Espaciu métricu

En matemática, un espaciu métricu ye un conxuntu que lleva asociada una función alloña, esto ye, qu'esta función ta definida sobre dichu conxuntu, cumpliendo propiedaes atribuyíes a la distancia, de cuenta que pa cualquier par de puntos del conxuntu, estos tán a una cierta distancia asignada por dicha función.

En particular, cualquier espaciu métricu va ser, amás, un espaciu topolóxicu porque cualquier función de distancia definida sobre un conxuntu dau induz una topoloxía sobre dichu conxuntu. Trátase de la topoloxía inducida poles boles abiertes acomuñaes a la función alloña del espaciu métricu.

Definiciones

Definición d'espaciu métricu

Formalmente, un espaciu métricu ye un conxuntu $M$ (a que los sos elementos denominar puntos) con una función distancia acomuñada (tamién llamada una métrica) $d:M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ (onde $\mathbb {R}$ ye'l conxuntu de los númberos reales). Dicir $d$ ye una alloña sobre $M$ ye dicir que pa tou $x$ , $y$ , $z$ en $M$ , esta función tien de satisfaer les siguientes condiciones o propiedaes d'una distancia:

$d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$
$d(x,y)=d(y,x)\,$ (simetría)
$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\,$ (desigualdá triangular).
$d(x,y)\geq 0$ (positividad)

La cuarta propiedá deducir de los trés anteriores y por tanto nun sería un axoma pero convien recordala

Delles definiciones acomuñaes a un espaciu métricu

Sía $(M,d)\!$ un espaciu métricu, y sían $a\in M\!$ y $r\in \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}\!$ un puntu de $M\!$ y un númberu real positivu o cero, respeutivamente:

Llámase bola (abierta) centrada en $a$ y de radio $r$ , al subconxuntu de $M\!$ : $\{x\in M|d(x,a)<r\}$ , denotado usualmente como $B(a,r)$ , o como $B_{r}(a)$ .
Llámase bola zarrada centrada en $a$ y de radio $r$ , al subconxuntu de $M\!$ : $\{x\in M|d(x,a)\leq r\}$ , denotado usualmente como $B_{c}(a,r)$ o como ${\overline {B}}(a,r)$ o tamién como ${\overline {B}}_{r}(a)$ .
En analís funcional la terminoloxía puede llevar un pocu a tracamundiu, pos a la bola abierta de radiu $r\,\!$ y centru $a\,\!$ soler denotar por $O(a,r)\,\!$ o por $O_{r}(a)\,\!$ , mientres -y equí vien el posible tracamundiu- a la bola zarrada de centru $a\,\!$ y radio $r\,\!$ se la denota por $B(a,r)\,\!$ o por $B_{r}(a)\,\!$ .
Dellos autores utilicen la espresión discu en llugar de bola, asina ye que puede falase en términos de discu abiertu y discu zarráu. En particular, esta terminoloxía utilizar en Variable Complexa, y cuando se considera la distancia euclídea sobre'l conxuntu $\mathbb {R} ^{2}$ .
Llámase esfera centrada en $a$ y de radio $r$ , al subconxuntu de $M\!$ : $\{x\in M|d(x,a)=r\}\!$ , denotado usualmente como $S(a,r)$ , o como $S_{r}(a)$ .

Topoloxía d'un espaciu métricu

La distancia $d$ del espaciu métricu induz en $M$ una topoloxía, y per tantu l'espaciu ye, de la mesma, un espaciu topolóxicu al tomar como subconxuntos abiertos pa la topoloxía a tolos subconxuntos $O$ que cumplen

(\forall o\in O)(\exists \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+}|B(o,\varepsilon )\subset O)

.

Esto ye a tolos subconxuntos $O$ pa los cualos cualquier puntu en $O$ ye'l centru de dalguna bola de radiu positivu totalmente incluyida en $O$ , o lo que ye lo mesmo: O nun tien puntos na frontera; nun tien frontera.

Dicha topoloxía denominar topoloxía inducida por $d$ en $M$ .

Podemos entós interpretar intuitivamente qu'un conxuntu abiertu ye entós una parte que tien un ciertu "espesura" alredor de cada unu de los sos puntos.

Un subespacio métricu $(Y,d)\,$ d'un espaciu métricu $(M,d)\,$ ye subespacio topolóxicu del espaciu topolóxicu $(M,T)\,$ , onde $T\,$ ye la topoloxía en $M\,$ inducida por $d$ . Esto ye, $Y\,$ herieda de $M\,$ la topoloxía inducida por $d$ .

Una redolada $V$ d'un puntu $a$ d'un espaciu métricu $M$ nun ye más qu'un subconxuntu $V\subset M$ de forma qu'esista un $r>0$ tal que la bola abierta $B(a,r)\subset V$ . El conxuntu $\{B(a,r):a\in M,r\in \mathbb {R} ,r>0\}$ ye base de la topoloxía inducida por $d$ , y tamién ye base de redolaes de dicha topoloxía. Como $\mathbb {Q}$ ye trupu en $\mathbb {R}$ , resulta entós que $\{B(a,r):a\in M,r>0,r\in \mathbb {Q} \}$ tamién ye base de redolaes de la topoloxía inducida por $d$ . Arriendes d'ello, tou espaciu métricu cumple'l Primer Axoma de Numerabilidad.

Tou espaciu métricu ye espaciu de Hausdorff. Amás, al igual qu'asocede n'espacios pseudométricos, pa los espacios métricos son equivalentes les siguientes propiedaes: ser espaciu de Lindelöf, cumplir el Primer Axoma de Numerabilidad y ser xebrable.

Sistemes axomáticos alternativos

La propiedá 1 ( $d(x,y)\geq 0$ ) siguir de la 4 y la 5. Dellos autores usen la recta real estendida y almiten que la distancia tome'l valor $\infty$ . Cualquier métrica tal pue ser reescalada a una métrica finita (usando $d'(x,y)=d(x,y)/(1+d(x,y))$ o $d''(x,y)=\min(1,d(x,y))$ ) y los dos conceutos d'espaciu métricu son equivalentes no qu'a topoloxía refierse. Una métrica ye llamada ultramétrica si satisfai la siguiente versión, más fuerte, de la desigualdá triangular:

\forall x,y,z\in M,d(x,z)\leq {\mbox{max}}(d(x,y),d(y,z))

.

Si esaníciase la propiedá 3, llógrase un espaciu pseudométrico. Sacando, sicasí, la propiedá 4, llógrase un espaciu quasimétrico. Sicasí, perdiéndose simetría nesti casu, camúdase, usualmente, la propiedá 3 tal que dambes $d(x,y)=0$ y $d(y,x)=0$ son necesaries por que $x$ y $y$ identifíquense. Toles combinaciones de lo anterior son posibles y referíes poles sos nomenclatures respeutives (por casu como quasi-pseudo-ultramétrico).

Exemplos

Sía X un conxuntu cualesquier non vacíu y definamos d

d(x,y)={\begin{cases}0&{\mbox{si }}x=y\\1&{\mbox{si }}x\neq y\end{cases}}

Entós d ye una métrica en X, llamada métrica discreta y (X,d) ye espaciu métricu; (X, d) llámase espaciu discretu; ver Analís real de Haaser y Sullivan.

Los númberos reales cola función alloña d(x, y) = |y - x| dada pol valor absolutu, y más xeneralmente n-espaciu euclídeo cola distancia euclidiana, son espacios métricos completos. El sistema de los númberos complexos C ye un espaciu métricu . C como espaciu métricu ye igual a RxR.
Más xeneralmente entá, cualesquier espaciu vectorial normado ye un espaciu métricu definiendo d(x, y) = ||y - x||. Si tal espaciu ye completu, llamar espaciu de Banach.
Si X ye un conxuntu y M ye un espaciu métricu, entós el conxuntu de toles funciones acutaes f : X -> M (i.e. aquelles funciones que la so imaxe ye un subconxuntu acutáu de M) pue ser convertíu nun espaciu métricu definiendo d(f, g) = sup_{x en X} d(f(x), g(x)) pa cualesquier funciones acutaes f y g. Si M ye completu, entós esti espaciu ye completu tamién.
Si X ye un espaciu topolóxicu y M ye un espaciu métricu, entós el conxuntu de toles funciones continues acutaes de X a M forma un espaciu métricu si definimos la métrica como antes: d(f, g) = sup_{x en X} d(f(x), g(x)) pa cualesquier funciones continues acutaes f y g. Si M ye completu, entós esti espaciu ye completu tamién.

Si M ye un espaciu métricu, podemos convertir al conxuntu K(M) de tolos subconxuntos compactos de M nun espaciu métricu definiendo distancia de Hausdorff d(X, Y) = inf{r: pa cada x en X esiste un y en Y con d(x, y) < r y pa cada y en Y esiste un x en X con d(x, y) < r). Nesta métrica, dos elementos tán cerca unu d'otru si cada elementu d'un conxuntu ta cerca d'un ciertu elementu del otru conxuntu. Puede demostrase que K(M) ye completu si M ye completu.

Un analís lóxicu

El conceutu métricu fundamental ye'l de función curtia, los morfismos de la categoría métrica (los isomorfismos, i.e. aplicaciones bi-curties, son les isometríes), pero la so espresión avezada usa l'orde y la suma nos reales positivos depués,
1) Ye obviu que : | x - |x - y | | = y ye lo mesmo que x = 0 o y ≤ x, depués alloña nos reales positivos da orde débil ellí, orde fuerte (y ≤ x ssi ... ) ye difícil, pero posible, si acepta una solución de |x - y | = y i.e. y = x / 2.
2) | d(y, z) - |d(y, z) - d´(f(y), f(z)) | | = d´(f(y), f(z)) espresa que f ye una función curtia, ensin nenguna referencia a un orde nos reales positivos.
3) La siguiente equivalencia de la desigualdá triangular

| d(x, y) - d(x, z) | ≤ d(y, z)

espresa (ensin nenguna referencia a una operación nos reales positivos, |x - y| ye la distancia ellí) el fechu que d(x, -) ye función curtia (depués uniforme, depués continua). d: x - > d(x,-) ye una isometría.

Axuntando dambes : | d(y, z) - |d(y, z) - | d(x, y) - d(x, z) | | | = | d(x, y) - d(x, z) | espresa desigualdá triangular direutamente.
un leve cambéu : | d(y, z) - |d(z, y) - | d(x, y) - d(x, z) | | | = | d(x, y) - d(x, z) | espresa desigualdá triangular y simetría (faer z = x y usar | x - d(y, y)| = x).

Espacios metrizables

Un espaciu topolóxicu $(X,T)$ dizse que ye metrizable cuando esiste una distancia $d$ que la so topoloxía inducida seya precisamente la topoloxía $T$ .

Un problema fundamental en Topoloxía ye determinar si un espaciu topolóxicu dadu ye o non metrizable. Esisten diverses resultaos al respeutu.

Teorema de metrización de Urysohn

Tou espaciu topolóxicu regular que cumpla'l segundu axoma de numerabilidad ye metrizable.

Teorema de metrización de Nagata-Smirnov (condición abonda)

Tou espaciu regular con una base numerable llocalmente finita ye metrizable.

Teorema de metrización de Nagata-Smirnov (condición necesaria)

Tou espaciu metrizable tien una base numerable llocalmente finita.

Teorema de metrización de Stone

Tou espaciu metrizable ye paracompacto.

Teorema de metrización de Smirnov

Un espaciu topolóxicu ye metrizable si y solu si ye paracompacto y llocalmente metrizable.

Teorema de metrización d'espacios dafechu xebrables

Un espaciu topolóxicu dafechu xebrable ye metrizable si y solu si ye regular.

Ver tamién

Referencies

Athanase Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature, European Mathematical Society, 2004, SBN 978-3-03719-010-4

Espacios Métricos (Wikilibro) [1]