Teorie invariantů

Teorie invariantů je podobor abstraktní algebry, který se zabývá akcemi grup na algebraické varietě z pohledu jejich efektu na funkce. Klasicky se teorie zabývá otázkou explicitního popisu polynomiálních funkcí, které se nemění, nebo jsou "invariantní" při transformacích z dané lineární grupy.

Teorie invariantů konečných grup úzce souvisí s Galoisovou teorii. Jeden z prvních důležitých výsledků byla hlavní věta o symetrických funkcích, která popisovala invarianty symetrické grupy S_n působící na okruh polynomů R[x₁, …, x_n] permutacemi proměnných. Obecněji, Chevalley–Shephard–Toddův teorém charakterizuje konečné grupy, jejichž algebra invariantů je okruh polynomů. Moderní výzkum v teorii invariantů konečných grup zdůrazňuje "efektivní" výsledky, jako například explicitní odhady stupňů generátorů. Případ pozitivní charakteristiky, ideologicky blízký modulární reprezentační teorii, je oblast intenzivního studia s odkazy na algebraickou topologii.

Teorie invariantů konečných grup je pevně spojena s rozvojem lineární algebry, specificky s teoriemi kvadratických forem a determinantů. Další subjekt se silným vzájemným vlivem byla projektivní geometrie, kde teorie invariantů měla mít hlavní roli v organizaci materiálu. Jeden z hlavních prvků tohoto vztahu je symbolická metoda. Reprezentační teorie poloprosté Lieovy grupy má své kořeny v teorii invariantů.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Invariant theory na anglické Wikipedii.