격자 가스자동화

LGCA(Lattice Gas automata, 또는 격자 가스 셀룰러 automata)는 유체 흐름을 시뮬레이션하는 데 사용되는 세포 자동화의 일종으로, 하디-포마우-데 파지스와 프리슈-하슬라처-포우(Frisch-Hasslacher-Pomeau)가 개척했다.그들은 볼츠만 격자법의 선구자였다.격자 가스 오토마타로부터, 거시적인 Navier를 유도하는 것이 가능하다.-스토크 방정식.^[1]1990년대 초 볼츠만에 대한 관심이 높아지면서 격자 가스 자동화에 대한 관심이 높아졌다.^[2]그러나 생물학에서 집단 이주를 모형화하는 데 여전히 널리 사용되고^[3] 있는 것은 BEO-LGCA라고 불리는 LGCA 변종이다.

기본 원리

셀룰러 오토매틱으로서, 이 모델들은 격자로 구성되며, 격자 위의 사이트들이 일정 수의 다른 상태를 취할 수 있다.격자 가스에서 다양한 상태는 특정 속도를 가진 입자들이다.시뮬레이션의 진화는 별도의 시간 단계에서 이루어진다.각 시간 단계 후에 주어진 현장의 상태는 해당 시간 단계 이전의 사이트 자체 및 인접 사이트의 상태에 따라 결정될 수 있다.

각 사이트의 상태는 순전히 부울이다.주어진 현장에 각 방향으로 움직이는 입자가 있거나 없거나 있다.

각 단계마다 전파와 충돌이라는 두 가지 과정이 수행된다.^[4]

전파 단계에서 각 입자는 입자가 가졌던 속도에 의해 결정되는 인접 부지로 이동한다.어떤 충돌도 방지하면, 상승속도의 입자는 시간 단계 후에 그 속도를 유지하지만 원래 지점 위의 인접 부지로 이동된다.소위 배제 원칙은 둘 이상의 입자가 같은 방향으로 같은 링크 위에서 이동하는 것을 방지한다.

충돌 단계에서는 여러 개의 입자가 동일한 부지에 도달하면 어떤 일이 일어나는지 결정하기 위해 충돌 규칙을 사용한다.이러한 충돌 규칙은 대량 보존을 유지하고 총 모멘텀을 보존하기 위해 필요하다. 블록 셀룰러 자동 모델을 사용하여 이러한 보존법을 달성할 수 있다.^[5]배타원리는 두 입자가 같은 링크에서 반대 방향으로 이동하는 것을 방해하지 않는다는 점에 유의하십시오. 이 경우 두 입자가 충돌하지 않고 서로 통과하게 된다.

사각 격자로 초기 시도

1973년과 1976년에 발표된 논문에서 하디, 포에로, 데 파지스는 최초의 라티스 볼츠만 모델을 소개했는데, 이 모델을 작가들의 이름을 따서 HPP 모델이라고 한다.HPP 모델은 유체 입자 상호작용의 2차원 모델이다.이 모델에서 격자는 정사각형이며, 입자는 단위 속도로 이산 시간까지 독립적으로 이동한다.이 입자들은 세포가 공통의 가장자리를 공유하는 4개의 부위 중 어느 곳으로든 이동할 수 있다.입자는 대각선으로 움직일 수 없다.

만약 두 개의 입자가 정면으로 충돌한다면, 예를 들어 왼쪽으로 움직이는 입자가 오른쪽으로 움직이는 입자와 만난다면, 결과는 그들이 들어온 방향과 직각으로 현장을 떠나는 두 개의 입자가 될 것이다.^[6]

HPP 모델은 회전 불변성이 부족하여 비등방성이 매우 높았다.이는 예를 들어 HPP 모델에 의해 생산된 항구가 사각형이라는 것을 의미한다.^[7]

육각 격자

육각 격자 모델은 1986년 유리엘 프리스치, 브로슬 하슬라처, 이브 포에로의 논문에서 처음 소개되었으며, 이는 발명가들의 이름을 따서 FHP 모델로 알려지게 되었다.이 모델은 사용되는 변동에 따라 6~7개의 속도를 가진다.어쨌든, 6개의 속도는 각각의 이웃 사이트로의 이동을 나타낸다.일부 모델(FHP-III 및 FHP-III라 함)에서는 "정지 상태"의 입자를 나타내는 7번째 속도가 도입된다."정지 상태" 입자는 인근 부지에 전파되지 않지만 다른 입자와 충돌할 수 있다.FHP-III 모델은 밀도와 추진력을 보존하는 모든 가능한 충돌을 허용한다.^[8]충돌 횟수를 늘리면 레이놀즈 수가 증가하므로 FHP-II와 FHP-III 모델은 6단 FHP-I 모델보다 덜 비스코스적인 흐름을 시뮬레이션할 수 있다.^[9]

FHP 모델의 단순 업데이트 규칙은 입자 수와 운동량을 보존하기 위해 선택한 두 단계로 진행된다.첫 번째는 충돌 처리다.FHP 모델의 충돌 규칙은 결정론적이지 않으며, 일부 입력 상황은 두 가지 가능한 결과를 생성하며, 이 경우 그 중 하나를 무작위로 선택한다.난수생성은 완전한 연산수단을 통해서는 가능하지 않기 때문에, 가성방정 과정이 보통 선택된다.^[10]

충돌 단계 후 링크의 입자가 현장을 떠난다.만약 어떤 부지에 정면으로 접근하는 두 개의 입자가 있다면, 그들은 흩어진다.추진력을 보존하는 두 가지 가능한 나가는 방향 사이에서 무작위로 선택한다.

육각 격자는 HPP 사각 격자 모델을 괴롭히는 것만큼 큰 음이소트로피 문제를 겪지 않는데, 이것은 전적으로 명백하지 않은 다행스러운 사실이며, 그것이 Frisch가 "대칭 신은 자애롭다"^[11]고 말하게 만들었다.

삼차원

3차원 그리드의 경우 전체 공간을 채우는 유일한 규칙적인 폴리토프는 큐브인 반면 대칭군이 충분히 큰 규칙적인 폴리토프는 도데카헤드론과 이코사헤드론뿐이다(두 번째 제약을 받지 않으면 모델은 HPP 모델과 동일한 단점을 겪게 된다).따라서 3차원을 태클하는 모델을 만들려면 D'에 의한 1986년 모델과 같이 차원의 수가 증가해야 한다.얼굴 중심의 하이퍼큐브 모델을 채용한 후미에르, 랄레만드, 프리스치.^[12]

거시적 수량 확보

현장의 밀도는 각 현장의 입자 수를 세면 알 수 있다.합계를 하기 전에 입자를 단위 속도로 곱하면 현장에서 탄력을 얻을 수 있다.^[13]

그러나 개별 현장에 대한 밀도, 운동량 및 속도 계산은 많은 양의 소음을 발생시키며, 실제로 더 합리적인 결과를 얻기 위해 더 큰 지역에 걸쳐 평균을 낸다.앙상블 평균은 종종 통계적 소음을 더 줄이기 위해 사용된다.^[14]

장단점

격자 가스 모델이 보유하고 있는 주요 자산은 부울 상태가 부동소수점 정밀도로 인한 반올림 오차 없이 정확한 컴퓨팅이 존재함을 의미하며, 셀룰러 오토마타 시스템은 병렬 컴퓨팅으로 격자 가스 자동 시뮬레이션을 실행할 수 있게 해준다.^[15]

격자 가스법의 단점으로는 갈릴레이의 불변성 부족, 통계적 소음 등이 있다.^[16]또 다른 문제는 3차원 문제를 다루기 위해 모델을 확장하는 것이 어렵다는 것이며, 그러한 문제들을 다루기 위해 충분히 대칭적인 그리드를 유지하기 위해 더 많은 차원을 사용해야 한다.^[12]

생물학의 모델로서

격자 가스 세포 자동자는 생물학에서 집단 이주를 모형화하는 데 여전히 널리 사용되고 있다.생물학적 작용제의 활성성과 더불어 세포가 살고 있는 점성 환경 때문에 모멘텀 보존이 필요하지 않다.게다가, 대원들은 죽거나 번식할 수 있기 때문에 대량 보존 또한 없을 수도 있다.충돌 단계 동안, 입자들은 볼츠만 분포에 따라 확률적으로 방향을 바꾸며, 개인들 간의 국소적 상호작용을 시뮬레이션한다.

메모들

참조

• Sauro Succi (2001). The Lattice Boltzmann Equation, for fluid dynamics and beyond. Oxford Science Publications. ISBN 0-19-850398-9. (2장은 격자 가스 셀룰러 오토마타에 관한 것이다)
• 제임스 맥스웰 뷰익(1997년).계면파 모델링에서 격자 볼츠만 방법.에든버러 대학의 박사 논문. (3장은 격자 가스 모델에 관한 것이다.) (archive.org) 2008-11-13
• Dieter A. Wolf-Gladrow (2000). Lattice-Gas Cellular Automata and Lattice Boltzmann Models. Springer. ISBN 3-540-66973-6.

외부 링크

• (프랑스어) 마스터 논문(2000) – FHP LGA의 프로그래밍 및 시뮬레이션 최적화에 관한 세부사항
• (폴란드어 및 영어) 마스터 논문(2010) - Nvidia CUDA 기술에 FHP 모델의 구현.