Koeficient špičatosti

Koeficient špičatosti (excesu) je charakteristika rozdělení náhodné veličiny, která porovnává dané rozdělení s normálním rozdělením pravděpodobnosti.

Koeficient špičatosti se obvykle označuje $\gamma _{2}$.

Definice

Koeficient špičatosti je definován vztahem

$\gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}={\frac {\operatorname {E} [X-\operatorname {E} (X)]^{4}}{\left(\operatorname {var} \,X\right)^{2}}}$,

kde $\mu _{4}$ je čtvrtý centrální moment, $\sigma$ je směrodatná odchylka, $\operatorname {E} (X)$ označuje střední hodnotu a $\operatorname {var} \,X$ je rozptyl.

Vlastnosti

Normální rozdělení má špičatost tři. Kladná špičatost značí, že většina hodnot náhodné veličiny leží blízko její střední hodnoty a hlavní vliv na rozptyl mají málo pravděpodobné odlehlé hodnoty. Křivka hustoty je špičatější, nežli u normálního rozdělení. Záporná špičatost značí, že rozdělení je rovnoměrnější a jeho křivka hustoty je plošší nežli u normálního rozdělení.

Špičatost rozdělení nezávisí na lineární transformaci náhodné veličiny, je tedy např. stejná pro všechna normální rozdělení.

Výběrový koeficient špičatosti

Výběrový koeficient špičatosti je definován vzorcem

$g_{2}={\frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}=n{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{4}}{\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)^{2}}}$,

kde ${\overline {x}}$ je výběrový průměr, $m_{2}$ je výběrový rozptyl a $m_{4}$ je čtvrtý výběrový centrální moment.

Tento odhad je vychýlený. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:

${\begin{aligned}G_{2}={\frac {M_{4}}{M_{2}^{2}}}&={\frac {(n-1)}{(n-2)(n-3)}}\left((n+1)g_{2}+6\right)\\b_{2}={\frac {m_{4}}{M_{2}^{2}}}&=\left({\frac {n-1}{n}}\right)^{2}g_{2}-3\end{aligned}}$

Pro rozptyly těchto odhadů platí $\operatorname {var} \,b_{2}<\operatorname {var} \,g_{2}<\operatorname {var} \,G_{2}$.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Koeficient špičatosti na Wikimedia Commons

Autoritní data	GND: 4487751-1

Portály: Matematika