님버

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수학에서는 그룬디 숫자라고도 불리는 님들이 콤비네이터 게임 이론에 도입되는데, 님 게임에서 힙의 가치로 정의된다.날렵한 숫자는 날렵한 덧셈과 날렵한 곱셈이 부여된 순서형 숫자로, 순서형 덧셈과 순서형 곱셈과는 구별된다.

모든 공명정대한 게임은 일정한 크기의 님 힙에 해당한다는 스프래그-그룬디 정리 때문에 훨씬 더 많은 종류의 공명정대한 게임에서 민첩성이 발생한다.그것들은 또한 도미니어링과 같은 당파적 게임에서도 발생할 수 있다.

님버는 특정 스키마를 따라 좌우 옵션이 동일하고, 자신의 음수라는 특징을 가지고 있는데, 이는 보다 낮은 값의 서수를 찾기 위해 님버 덧셈을 사용하여 또 다른 양의 서수에 양의 서수를 추가할 수 있다.^[1]최소 절취제 작동은 발광제 세트에 적용된다.

사용하다

님

님은 두 선수가 번갈아 가며 뚜렷한 힙의 물체를 제거하는 게임이다.현재 두 선수 중 누가 움직이고 있는지, 보수가 대칭적인지에 따라 움직임이 달라지기 때문에 님은 공정한 경기다.각 회전마다 플레이어는 적어도 하나의 물체를 제거해야 하며, 모든 물체가 동일한 힙에서 나온다면 얼마든지 제거할 수 있다.게임의 목표는 마지막 물건을 제거하는 선수가 되는 것이다.더 빠른 덧셈을 사용하면 각 힙을 합쳐서 힙에 대한 님 값을 제공할 수 있다.나아가 모든 힙합을 잽싸게 덧셈으로 합칠 수 있기 때문에 경기 전체의 민첩성을 계산해 볼 수 있다.이 게임의 승리 전략은 상대 턴을 위해 경기의 누적 민첩성을 0으로 강제하는 것이다.^[2]

벼락치기

크램은 직사각형 보드에서 종종 플레이어가 도미노를 더 이상 배치할 수 없을 때까지 수평 또는 수직으로 번갈아 배치하는 게임이다.첫 번째로 움직일 수 없는 선수가 진다.두 선수 모두 가능한 움직임이 같은 만큼 공정한 경기인 만큼 빠른 가치를 가질 수 있다.각 행과 열을 힙으로 간주하면 게임의 가치는 더 빠른 덧셈을 사용한 모든 행과 열의 합이다.예를 들어, 2xn 보드는 짝수 n의 경우 민첩성이 0이고 홀수 n의 경우 민첩성이 1이다.

노스코트 게임

한정된 수의 공간이 있는 기둥을 따라 선수별로 페그를 배치하는 게임.각 회전을 할 때마다 각 플레이어는 해당 피스를 기둥 위 또는 아래로 이동해야 하지만, 다른 플레이어의 피스를 지나서는 안 된다.여러 개의 기둥이 함께 쌓여서 복잡성을 가중시킨다.더 이상 움직일 수 없는 선수가 진다.다른 많은 민첩한 관련 게임과 달리 각 행에 있는 두 토큰 사이의 공간은 님 힙의 크기다.상대가 두 토큰 사이의 공백 수를 늘리면 다음 번에 축소하십시오.그렇지 않으면 님 게임을 하고 각 행에 있는 토큰 사이의 공간 수의 님섬을 0으로 만든다.^[3]

하켄부시

해켄부시는 수학자 존 호튼 콘웨이가 발명한 게임이다.그것은 끝점과 "접지" 라인에 의해 서로 연결된 컬러 선 세그먼트의 모든 구성에서 재생될 수 있다.플레이어는 번갈아 가며 라인 세그먼트를 제거한다.공정한 게임 버전, 즉 민첩성을 사용하여 분석할 수 있는 게임은 라인과의 구분을 제거하여 어느 쪽이든 지점을 절단할 수 있다.접지선에 연결하기 위해 새로 제거된 세그먼트에 의존하는 모든 세그먼트도 제거된다.이런 식으로 지면에 연결되는 각각의 연결은 더 빠른 값을 가진 님 힙으로 간주할 수 있다.게다가, 모든 분리된 지선 연결은 또한 게임 상태의 민첩성으로 요약될 수 있다.

덧셈

님버 덧셈( 님 덧셈이라고도 함)을 사용하여 님 힙의 집합에 해당하는 님 힙의 크기를 계산할 수 있다.에 의해 재귀적으로 정의된다.

α ⊕ β = 메x({α′ β : α' < α> ∪ {α ⊕ β′ : β′ < β}),

여기서, 서수의 S 집합의 최소 배설물 mex(S)는 S의 요소가 아닌 최소 서수로 정의된다.

유한 서수의 경우, 님섬은 해당 숫자의 비트 배타적 또는 (XOR, ⊕으로 표시)을 취함으로써 컴퓨터에서 쉽게 평가된다.예를 들어, 7과 14의 님 합은 111로 7을 쓰고, 14를 1110으로 쓰면 1이 되고, 2가 되고, 2가 되고, 2가 되고, 0이 되고, 4가 되고, 2가 되고, 0이 되고, 8가 되면 1이 된다.그래서 님섬은 이진수 1001로 쓰이거나 소수수 9로 쓴다.

이러한 추가 속성은 mex와 XOR가 모두 Nim에게 승리 전략을 제시하며 단 하나의 그러한 전략이 있을 수 있다는 사실에서 비롯된다. 또는 유도하여 직접 보여줄 수 있다.α와 β를 두 개의 유한 서수자로 하고, 그 중 하나를 줄인 모든 쌍의 님섬이 이미 정의되어 있다고 가정한다.α를 가진 XOR가 α ⊕ β인 유일한 숫자는 β이고, 그 반대로 α α β는 제외된다.반면에 어떤 순서 γ<>,;α ⊕ β, XORing ξ ≔ 모든 α, β과 γ과 α ⊕ β ⊕ γ 그들 중 하나(이후 선두 1ξ에서 최소한 하나의 3명 중에 있어야 합니다)에 대한 감소로 이어진다;그 ξ ⊕ γ)α⊕ β>γ, 우리는α 을 먹어야 한다. ξ ⊕ α)β⊕ γ 또는β>ξ ⊕ β)α⊕ γ하므로 γ(β ⊕ γ)⊕ β 또는α ⊕(α ⊕ γ), 포함되어 있다.따라서 α ⊕β는 최소 제외 서수형이다.

곱하기

Nimber 곱하기(nim- 곱하기)는 다음에 의해 반복적으로 정의된다.

α β = 메x({α′ β⊕ α β′ α' βα : αα < α, ββ < β}).

민첩한 자가 세트가 아닌 적절한 계급을 형성한다는 점을 제외하면, 민첩한 계급은 특성 2의 대수적으로 닫힌 분야를 결정한다.더 빠른 덧셈 정체는 서수 0이고, 더 빠른 곱셈 정체는 서수 1이다.특성 2를 따라 서수 α의 더 빠른 첨가물 역은 α 그 자체다.0이 아닌 서수 α의 님버 승수 역은 1/α = mex(S)로 주어지며, 여기서 S는 다음과 같은 서수(님버)의 가장 작은 집합이다.

1. 0은 S의 요소다.
2. 0 < α′ < α와 β′이 S의 원소라면, [1 + (α′ - α) β′] / α′ 역시 S의 원소다.

모든 자연수 n에 대해, 2 미만의²ⁿ 님버 집합은 순서 2의²ⁿ 갈루아 필드 GF(2²ⁿ)를 형성한다.따라서 유한 님버의 집합은 GF(2²ⁿ) 필드의 n → ∞로서 직접 한계까지 이형성이 있다.이 하위 필드는 대수적으로 닫히지 않는데, 왜냐하면 k의 검정력이 2인 필드 GF(2^k)가 그러한 필드 중 어떤 필드에도 포함되어 있지 않기 때문이다. 따라서 직접적인 한계에는 포함되지 않는다. 예를 들어 GF³(2)에 루트가 있는 다항식³ x + x + 1은 유한한 님버 집합에 루트가 없다.

더 날렵한 덧셈의 경우와 마찬가지로 유한한 서수의 더 날렵한 제품을 계산하는 수단이 있다.이것은 다음과 같은 규칙에 의해 결정된다.

1. 적은 수의 Fermat 2-power(형식 2의²ⁿ 숫자)의 더 빠른 제품은 일반 제품과 동일하다.
2. 페르마 2-파워 x의 더 빠른 제곱은 자연수의 일반적인 곱셈에 따라 평가된 3x/2와 같다.

가장 작은 대수적으로 닫힌 님버의 장은 서수 Ω보다^ωω 작은 님버들의 집합이며, 여기서 Ω은 가장 작은 무한 서수이다.그 뒤를 이어 Ω은^ωω 현장을 초월한다.^[4]

덧셈 및 곱셈표

다음 표는 처음 16명의 님버들 사이의 덧셈과 곱셈을 보여준다.
16은 양식 2이기 때문에 이 부분 집합은²ⁿ 두 작업에서 닫힌다. (단순 텍스트 테이블을 선호하면 여기에 있다.)

참고 항목

• 초현실수

메모들

참조