Achillovo číslo

Achillovo číslo je mocné číslo, které je sice mocné ale není perfektní mocninou. Kladné celé číslo n je mocné číslo jestliže platí že pokud prvočíslo p dělí n, pak p² také dělí n. Všechna Achillova čísla jsou mocná. Na druhou stranu ne všechna mocná čísla jsou také čísla Achillova, pouze ta, která nejsou reprezentována jako m^k, kde m a k jsou kladná celá čísla větší než 1.

Achillova čísla jsou pojmenována po hrdinovi Achillovi jenž byl hrdinou Trojské války. Jsou tedy „silná“ (anglicky power – síla i mocnina), ale nedokonalá.

Posloupnost Achillových čísel

Číslo n = p₁^a₁p₂^a₂…p_k^a_k je mocné číslo jestliže min(a₁, a₂, …, a_k) ≥ 2. Pokud navíc nsd(a₁, a₂, …, a_k) = 1 pak se jedná o Achillovo číslo.

Počátek sekvence Achillových čísel:

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1 125, 1 152, 1 323, 1 352, 1 372, 1 568, 1 800, 1 944, 2 000, 2 312, 2 592, 2 700, 2 888, 3 087, 3 200, 3 267, 3 456, 3 528, 3 872, 3 888, 4 000, 4 232, 4 500, 4 563, 4 608, 5 000.

Nejmenší dvojice po sobě jdoucích Achillových čísel je:

5 425 069 447 = 7³ × 41² × 97²

5 425 069 448 = 2³ × 26 041²

Příklady

• 108 je mocné číslo. Jeho prvočíselný rozklad je 2² · 3³, tedy jeho prvočinitelé jsou 2 a 3. Oba 2² = 4 a 3³ = 27 jsou dělitelé čísla 108. Nicméně, 108 nemůže být zapsáno pomocí výrazu m^k, kde m a k jsou kladná celá čísla větší než 1, takže 108 je Achillovo číslo.

• 784 sice je mocné číslo, protože jeho všichni prvočinitelé 2 a 7 jsou v prvočíselném rozkladu více než jednou (ve vyšší než první mocnině); avšak dá se také vyjádřit jako jediná perfektní mocnina m^k: 784 = 2⁴ · 7² = (2²)² · 7² = (2² · 7)² = 28², takže nejde o číslo Achillovo.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Achilles number na anglické Wikipedii.