Testovi konvergencije
Dio serije članaka o |
Infinitezimalnom računu |
---|
U matematici, testovi konvergencije su metode testiranja konvergencije, uslovne konvergencije, apsolutne konvergencije, radijusa konvergencije ili divergencije beskonačnih redova.
Spisak testova
[uredi | uredi izvor]- D'Alambertov test. Pretpostavimo da za sve n, . Pretpostavimo da postoji takav da je
- .
Ako je q < 1, tada red konvergira. Ako je q > 1, tada red divergira. Ako je q = 1, test je neodlučan, te red može ili konvergirati ili divergirati.
- Cauchyjev korjeni test ili Test n-tog korjena. Definišimo q na slijedeći način:
gdje "lim sup" označavathe limes superior (moguće ∞; ako limes postoji u istoj vrijednosti).
Ako je q < 1, tada red konvergira. Ako je q > 1, tada red divergira. Ako je q = 1, test je neodlučan, te red može ili konvergirati ili divergirati.
- Cauchyjev integralni test konvergencije. Red se može uporediti sa integralom kako bi se odredila konvergencija ili divergencija. Neka bude pozitivna, monotono opadajuća i neprekidna funkcija. Ako je
tada red konvergira. Ako ako integral divergira, kada red, također, divergira.
- Test poređenja. Ako je , i ako limes postoji i različit je od nule, tada red konvergira ako i samo ako konvergira.
- Za neke posebne vrste redova postoje specijalizirani testovi konvergencije, na primjer za Fourierove redove postoji Dinijev test.
Uporedba
[uredi | uredi izvor]Cauchyjev korjeni test je jači od D'Alambertovog testa (jači je pošto je potreban uslov slabiji): kada god D'Alambertov test odredi konvergenciju ili divergenciju beskonačnog reda, Cauchyjev korjeni test odredi isto, ali obrnuto ne vrijedi.[1]
Na primjer, za red
- 1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 + ...
konvergencija slijedi iz Cauchyjevog korjenog testa, ali ne i iz D'Alambertovog testa.
Primjeri
[uredi | uredi izvor]Razmotrimo red
.
Cauchyjev test kondenzacije kaže da je red (*) konačnno konvergentan ako je red
konačno konvergentan. Pošto je
(**) geometrijski red količnikom narednog i prethodnog člana od . (**) je konačno konvergentan ako je količnik manji od jedan. Zbog toga, (*) je konačno konvergentan ako i samo ako je .
Testovi: Kada ih koristit i primjeri
[uredi | uredi izvor]http://www.math.cornell.edu/~alozano/calculus/testconvergence.pdf
Također pogledajte
[uredi | uredi izvor]Reference
[uredi | uredi izvor]- ^ [https://web.archive.org/web/20081122085851/http://web01.shu.edu/projects/reals/numser/t_ratio.html Arhivirano 22. 11. 2008. na Wayback Machine D'Alambertov test