Odmocnina

Graf kvadratické funkce (červeně) a k ní inverzní funkce druhá odmocnina (modře)

Odmocňování v matematice je částečně inverzní operací k umocňování, odmocnina je výsledkem této operace. Částečně proto, že definiční obory těchto dvou operací nejsou obecně vždy shodné. Je-li definováno umocňování nějakých matematických objektů (čísel, matic, funkcí…), pak n-tá odmocnina z objektu a, označovaná jako ${\sqrt[{n}]{a}}$, je definována jako objekt b, pro který platí $b^{n}=a$. Číslo n se přitom nazývá odmocnitel a číslo a odmocněnec. Speciálním případem je druhá odmocnina, která se často označuje jen jako odmocnina a značí ${\sqrt {a}}.$

Odmocnina nemusí vždy v daném číselném oboru existovat (neexistují např. druhé odmocniny záporných čísel v oboru reálných čísel), anebo může naopak existovat více různých odmocnin.

Odmocnina z reálného čísla

V oboru reálných čísel je n-tá odmocnina z reálného čísla definována následovně:

Pro libovolné n ∈ ℕ, n ≠ 0 definujeme n-tou odmocninu z nezáporného reálného čísla a jako nezáporné reálné číslo b, pro které platí $b^{n}=a$. Z definice přímo plyne, že existuje-li takové číslo b, je jednoznačně dáno a odmocnina je tudíž funkcí. Značíme $b={\sqrt[{n}]{a}}$.

Pro n = 2 definice druhé odmocniny z reálného čísla zní takto:

Druhá odmocnina z nezáporného reálného čísla a je nezáporné reálné číslo b, pro které platí, že $b\cdot b=a$. Značíme $b={\sqrt {a}}$.

Přestože platí například $2\cdot 2=4$ a současně také $(-2)\cdot (-2)=4$, druhá odmocnina z čísla 4 je podle definice vždy nezáporné číslo, proto ${\sqrt {4}}=2$.

Je nutné rozlišovat mezi hodnotou odmocniny a kořeny řešení rovnice, například $x^{2}-4=0$. V oboru reálných čísel má tato rovnice dvě různá řešení, dva různé kořeny: $x_{1}=2$ a $x_{2}=-2$.

Pro obecné reálné číslo r ∈ ℝ, r ≠ 0 můžeme r-tou odmocninu pro a>0 definovat pomocí exponenciální funkce vztahem ${\sqrt[{r}]{a}}=e^{{\frac {1}{r}}\ln(a)}$.

Odmocnina z nezáporného čísla

Pokud a, b jsou nezáporná čísla, tedy včetně nuly, m, n jsou přirozená čísla a k je číslo celé, pak pro n odmocninu platí tyto vzorce:

${\sqrt[{n}]{0}}=0$

${\sqrt[{n}]{1}}=1$

${\sqrt[{1}]{a}}=a$

${\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\qquad a\geq 0,b\geq 0$

${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\qquad a\geq 0,b>0$

${\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\sqrt[{mn}]{a}}$

$({\sqrt[{m}]{a}}){\sqrt[{n}]{a}}={\sqrt[{mn}]{a^{(m+n)}}}$

${\sqrt[{n}]{a^{k}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{k}=\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{k}=a^{\frac {k}{n}}\qquad a>0$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} a}}{\sqrt[{n}]{a}}={\frac {1}{n}}a^{\frac {1-n}{n}}$

$\int {\sqrt[{n}]{a}}\;\mathrm {d} a={\frac {n}{1+n}}a^{\frac {1+n}{n}}+C$

Odmocnina ze záporného čísla

Pokud a je nezáporné číslo, m je přirozené číslo nebo nula a n je ve tvaru $n=2m+1$ (tedy je to liché číslo), pak platí:

${\sqrt[{n}]{-a}}=-{\sqrt[{n}]{a}}$

Početní operace s mocninami a odmocninami reálného čísla

N odmocninu z nezáporného čísla a můžeme upravit na mocninu tohoto čísla takto:

${\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}$

Pak lze s těmito mocninami počítat stejně, jako s mocninou $a^{n}$. A platí tyto vztahy:

$a^{m}a^{n}=a^{m+n}\,$

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}\qquad b>0$

$(a^{m})^{n}=a^{mn}\,$

Příklady použití:

${\sqrt[{3}]{a^{5}}}{\sqrt[{5}]{a^{4}}}=a^{\frac {5}{3}}a^{\frac {4}{5}}=a^{\frac {25+12}{15}}=a^{\frac {37}{15}}$

${\frac {\sqrt {a}}{\sqrt[{4}]{a}}}=a^{\frac {1}{2}}a^{\frac {-1}{4}}=a^{\frac {2-1}{4}}=a^{\frac {1}{4}}$

Odmocnina z komplexního čísla

Komplexním číslům chybí lineární uspořádání, které u reálných čísel využíváme k zvolení pouze nezáporného kořenu odpovídající rovnice. Odmocnina pro komplexní čísla tedy není jednoznačně určena, respektive není funkcí, pokud nezafixujeme dodatečný parametr $k\in \mathbb {Z}$.

Pro výpočet n-té odmocniny je vhodné vyjádřit odmocňované komplexní číslo z v goniometrickém tvaru jako $z=|z|\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)$, případně v exponenciálním tvaru jako $z=|z|e^{i\phi }$.

Potom hledaná odmocnina je

${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{|z|}}e^{i(\phi +2k\pi )/n}={\sqrt[{n}]{|z|}}\left(\cos {\frac {\phi +2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {\phi +2k\pi }{n}}\right)$,

kde k je libovolné celé číslo.

Různých n-tých odmocnin z libovolného nenulového čísla je v komplexním oboru právě n. Druhé odmocniny z komplexních čísel jejichž reálná část je kladná a imaginární část je nulová, jsou v komplexním oboru vždy dvě komplexní čísla jejichž reálné části jsou opačná reálná čísla a imaginární části jsou nulové. Druhé odmocniny z komplexních čísel se zápornou reálnou částí a imaginární částí nulovou jsou vždy dvě ryze imaginární čísla, jež se liší znaménkem, např. komplexní druhé odmocniny čísla -1 jsou imaginární jednotka i a číslo -i.

Symbol pro odmocninu

Vysvětlení původu znaku pro odmocninu (${\sqrt {\,\,}}$) je do značné míry spekulativní. Někteří historici matematiky se domnívají, že symbol poprvé použili Arabové. První známé použití je totiž u Abú al-Hasan Alí ibn Muhammad al-Qalasádího (1421–1486) a domněnkou je, že byl tento znak převzat z arabského písmene ج, což je první písmeno ve slově džidhr, které v arabštině znamená kořen (např. kořen řešení kvadratické rovnice)

Ale mnozí, včetně matematika Leonharda Eulera, se domnívají, že znak pochází z písmene r, prvního písmene latinského slova radix, které také znamená kořen.

Symbol byl poprvé použit v tisku (bez horní vodorovné čáry nad odmocňovanými čísly) v roce 1525 v díle Die Coss od německého matematika Christoffera Rudolffa.

Související články

• Druhá odmocnina
• Mocnina
• Babylónská metoda - iterační algoritmus pro výpočet odmocniny

Externí odkazy

• Slovníkové heslo odmocnina ve Wikislovníku

Autoritní data	GND: 4258245-3