도데카면체를 면화하여 정규 항성 다면체(Kepler-Poinsot 다면체)를 도출하였다.
1974년 브릿지는 도데카헤드론을 포함한 일반 다면체의 보다 솔직한 면을 열거했다.
2006년, 인치발드는 다면체의 기초적인 면도 이론을 기술했다.주어진 정점에 대해 도표는 원래 선체의 표면을 형성하는 데 사용할 수 있는 가능한 모든 가장자리와 면(새 면)을 보여준다.이중 다면체의 스텔레이션 다이어그램에 듀얼로, 원심 일부 면면에 가능한 모든 가장자리와 정점을 보여준다.

^ Mathematical treasure: 프랭크 스웨츠가 쓴 웬젤 잼니처의 플라토닉 고형물(2013년) : "5개의 플라토닉 고형물에 대한 이번 연구에서 잼니처는 일반 고형물을 잘리고, 찌르고, 면상을 찍었다 [...]"

Bertrand, J. Note sur la theri des poliédres régulier, Comptes rendus des séans de l'Academie des Science, 46 (1858년), 페이지 79–82.
Bridge, N.J. 도데카면체, Acta crystalographica A30(1974), 페이지 548–552.
Inchbald, G. Facetting diagraphes, The mathematical gazette, 90 (2006), 페이지 253–261.
Alan Holden, Shapes, Space, Symmetry.뉴욕: 도버, 1991. 페이지 94

Weisstein, Eric W. "Faceting". MathWorld.
Olshevsky, George. "Faceting". Glossary for Hyperspace. Archived from the original on 4 February 2007.