Polinomi irreductible

En teoria d'anells, un polinomi no constant (i per tant no nul) $p$ amb coeficients en un domini íntegre $R$ (és a dir, $p\in R[x]$) és irreductible si no pot factoritzar-se com producte de polinomis de manera que tots ells tinguen graus menor que $deg(p)$. En altres paraules, si $p=r\cdot q$ llavors ha de ser $r\in R$ o $q\in R$ (és a dir, algun d'ells ha de ser un polinomi constant).

Això és un cas particular d'element irreductible en un domini íntegre.

El domini íntegre R pot, entre altres, ser el conjunt $\mathbb {R}$ dels nombres reals (que és domini íntegre per ésser cos), el conjunt $\mathbb {C}$ dels nombres complexos (també cos), el conjunt $\mathbb {Q}$ dels nombres racionals (cos també) o el conjunt $\mathbb {Z}$ dels nombres enters (que no és cos però si domini íntegre).

Exemples

Els cinc polinomis següents demostren algunes característiques elementals dels polinomis reduïbles i irreduïbles:

$p_{1}(x)=x^{2}+4x+4\,=(x+2)(x+2)$,

$p_{2}(x)=x^{2}-4\,=(x-2)(x+2)$,

$p_{3}(x)=x^{2}-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)$,

$p_{4}(x)=x^{2}-2\,=(x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}})$,

$p_{5}(x)=x^{2}+1\,=(x-i)(x+i)$.

Sobre l'anell $\mathbb {Z}$ de nombres enters, els primers dos polinomis són reductibles, però els tres últims són irreductibles (el tercer no té coeficients del nombre sencer).

Sobre el cos $\mathbb {Q}$ de nombres racionals, els primers tres polinomis són reductibles, però els altres dos són irreductibles.

Sobre el cos $\mathbb {R}$ de nombres reals, els primers quatre polinomis són reductibles, però el cinquè segueix sent irreductible.

Sobre el cos $\mathbb {C}$ de nombres complexos, els cinc polinomis són reductibles.

De fet en $\mathbb {C}$, cada polinomi no-constant se pot descompondre en factors lineals

$p(z)=a_{n}(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n})$

on $a_{n}$ és el coeficient principal del polinomi i $z_{1},\ldots ,z_{n}$ són els zeros de $p(x)$. Per tant, tots els polinomis irreductibles són de grau 1. En el cas del cos $\mathbb {R}$, tampoc poden ser reductibles aquells polinomis de grau 2 amb discriminant negatiu, ja que a pesar de ser factoritzat per polinomis de menor grau que aquest, i major o igual a 0, no tenen els seus coeficients dins del cos dels reals. Aquest és el teorema fonamental de l'àlgebra.

Un polinomi irreductible és polinomi primitiu si i només si $x^{{p^{m-1}} \over {ri}}\not \equiv 1{\bmod {f}}(x)$

p és primer

i x és un element d'ordre $p^{m}\in \mathbb {Z} _{p}[x]/f(x)$

Per a provar si un polinomi és irreductible es poden aplicar diversos criteris, entre els quals es troben el criteri d'Eisenstein o el criteri de reducció.

Vegeu també

• Factorització dels polinomis