Separace proměnných

Separace proměnných (Fourierova metoda) je postup při řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic v matematice založený na převedení nezávislé proměnné na jednu stranu a závislé proměnné na druhou stranu rovnice a následné integraci obou stran rovnice.

Separaci proměnných nelze provést u všech diferenciálních rovnic. Rovnice, u kterých separaci proměnných provést lze, bývají označovány jako separabilní (separovatelné).

Obyčejná diferenciální rovnice

Předpokládejme, že diferenciální rovnici lze zapsat ve tvaru

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)=g(x)h(f(x))$

pro $y=f(x)$ můžeme psát:

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=g(x)h(y).$

Pokud h(y) ≠ 0, můžeme rovnici upravit:

${\mathrm {d} y \over h(y)}={g(x)\mathrm {d} x},$

takže na každé straně rovnice je jenom jedna z proměnných x a y. S dx (a dy) můžeme pracovat jako s jinými prvky ve výrazu, aniž by nás zajímala formální definice dx jako diferenciálu.

Alternativní zápis

Místo Leibnizovy notace můžeme použít zápis

${\frac {1}{h(y)}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=g(x),$

ze kterého ale není zcela zjevné, proč se tato metoda nazývá „separace proměnných“. Integrováním obou stran rovnice podle $x$ dostáváme:

$\int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\,\mathrm {d} x=\int g(x)\,\mathrm {d} x,\qquad \qquad (1)$

nebo ekvivalentně,

$\int {\frac {1}{h(y)}}\,\mathrm {d} y=\int g(x)\,\mathrm {d} x$

díky substitučnímu pravidlu pro integrály.

Pro vyřešení rovnice stačí spočítat oba integrály. Tento postup nám umožňuje efektivně považovat derivace ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$ za zlomky, které mohou být rozděleny. To umožňuje postupovat při řešení separabilních diferenciálních rovnic podobně jako při úpravě aritmetických výrazů:

Poznámka: Při integraci rovnice (1) není třeba používat dvě integrační konstanty jako v

$\int {\frac {1}{h(y)}}\,\mathrm {d} y+C_{1}=\int g(x)\,\mathrm {d} x+C_{2},$

stačí zavést jedinou konstantu, která je jejich rozdílem: $C=C_{2}-C_{1}$.

Příklad (I)

Obyčejnou diferenciální rovnici

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)=f(x)(1-f(x))$

můžeme zapsat jako

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=y(1-y).$

Pokud položíme $g(x)=1$ a $h(y)=y(1-y)$, můžeme tuto rovnici zapsat ve tvaru rovnice (1) výše. Tato diferenciální rovnice je tedy separabilní.

Jak je ukázáno výše, můžeme považovat $\mathrm {d} y$ a $\mathrm {d} x$ za zvláštní hodnoty, takže obě strany rovnice můžeme znásobit $\mathrm {d} x$. Vydělením obou stran výrazem $y(1-y)$ dostáváme

${\frac {\mathrm {d} y}{y(1-y)}}=\mathrm {d} x.$

Tím jsou proměnné x a y separované, protože x je na pravé straně rovnice a y pouze na levé.

Integrováním obou stran dostaneme

$\int {\frac {\mathrm {d} y}{y(1-y)}}=\int \mathrm {d} x,$

což pomocí rozkladu na parciální zlomky převedeme na

$\int {\frac {1}{y}}\,\mathrm {d} y+\int {\frac {1}{1-y}}\,\mathrm {d} y=\int 1\,\mathrm {d} x,$

a pak

$\ln |y|-\ln |1-y|=x+C$

kde C je integrační konstanta. Trocha algebra dává řešení pro y:

$y={\frac {1}{1+Be^{-x}}}.$

Naše řešení můžeme zkontrolovat zderivováním nalezené funkce podle proměnné x, kde B je libovolná konstanta. Výsledek se musí shodovat s původním problémem. (Při řešení rovnice uvedené výše musíme být opatrní při práci s absolutními hodnotami. Ukazuje se, že různá znaménka absolutní hodnoty přispívají postupně ke kladným a záporným hodnotám B. Případ B = 0 pochází z y = 1, jak je diskutováno níže.)

Nezapomeňte, že protože jsme dělili $y$ a $(1-y)$, musíme zkontrolovat, zda řešení $y(x)=0$ a $y(x)=1$ není také řešením (singulárním) diferenciální rovnice (v tomto případě obě tyto funkce řešením jsou).

Příklad (II)

Populační růst je často znázorněn diferenciální rovnicí

${\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right),$

kde $P$ je populace jako funkce času $t$, $k$ je rychlost růstu a $K$ je nosná kapacita prostředí.

Pro řešení této diferenciální rovnice lze použít separaci proměnných.

${\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)$

$\int {\frac {\mathrm {d} P}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int k\,\mathrm {d} t$

Pro výpočet integrálu na levé straně zlomek zjednodušíme

${\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}={\frac {K}{P\left(K-P\right)}}$

a pak jej rozložíme na částečné zlomky

${\frac {K}{P\left(K-P\right)}}={\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}$

Čímž dostaneme

$\int \left({\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}\right)\,\mathrm {d} P=\int k\,\mathrm {d} t$

$\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}=kt+C$

$\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}=-kt-C$

$\ln {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=-kt-C$

${\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-kt-C}$

${\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-C}e^{-kt}$

${\frac {K-P}{P}}=\pm e^{-C}e^{-kt}$

Nechť $A=\pm e^{-C}$.

${\frac {K-P}{P}}=Ae^{-kt}$

${\frac {K}{P}}-1=Ae^{-kt}$

${\frac {K}{P}}=1+Ae^{-kt}$

${\frac {P}{K}}={\frac {1}{1+Ae^{-kt}}}$

$P={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}$

Proto řešení logistické rovnice je

$P\left(t\right)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}$

Pro nalezení $A$, položíme $t=0$ a $P\left(0\right)=P_{0}$. Pak máme

$P_{0}={\frac {K}{1+Ae^{0}}}$

Vzhledem k tomu, že $e^{0}=1$, dostaneme řešení pro A

$A={\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}$

Parciální diferenciální rovnice

Metoda separace proměnných se používá také pro řešení množství lineárních parciálních diferenciálních rovnic s okrajovou a počáteční podmínkou, jako například rovnice vedení tepla, vlnová rovnice, Laplaceova rovnice a Helmholtzova rovnice.

Homogenní případ

Uvažujme jednorozměrnou rovnici vedení tepla:

${\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0$

(1)

Hraniční podmínka je homogenní, to jest

$u{\big |}_{x=0}=u{\big |}_{x=L}=0$

(2)

Pokusíme se hledat řešení které není identicky rovné nule, a které splňuje okrajovou podmínku ale s následující vlastností: u je součin, ve kterém je závislost u na x a t oddělena, to jest:

$u(x,t)=X(x)T(t).$

(3)

Substitucí u zpátky do rovnice a použitím součinového pravidla dostaneme

${\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}.$

(4)

Protože pravá strana závisí pouze na x a levá strana pouze na t, obě strany jsou rovné nějaké konstantní hodnotě − λ. Tedy:

$T'(t)=-\lambda \alpha T(t),$

(5)

a

$X''(x)=-\lambda X(x).$

(6)

− λ zde je vlastní hodnota pro oba diferenciální operátory a T(t) a X(x) jsou odpovídající vlastní funkce.

Nyní ukážeme, že řešení pro X(x) pro hodnoty λ ≤ 0 nemůže existovat:

Předpokládejme, že λ < 0. Pak existují reálná čísla B, C taková, že

$X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}.$

Z 2 dostaneme

$X(0)=0=X(L),$

(7)

a proto B = 0 = C, což implikuje, že u je identicky rovno 0.

Předpokládejme, že λ = 0. Pak existují reálná čísla B, C taková, že

$X(x)=Bx+C.$

Z 7 odvodíme stejným způsobem jako v 1, že u je identicky rovno 0.

Proto musí existovat případ, kdy λ > 0. Pak existují reálná čísla A, B, C taková, že

$T(t)=E^{-\lambda \alpha t},$

a

$X(x)=B\sin({\sqrt {\lambda }}\,x)+C\cos({\sqrt {\lambda }}\,x).$

Z 7 dostaneme C = 0 a, které pro nějaké kladné celé číslo n,

${\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}.$

Toto je řešení rovnice šíření tepla ve speciálním případě, kdy závislost u má speciální tvar 3.

Obecně suma řešení 1 které vyhovují hraniční podmínce 2 také vyhovuje 1 a 3. Tudíž úplné řešení může být daný jako

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}\exp \left(-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}\right),$

kde D_n jsou koeficienty určené počáteční podmínkou.

Je-li dána počáteční podmínka

$u{\big |}_{t=0}=f(x),$

můžeme dostat

$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}.$

Toto je sinová řada rozvoje funkce f(x). Znásobením obou stran $\sin {\frac {n\pi x}{L}}$ a integrováním na [0,L] dává

$D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,\mathrm {d} x.$

Tato metoda vyžaduje, aby vlastní funkce x, zde $\left\{\sin {\frac {n\pi x}{L}}\right\}_{n=1}^{\infty }$, byly ortogonální a úplné. To je obecně zaručeno Sturm-Liouvilleovou teorií.

Nehomogenní případ

Předpokládejme, že rovnice je nehomogenní

${\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=h(x,t)$

(8)

s okrajovou podmínkou stejnou jako 2.

Rozšíříme h(x,t), u(x,t) a f(x,t) na

$h(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }h_{n}(t)\sin {\frac {n\pi x}{L}},$

(9)

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}(t)\sin {\frac {n\pi x}{L}},$

(10)

$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}},$

(11)

kde h_n(t) a b_n můžeme vypočítat integrací, zatímco u_n(t) je třeba určit.

Substitujeme 9 a 10 zpátky na 8 a uvažováním ortogonality funkce sinus dostaneme

$u'_{n}(t)+\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}u_{n}(t)=h_{n}(t),$

což jsou posloupnosti lineárních diferenciálních rovnic, které lze ihned řešit, například Laplaceovou transformací nebo Integrační faktor. Navíc můžeme dostat

$u_{n}(t)=e^{-\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}t}\left(b_{n}+\int _{0}^{t}h_{n}(s)e^{\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}s}\,\mathrm {d} s\right).$

Jestliže je okrajová podmínka nehomogenní, pak expansion 9 a 10 není povolený. Hledáme funkci v, která vyhovuje okrajové podmínce pouze a subtract na z u. Funkce u-v pak vyhovuje homogenní okrajové podmínce a lze ji řešt výše uvedenou metodou.

Separaci proměnných lze provádět i v ortogonální křivočaré souřadnicové soustavě, ale v detailech se liší od postupu v Kartézských souřadnicích. Například podmínka regularity nebo periodicity podmínka může určovat vlastní hodnoty místo okrajových podmínek. Viz např. sférické harmonické funkce.

Software

Xcas: split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]

Matice

Maticový tvar separace proměnných je Kroneckerova suma.

Jako příklad uvažujme 2D diskrétní Laplacián na regulární mřížce:

$L=\mathbf {D_{xx}} \oplus \mathbf {D_{yy}} =\mathbf {D_{xx}} \otimes \mathbf {I} +\mathbf {I} \otimes \mathbf {D_{yy}} ,\,$

kde $\mathbf {D_{xx}}$ a $\mathbf {D_{yy}}$ jsou 1D diskrétní Laplaciány ve směru x, resp. y a $\mathbf {I}$ jsou identity vhodné velikosti. Podrobnější informace jsou v článku Kroneckerova suma diskrétních Laplaciánů.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Separation of variables na anglické Wikipedii.

• POLYANIN, D. Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 2002. Dostupné online. ISBN 1-58488-299-9. 
• Tyn Myint-U, Lokenath Debnath. Linear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers. Boston, MA: [s.n.], 2007. Dostupné online. ISBN 978-0-8176-4393-5. ^{[nedostupný zdroj]}
• TESCHL, Gerald. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Svazek 140. Providence, RI: American Mathematical Society, 2012. (Graduate Studies in Mathematics). Dostupné online. ISBN 978-0-8218-8328-0. ^{[nedostupný zdroj]}

Související články

• Proměnná
• Diferenciální rovnice

Podrobnější informace o separaci proměnných:

• Obyčejné diferenciální rovnice
• Parciální diferenciální rovnice

Externí odkazy

• SOLDATOV, A. P. Fourier method [online]. Příprava vydání Hazewinkel, Michiel. Springer, 2001. (Encyclopedia of Mathematics). Dostupné online. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• RENZE, John; WEISSTEIN, Eric W. Separation of variables (Differential Equation) [online]. Wolfram Research. (MathWorld). Dostupné online. 
• Methods of Generalized and Functional Separation of Variables at EqWorld: The World of Mathematical Equations
• Examples of separating variables to solve PDEs
• "A Short Justification of Separation of Variables"

Portály: Matematika