Quelltext der Seite 72er-Regel

[[Datei:Rule of 72 qtl1.svg|mini|hochkant=1.6|Exakte Verdopplungszeiten einer Kapitalanlage (gestrichelte Linien) und Näherungen mit der 72er-Regel (kurze Striche mit Zahlen) für verschiedene Zinssätze]]
Die '''72er-Regel''' ist eine [[Faustformel]] aus der [[Zinsrechnung]]. Die Regel gibt näherungsweise die Zeit an, in der sich ein zu [[Zinseszins]]en angelegtes Kapital verdoppelt ([[Verdopplungszeit]]). Dazu teilt man 72 durch den [[Zinssatz#Zinssatz und Zinsfuß|Zinsfuß]], zu dem das Kapitals angelegt wird, daher der Name der Regel.

Die 72er-Regel kann nicht nur auf die Zinsrechnung, sondern auf jede Art [[Exponentielles Wachstum|exponentiellen Wachstums]] angewendet werden. Varianten der 72er-Regel sind die '''70er-Regel''' und die '''69er-Regel'''.

== Formel ==
Für die Zeit <math>t</math> (in Jahren), in der sich ein zum (jährlichen) [[Zinssatz#Zinssatz und Zinsfuß|Zinssatz]] <math>p\, \%</math> (bzw. zum [[Zinssatz#Zinssatz und Zinsfuß|Zinsfuß]] <math>p</math>) angelegtes Kapital verdoppelt, gilt nach der 72er-Regel die Näherung

: <math>t \approx \frac{72}{p}</math>.
Man kann denselben Zusammenhang nutzen, um den Zinsfuß <math>p</math> abzuschätzen, bei dem sich ein Kapital in vorgegebener Zeit <math>t</math> verdoppelt:

: <math>p \approx \frac{72}{t}</math>.

=== Beispiel ===
Ein Kapital, das zu 8 % pro Jahr angelegt ist, verdoppelt sich gemäß der 72er-Regel etwa alle
: <math>t \approx  \frac{72}{8} ~\text{Jahre} = 9 ~\text{Jahre}</math>.
Ein Kapital verdoppelt sich in einem Zeitraum von <math>t=12</math> Jahren bei einem Zinsfuß von etwa

: <math>p \approx  \frac{72 ~\text{Jahre}}{12 ~\text{Jahre}} = 6</math>.

=== Herleitung ===
Nach der [[Zinseszins]]formel gilt für das Endkapital <math>K_t</math> einer festverzinslichen Anlage mit Anfangskapital <math>K_0</math> bei einem Zinssatz von <math>i</math> nach einer Laufzeit von <math>t</math> Jahren bei jährlicher Verzinsung

: <math>K_t = K_0 \left(1 + \frac{p}{100}\right)^t</math>.

Setzt man nun <math>K_t=2K_0</math>, wendet den [[Logarithmus]] auf beiden Seiten der Gleichung an und löst nach <math>t</math> auf, ergibt sich die Anzahl der Jahre bis zur Verdopplung als

: <math>t = \frac{\ln(2)}{\ln\left(1 + \frac{p}{100}\right)}</math>.

Für kleine <math>x>0</math> gilt in guter Näherung <math>\ln(1 + x) \approx x</math> (siehe [[Taylor-Reihe]]). Damit und mit <math>\ln(2) = 0{,}6931\ldots</math>  erhält man die Näherungsformel

:<math>t \approx \frac{0{,}6931\ldots}{\frac{p}{100}} = \frac{69{,}31 \ldots}{p}</math>.

Nähert man schließlich noch <math>\ln(2) = 0{,}6931\ldots</math>  durch <math>0{,}72</math>, so erhält man die 72er-Regel.

Die Näherung durch <math>0{,}72</math> hat sich in der Praxis bewährt, unter anderem weil die Zahl <math>72</math> viele kleine Teiler aufweist <math>(72 = 2^3 \cdot 3^2)</math>.<ref>{{Literatur |Autor=R. L. Finney, G. B. Thomas |Titel=Calculus |Verlag=Addison-Wesley |Datum=1990 |Seiten=360}}</ref>

== Varianten ==
Nähert man hingegen <math>\ln(2)</math> durch <math>0{,}69</math> oder <math>0{,}70</math>, so erhält man die Näherungsformeln

:<math>t \approx \frac{69}{p} \quad \text{bzw.} \quad t \approx \frac{70}{p} </math>,

die in der Literatur ''69er-Regel''<ref>{{Literatur |Autor=Pamela Peterson Drake, Frank J. Fabozzi |Titel=Foundations and Applications of the Time Value of Money |Verlag=John Wiley & Sons |Datum=2009 |Seiten=89}}</ref> bzw. ''70er-Regel''<ref>{{Literatur |Autor=M. C. Lovell |Titel=Economics With Calculus |Verlag=World Scientific |Datum=2004 |Seiten=361}}</ref> genannt werden. Für die 69er-Regel findet sich in der Literatur auch eine Modifikation der Form

: <math>t \approx \frac{69}{p} + 0{,}35</math>,

die durch [[Approximation|numerische Approximation]] gefunden wurde.<ref>{{Literatur |Autor=J. P. Gould, R. L. Weil |Titel=The Rule of 69 |Sammelwerk=Journal of Business |Band=39 |Datum=1974 |Seiten=397–398}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Richard P. Brief |Titel=A note on “rediscovery” and the rule of 69 |Sammelwerk=The Accounting Review |Band=52 |Nummer=4 |Datum=1977 |Seiten=810–812}}</ref> Die Logarithmusfunktion kann damit im Bereich <math>0 < p < 35</math> mit maximal 0,5-prozentiger Abweichung genähert werden. Wird 0,32 als Wert des Absolutglieds verwendet, betragen die Abweichungen im Bereich <math>0 < p < 100</math> maximal ein Prozent gegenüber den exakten Verdopplungszeiten.

Für die Herleitung mittels [[Reihenentwicklung]] wird die [[Laurent-Reihe|Laurentreihe]] benötigt (a<sub>-1</sub>/x +  a<sub>0</sub> + a<sub>1</sub> x + a<sub>2</sub> x<sup>2</sup> …), speziell die ersten beiden Terme dieser Reihe (n = 2).

Es ergibt sich somit:

: <math>t \approx \frac{\ln(2)}{\frac{p}{100}} + \frac{\ln(2)}{2}</math>  mit Zahlenwerten

: <math>t \approx \frac{69{,}3147}{p} + 0,346574</math> bzw. gerundet
: <math>t \approx \frac{69}{p} + 0,35</math>.

== Genauigkeit ==
{{Manueller Rahmen|content={{Graph:Chart
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  |y1 = 1.038, 0.990, 0.947, 0.908, 0.874, 0.842, 0.814, 0.787, 0.763, 0.741, 0.720
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  |interpolate = monotone
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  }}
  |caption=Relative Genauigkeiten der 72er-Regel sowie ihrer Varianten.|width=560|align=right
  }}
Die folgende Tabelle vergleicht die Abschätzungen gemäß der 72er-, der 70er-, der 69er-Regel und weiteren oben aufgeführten Näherungen mit den tatsächlichen Werten für typische Zinssätze. Eine grafische Darstellung der relativen Genauigkeiten zeigt das Diagramm am rechten Rand.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
! Zinssatz <math>i</math>
! Verdopplungs-<br />zeit <math>t</math>
! 72er-Regel
! 70er-Regel
! 69er-Regel
! Näherung<br />69/p + 0,35
! Näherung<br />69/p + 0,32
|-
| 0,25 %
| 277,605
| 288,000
| 280,000
| 276,000
| 276,350
| 276,320
|-
| 0,5 %
| 138,976
| 144,000
| 140,000
| 138,000
| 138,350
| 138,320
|-
| 1 %
| 69,661
| 72,000
| 70,000
| 69,000
| 69,350
| 69,320
|-
| 2 %
| 35,003
| 36,000
| 35,000
| 34,500
| 34,850
| 34,820
|-
| 3 %
| 23,450
| 24,000
| 23,333
| 23,000
| 23,350
| 23,320
|-
| 4 %
| 17,673
| 18,000
| 17,500
| 17,250
| 17,600
| 17,570
|-
| 5 %
| 14,207
| 14,400
| 14,000
| 13,800
| 14,150
| 14,120
|-
| 6 %
| 11,896
| 12,000
| 11,667
| 11,500
| 11,850
| 11,820
|-
| 7 %
| 10,245
| 10,286
| 10,000
| 9,857
| 10,207
| 10,177
|-
| 8 %
| 9,006
| 9,000
| 8,750
| 8,625
| 8,975
| 8,945
|-
| 9 %
| 8,043
| 8,000
| 7,778
| 7,667
| 8,017
| 7,987
|-
| 10 %
| 7,273
| 7,200
| 7,000
| 6,900
| 7,250
| 7,220
|-
| 11 %
| 6,642
| 6,545
| 6,364
| 6,273
| 6,623
| 6,593
|-
| 12 %
| 6,116
| 6,000
| 5,833
| 5,750
| 6,100
| 6,070
|-
| 15 %
| 4,959
| 4,800
| 4,667
| 4,600
| 4,950
| 4,920
|-
| 18 %
| 4,188
| 4,000
| 3,889
| 3,833
| 4,183
| 4,153
|-
| 20 %
| 3,802
| 3,600
| 3,500
| 3,450
| 3,800
| 3,770
|-
| 25 %
| 3,106
| 2,880
| 2,800
| 2,760
| 3,110
| 3,080
|-
| 30 %
| 2,642
| 2,400
| 2,333
| 2,300
| 2,650
| 2,620
|-
| 40 %
| 2,060
| 1,800
| 1,750
| 1,725
| 2,075
| 2,045
|-
| 50 %
| 1,710
| 1,440
| 1,400
| 1,380
| 1,730
| 1,700
|}

== Geschichte ==
Eine frühe Erwähnung der 72er-Regel findet sich in [[Luca Pacioli]]s ''Summa de arithmetica'' (Venedig 1494, S. 181). Darin stellt er die Regel im Rahmen einer Diskussion über die Schätzung der Verdopplungszeit einer Investition vor, leitet sie aber nicht her und erklärt sie auch nicht. Dies legt die Vermutung nahe, dass die Regel schon vor Pacioli bekannt war.

== Siehe auch ==
* [[Zinsrechnung]]

== Literatur ==
* John J. Spitzer, Sandeep Singh: ''The rule of 72?''. Financial Counseling and Planning 10 [1] (1999).

== Weblinks ==
* {{MathWorld|id=Ruleof72|title=Rule of 72}}
* [http://www.moneychimp.com/features/rule72.htm Rule of 72.] Online-Rechner von moneychimp.com (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Zinsgeschäft]]
[[Kategorie:Finanzmathematik]]