Els octonions són l'extensió no associativa dels quaternions. Van ser descoberts per John Thomas Graves el 1843, i independentment per Arthur Cayley, qui ho va publicar per primera vegada el 1845. Són anomenats, de vegades, nombres de Cayley.
Els octonions formen una àlgebra 8-dimensional sobre els nombres reals i poden ser compresos com un octet ordenat de nombres reals. Cada octonions forma una combinació lineal de la base: 1, i 1 , i 2 , i 3 , i 4 , i 5 , i 6 , i 7 .
La forma de multiplicar octonions està donada en la taula següent:
·
1
i 1
i 2
i 3
i 4
i 5
i 6
i 7
1
1
i 1
i 2
i 3
i 4
i 5
i 6
i 7
i 1
i 1
-1
i 4
i 7
-i 2
i 6
-i 5
-i 3
i 2
i 2
-i 4
-1
i 5
i 1
-i 3
i 7
-i 6
i 3
i 3
-i 7
-i 5
-1
i 6
i 2
-i 4
i 1
i 4
i 4
i 2
-i 1
-i 6
-1
i 7
i 3
-i 5
i 5
i 5
-i 6
i 3
-i 2
-i 7
-1
i 1
i 4
i 6
i 6
i 5
-i 7
i 4
-i 3
-i 1
-1
i 2
i 7
i 7
i 3
i 6
-i 1
i 5
-i 4
-i 2
-1
Aquest producte no és commutatiu ni associatiu. A causa d'aquesta no associativitat, els octonions, a diferència dels quaternions, no admeten una representació matricial.