Komutativita

Komutativita je v matematice, zejména v algebře, vlastnost binární operace spočívající v tom, že u ní nezávisí na pořadí jejích operandů.

Definice

Budeme-li uvažovat grupoid $S$, potom binární operace $\cdot$ definovaná na $S$ se nazývá komutativní, jestliže platí

$x\cdot y=y\cdot x$

pro všechna $x,y\in S$. Zároveň jestliže pro $x,y\in S$ platí $x\cdot y=y\cdot x$, potom říkáme, že tyto dva prvky spolu komutují.

Je-li tato operace nad $S$ zároveň asociativní, tj. $S$ tvoří pologrupu, potom tuto operaci většinou nazýváme násobením, které značíme $xy$. Ve speciálním případě, kdy $S$ vzhledem k této operaci tvoří komutativní grupu, tuto operaci nazýváme sčítáním.

Příklady komutativity

Nejznámější příklady komutativní binární operace jsou sčítání (značíme $+$) a násobení (značíme $\cdot$) přirozených čísel.

$2+3=3+2$ (v obou případech je výsledek 5)

$7\cdot 3=3\cdot 7$ (v obou případech je výsledek 21)

Další ukázky komutativních binárních operací jsou například: sčítání a násobení komplexních čísel, průnik a sjednocení množin v potenční množině ${\mathcal {P}}(X)$, operace maximum a minimum na uspořádaných množinách.

Mezi binární operace, které nejsou komutativní, patří například odčítání, dělení, umocňování, tj. $a^{b}$, nebo vektorové násobení, které je antikomutativní, tj. liší se pouze o znaménko.

Důležitým příkladem nekomutativního násobení je násobení matic nad prostorem komplexních čtvercových matic $M^{n}(\mathbb {C} )$. Jako jednoduchý protipříklad se nabízí

${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$.

Tato vlastnost matic (a obecněji lineárních operátorů) je důležitá v kvantové fyzice, ve které jsou např. poloha a hybnost částice popsané nekomutujícími operátory a nelze je proto určit zároveň s libovolnou přesností (viz princip neurčitosti). Měření těchto veličin je nekomutativní, což znamená, že záleží na tom, zda měříme první polohu či hybnost.

S pojmem komutativity úzce souvisí tzv. komutátor, který definujeme nad libovolným okruhem $R$ ve tvaru

$[x,y]=xy-yx$.

Z definice komutátoru je zřejmé, že dva prvky spolu komutují, jestliže je jejich komutátor nulový, tudíž lze hrubě říci, že komutátor v určitém smyslu "měří" míru nekomutativity.

Komutátor je zajímavý především z toho důvodu, že libovolná asociativní algebra vzhledem ke komutátoru tvoří Lieovu algebru, přičemž každou Lieovu algebru $L$ lze vnořit do nějaké asociativní algebry, s čímž souvisí univerzální obalová algebra $U(L)$.

Odkazy

Související články

• Algebraická struktura
• Aritmetika
• Asociativita
• Distributivita
• Komutátor

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu komutativita na Wikimedia Commons
• Komutativita v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Portály: Matematika