在群論 中，循環群 （英文 ：cyclic group），是指能由單個元素所生成 群 。有限 循环群同构 于整数 同余 加法群
Z
/
n
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} {\big /}n\mathbb {Z} }
同构 于整数加法群。每個循環群都是阿贝尔群 ，亦即其運算是可交換的 。在群论中，循环群的性质已经被研究的较为透彻，是更为复杂的代数研究中常用到的基础工具。
6次单位根 在乘法下形成循環群。z z 2 不是，因為z 冪 不是z 2 的冪。 设
(
G
,
⋅
)
{\displaystyle (G,\cdot )}
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
G
=
⟨
g
⟩
=
{
g
k
|
k
∈
Z
}
{\displaystyle G=\left\langle \,g\,\right\rangle =\left\{g^{k}|\;k\in \mathbb {Z} \right\}}
(
G
,
⋅
)
{\displaystyle (G,\cdot )}
循环群 。群
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
子群 。
令循环群
G
=
{
g
k
|
k
∈
Z
}
{\displaystyle G=\left\{g^{k}|\;k\in \mathbb {Z} \right\}}
m
,
n
{\displaystyle m,n}
g
m
=
g
n
{\displaystyle g^{m}=g^{n}}
d
=
|
m
−
n
|
{\displaystyle d=\vert m-n\vert }
g
d
=
e
{\displaystyle g^{d}=e}
e
{\displaystyle e}
k
{\displaystyle k}
g
k
=
g
r
{\displaystyle g^{k}=g^{r}}
r
{\displaystyle r}
k
{\displaystyle k}
除以
d
{\displaystyle d}
0
≤
r
≤
d
−
1
{\displaystyle 0\leq r\leq d-1}
G
{\displaystyle G}
有限群 。设
d
m
{\displaystyle d_{m}}
G
{\displaystyle G}
G
=
{
g
k
|
k
=
0
,
1
,
…
,
d
m
−
1
}
{\displaystyle G=\left\{g^{k}|\;k=0,1,\ldots ,d_{m}-1\right\}}
可以证明它同构 于模
d
m
{\displaystyle d_{m}}
(
Z
/
d
m
Z
,
+
)
{\displaystyle \left(\mathbb {Z} {\big /}d_{m}\mathbb {Z} ,+\right)}
n
{\displaystyle n}
同构 的意义上）阶 為此正整數
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
(
Z
/
n
Z
,
+
)
{\displaystyle \left(\mathbb {Z} {\big /}n\mathbb {Z} ,+\right)}
(
Z
,
+
)
{\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,+\right)}
例如，
G
=
{
e
,
g
,
g
2
,
g
3
,
g
4
,
g
5
}
{\displaystyle G=\left\{e,g,g^{2},g^{3},g^{4},g^{5}\right\}}
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
同構 於模
6
{\displaystyle 6}
Z
6
=
{
0
¯
,
1
¯
,
2
¯
,
3
¯
,
4
¯
,
5
¯
}
{\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}},{\overline {4}},{\overline {5}}\right\}}
映射 ：
φ
:
G
⟶
Z
6
{\displaystyle \varphi :\;G\longrightarrow \mathbb {Z} _{6}}
g
k
↦
k
¯
{\displaystyle \left.\;\,\right.g^{k}\,\mapsto \;\,{\overline {k}}}
可以证明其为群同态 ，而且是双射 ，因此是群同构 。
由于循环群必然是阿貝爾群 ，且与加法群
Z
/
n
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} {\big /}n\mathbb {Z} }
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
Z
n
{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}
p 環 或群的局部化 的標記相衝突，容易混淆。因此，数论中一般直接记作
Z
/
n
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} {\big /}n\mathbb {Z} }
C
n
{\displaystyle C_{n}}
每一個循環群要么同構 于整数模
n
{\displaystyle n}
Z
n
=
{
0
¯
,
1
¯
,
2
¯
,
⋯
,
n
−
1
¯
}
{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}=\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},\cdots ,{\overline {n-1}}\right\}}
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
Z
n
{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
G
{\displaystyle G}
n
{\displaystyle n}
[ N 1]
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
G
{\displaystyle G}
交換群 。這是因為
g
+
h
≡
h
+
g
(
mod
n
)
{\displaystyle g+h\equiv h+g{\pmod {n}}}
若
n
{\displaystyle n}
g
n
=
e
{\displaystyle g^{n}=e}
n
≡
0
(
mod
n
)
{\displaystyle n\equiv 0{\pmod {n}}}
n
{\displaystyle n}
g
k
=
e
{\displaystyle g^{k}=e}
k
{\displaystyle k}
若
n
{\displaystyle n}
G
{\displaystyle G}
1
{\displaystyle 1}
−
1
{\displaystyle -1}
若
n
{\displaystyle n}
G
{\displaystyle G}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
互质 的数的同余类。例如当
n
=
12
{\displaystyle n=12}
G
{\displaystyle G}
Z
12
{\displaystyle \mathbb {Z} _{12}}
1
¯
,
5
¯
,
7
¯
,
11
¯
{\displaystyle {\overline {1}},{\overline {5}},{\overline {7}},{\overline {11}}}
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
m
{\displaystyle m}
m
{\displaystyle m}
G
{\displaystyle G}
m
Z
{\displaystyle m\mathbb {Z} }
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
设
p
{\displaystyle p}
質數 ，則阶為
p
{\displaystyle p}
同构 于
p
{\displaystyle p}
兩個循環群的直積
Z
n
×
Z
m
{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{m}}
若且唯若
n
{\displaystyle n}
m
{\displaystyle m}
互質 。故
Z
12
{\displaystyle \mathbb {Z} _{12}}
Z
3
×
Z
4
{\displaystyle \mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{4}}
Z
2
×
Z
6
{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{6}}
[ N 2]
阿貝爾群的基本定理 说明每一個有限生成阿貝爾群 都是有限多個循環群的直積。在二維和三維空间裡，
n
{\displaystyle n}
旋轉對稱 的對稱群 為
C
n
{\displaystyle C_{n}}
Z
n
{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}
三維點群 。
需留意的是，圓 的所有旋轉所組成之群S 1 (圓群 )不是循環的，甚至不是可數 的。
n
{\displaystyle n}
單位根 形成一個关于乘法的
n
{\displaystyle n}
每一個有限域 之有限扩张 的伽羅瓦群 是有限且循環的；相反地，給定一有限域F 和一有限循環群
G
{\displaystyle G}
F
{\displaystyle F}
G
{\displaystyle G}
有限循環群的環圖 全是有著其元素在各個角上的
n
{\displaystyle n}
所有循環群的子群 及商群 都是循環群。特別地，
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
m
Z
{\displaystyle m\mathbb {Z} }
m
{\displaystyle m}
m
{\displaystyle m}
m
Z
{\displaystyle m\mathbb {Z} }
m
=
0
{\displaystyle m=0}
同構 於
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
子群格 同構於以可除性 排序之自然數格的對偶 。除了一個平凡的反例
Z
∖
{
0
}
{\displaystyle \mathbb {Z} \backslash \{0\}}
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
n
{\displaystyle n}
d
{\displaystyle d}
Z
/
n
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
d
{\displaystyle d}
n
/
d
{\displaystyle n/d}
n
{\displaystyle n}
特別地，一個循環群是單群 若且唯若其元素數目為質數。
舉一個實際的問題，給定一個
n
{\displaystyle n}
C
{\displaystyle C}
g
{\displaystyle g}
k
{\displaystyle k}
g
k
{\displaystyle g^{k}}
m
{\displaystyle m}
m
{\displaystyle m}
m
k
{\displaystyle mk}
n
{\displaystyle n}
n
/
t
{\displaystyle n/t}
t
{\displaystyle t}
k
{\displaystyle k}
n
{\displaystyle n}
最大公因數 。換句話說，由
g
k
{\displaystyle g^{k}}
指標 為
t
{\displaystyle t}
數論 中被稱為指標計算演算法
阿貝爾群
Z
n
{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}
自同態環 會同構 於此阿貝爾群，且使其構成一個環 。在此同構之下，數字
r
{\displaystyle r}
n
{\displaystyle n}
Z
n
{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}
r 和n 互質時會是個雙射函數，所以
Z
n
{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}
自同構群 會同構於群
Z
n
×
{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{\times }}
Z
n
{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}
Z
n
{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}
特徵群 ，且此一群的建構會直接導致對狄利克雷特徵 的定義。
相似地，加法群
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
{
−
1
,
+
1
}
≅
Z
2
{\displaystyle \{-1,+1\}\cong \mathbb {Z} _{2}}
一個群稱為逼肖循環 （virtually cyclic）的，如果這個群包含一個有限指數的循環子群。換言之，一個逼肖循環群的任何元素，都可表示為這個循環子群的一個元素乘以群中某個有限子集的一個元素。一個無限群是逼肖循環的，當且僅當這個群是有限生成 並且正好有兩個端 。[ 1]
Z
/
n
{\displaystyle \mathbb {Z} /n}
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
直積 ，因子
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
n
{\displaystyle n}
格羅莫夫雙曲群 的阿貝爾 子群都是逼肖循環群。[ 2]
^ n n ^
Z
2
{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}
Z
6
{\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}
^ Stallings, John, Groups of cohomological dimension one, Applications of Categorical Algebra (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XVIII, New York, 1968), Providence, R.I.: Amer. Math. Soc.: 124–128, 1970, MR 0255689 p. 126 : "If G has two ends, the explicit structure of G is well known: G is an extension of a finite group by either the infinite cyclic group or the infinite dihedral group."^ Alonso, J. M.; Brady, T.; Cooper, D.; Ferlini, V.; Lustig, M.; Mihalik, M.; Shapiro, M.; Short, H., Notes on word hyperbolic groups, Group theory from a geometrical viewpoint (Trieste, 1990) (PDF) , River Edge, NJ: World Scientific, Corollary 3.6, 1991 [2014-04-01 ] , MR 1170363 原始内容 (PDF) 存档于2013-04-25）
Gallian, Joseph, Contemporary abstract algebra 4th, Boston: Houghton Mifflin, 1998, ISBN 978-0-669-86179-2（英语） Herstein, I. N., Abstract algebra 3rd, Prentice Hall , 1996, ISBN 978-0-13-374562-7MR 1375019