노노미노

Nonomino
노노미노 또는 직소선데이 텔레그래프에서 본 스도쿠 퍼즐

노노미노(또는 enneomino 또는 9-mino)는 [1]9차 폴리오미노, 즉 모서리끼리 연결된 9개의 동일한 크기의 정사각형으로 구성된 평면 내의 폴리곤입니다.이 유형의 그림의 이름은 접두사 non(a)-로 형성됩니다.회전과 반사가 뚜렷한 모양으로 간주되지 않을 경우 1,285개의 서로 다른 자유 노노미노가 있습니다.반사를 구별하는 것으로 간주할 때, 2,500개의 단측 논노미노가 있습니다.회전도 구별되는 것으로 간주할 때 고정 비omino는 9,[2]910개입니다.

대칭

1,285개의 자유 비오미노는 대칭 [2]그룹에 따라 분류할 수 있습니다.

  • 1,126개의 논미노는 대칭성이 없다.대칭 그룹은 오직 아이덴티티 매핑으로만 구성됩니다.
  • 38개의 노노미노는 격자선에 정렬된 반사 대칭 축을 가진다.대칭 그룹에는 정사각형의 변에 평행한 선의 동일성과 반사라는 두 가지 요소가 있습니다.

Reflection-symmetric-nonominoes-90-deg.svg

  • 26개의 비omino는 격자선에 대해 45°의 반사 대칭 축을 가진다.대칭 그룹에는 동일성과 대각선 반사라는 두 가지 요소가 있습니다.

Reflection-symmetric nonominoes 45-deg.svg

  • 19개의 비오미노는 2차 회전 대칭이라고도 하는 점 대칭을 가집니다.대칭 그룹에는 항등식과 180° 회전이라는 두 가지 요소가 있습니다.

C2-Rotation-symmetric nonominoes.svg

  • 4개의 비omino는 두 개의 반사 대칭 축을 가지며, 둘 다 격자선과 정렬됩니다.대칭 그룹에는 4개의 요소, 즉 동일성, 2개의 반사 및 180° 회전이 있습니다.클라인 4군이라고도 하는 2차 2면체 군입니다.

D2 Rotation and Reflection Symmetric Nonominoes.svg

  • 2개의 비omino는 격자선과 대각선에 정렬된 4개의 반사 대칭 축과 순서 4의 회전 대칭을 가지고 있습니다.대칭군인 4차 이면체군은 8개의 원소를 가지고 있다.

D4 Rotation and Reflection Symmetric Nonominoes.svg

옥토미노와 달리 4차 회전 대칭을 가지거나 대각선과 정렬된 두 개의 반사 대칭 축을 가진 비오미노는 없습니다.

단측 비오미노와 마찬가지로 비오미노의 반사가 구별되는 것으로 간주되는 경우, 첫 번째와 네 번째 범주는 크기가 두 배로 증가하여 총 2,500개의 비오미노를 추가로 생성한다.회전도 구별되는 것으로 간주될 경우 첫 번째 카테고리의 논옴니아는 8배, 다음 세 가지 카테고리의 논옴니아는 4배, 다섯 번째 카테고리 논옴니아는 2배, 마지막 카테고리 논옴니아는 1회만 카운트됩니다.그 결과 1,196 × 8 + (38+26+19) × 4 + 4 × 2 + 2 = 9,910개의 고정 비노미노가 발생한다.

포장 및 타일링

Conway criterion false negative nonominoes.svg

37개의 비오미노에는 [3][4]구멍이 있다.따라서 완전한 세트를 직사각형으로 채울 수 없으며 모든 비omino에 타일링이 있는 것은 아닙니다.1285개의 프리노미노 중 960개가 Conway 기준을 충족하고 88개가 더 기준을 충족하는 패치를 형성할 수 있습니다.그러나 1050(1048이 아님) 프리 비오미노는 오른쪽에 표시된 두 가지 예외인 [5]타일링을 허용합니다.이것은 그러한 예외가 존재하는 [6]폴리오미노의 최저 차수이다.

하나의 노노미노는 두 개의 정사각형 구멍(맨 위 줄에서 두 번째 오른쪽)을 가지고 있으며 이러한 구멍이 있는 가장 작은 폴리오미노입니다.

The 37 Nonominoes with Holes.svg

레퍼런스

  1. ^ Golomb, Solomon W. (1994). Polyominoes (2nd ed.). Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-02444-8.
  2. ^ a b Redelmeier, D. Hugh (1981). "Counting polyominoes: yet another attack". Discrete Mathematics. 36: 191–203. doi:10.1016/0012-365X(81)90237-5.
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Polyomino". MathWorld.
  4. ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A001419 (Number of n-celled polyominoes with holes)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
  5. ^ Rawsthorne, Daniel A. (1988). "Tiling complexity of small n-ominoes (n<10)". Discrete Mathematics. 70: 71–75. doi:10.1016/0012-365X(88)90081-7.
  6. ^ Rhoads, Glenn C. (2005). "Planar tilings by polyominoes, polyhexes, and polyiamonds". Journal of Computational and Applied Mathematics. 174 (2): 329–353. doi:10.1016/j.cam.2004.05.002.