Gruppenerweiterung

In der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Gruppenerweiterungen eine Möglichkeit, Gruppen durch einen Normalteiler und die sich ergebende Faktorgruppe zu beschreiben.

Für Gruppen $G$ und $N$ ist eine Gruppenerweiterung von $G$ durch $N$ eine Gruppe $E$ mit einem surjektiven Gruppenhomomorphismus $\phi \colon E\to G$ und Kern isomorph zu $N$. Mit anderen Worten, es gibt eine exakte Sequenz

$1\to N\to E\to G\to 1$.

Notwendigerweise ist dann $N$ ein Normalteiler und $G$ isomorph zur Faktorgruppe $E/N$.

Ein Morphismus zwischen zwei Erweiterungen $\phi \colon E\to G,\phi ^{\prime }\colon E^{\prime }\to G$ derselben Gruppe $G$ ist ein Gruppenhomomorphismus $\psi \colon E\to E^{\prime }$ mit $\phi ^{\prime }\psi =\phi$.

Als triviale Erweiterung durch $H$ bezeichnet man die Projektion $G\times H\to G$. Als zentrale Erweiterung bezeichnet man Erweiterungen, bei denen $N$ zum Zentrum von $G$ gehört. Insbesondere muss $N$ dann eine abelsche Gruppe sein.

Eine spezielle Klasse von Gruppenerweiterungen sind semidirekte Produkte $G\ltimes H$. Eine Erweiterung $\phi \colon E\to G$ ist genau dann ein semidirektes Produkt, wenn es einen Homomorphismus $s\colon G\to E$ mit $\phi \circ s=id_{G}$ gibt. Auch für eine abelsche Gruppe $H$ ist ein semidirektes Produkt $G\ltimes H$ nur dann eine zentrale Erweiterung, wenn der das semidirektes Produkt definierende Homomorphismus $G\to Aut(H)$ trivial ist, es sich also um das direkte Produkt $G\times H$ handelt.