Kovarianzoperator

Der Kovarianzoperator bezeichnet in der Stochastik einen linearen Operator, der den Begriff der Kovarianz auf unendlich-dimensionale Räume erweitert. Der Begriff wird in der Theorie der stochastischen partiellen Differentialgleichungen und der stochastischen Analysis auf Banach- und Hilberträumen verwendet.

Definition

Der Kovarianzoperator lässt sich auf lokalkonvexen Räumen definieren, wir beschränken uns aber auf separable Banach-Räume, da in der Regel ein Banach- bzw. Hilbert-Raum betrachtet wird.

Auf einem Banach-Raum $B$ über $\mathbb {R}$ lässt sich ein Wahrscheinlichkeitsmaß $\gamma$ für jedes lineare Funktional $f$ durch das Bildmaß $f^{*}\gamma$ definieren.

Sei $(U,\|\cdot \|_{U},{\mathcal {B}}(U),\mu )$ ein separabler Banach-Raum mit borelscher σ-Algebra und Wahrscheinlichkeitsmaß $\mu$ darauf.

Kovarianzoperator

Der Kovarianzoperator $\operatorname {C} _{\mu }:U^{*}\to U^{**}$ von $\mu$ ist definiert durch

$\operatorname {C} _{\mu }(\varphi )(\xi ):=\int _{U}[\varphi (x)-a_{\mu }(\varphi )][\xi (x)-a_{\mu }(\xi )]\mu (\mathrm {d} x)$

für $\varphi ,\xi \in U^{*}$ wobei $a_{\mu }$ den Erwartungswert von $\mu$ bezeichnet

$a_{\mu }(\varphi )=\int _{U}\varphi (x)\mu (\mathrm {d} x).$

Der Operator induziert eine symmetrische Abbildung $\operatorname {Cov} _{\mu }:U^{*}\times U^{*}\to \mathbb {R}$ durch $\operatorname {Cov} _{\mu }(\varphi ,\xi ):=\operatorname {C} _{\mu }(\varphi )(\xi )$, welche bilinear und positiv definit ist, genannt Kovarianz.

Erläuterungen

• Seien $a_{\mu }$ und $\varphi$ beschränkt. Wenn $U$ ein Hilbert-Raum ist, dann gilt nach dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz für $\varphi \in U^{*}$, dass $\varphi (x)=\langle h,x\rangle$ für alle $x\in U$ und ein $h\in U$ sowie $a_{\mu }=\langle h,m\rangle$ für ein $m\in U$, somit

$\langle \operatorname {C} _{\mu }h_{1},h_{2}\rangle =\int _{U}\langle h_{1},x-m\rangle \langle h_{2},x-m\rangle \mu (\mathrm {d} x)$

für alle $h_{1},h_{2}\in U$.

• Der Kovarianzoperator ist ein reproduzierbarer Operator und induziert einen Cameron-Martin-Raum.

Beispiele

Der endliche Fall Rⁿ

Sei $U=\mathbb {R} ^{n}$ und $U^{**}=U=\mathbb {R} ^{n}$. Dann ist $\operatorname {Cov} _{\mu }$ die Kovarianzmatrix.

Gaußsches Maß

Sei $\mu$ ein gaußsches Maß auf einem separablen Banach-Raum $(U,{\mathcal {B}}(U))$, dann ist seine Fourier-Transformierte

${\hat {\mu }}(f)=\int _{U}e^{if(x)}\mu (\mathrm {d} x)=e^{ia_{\mu }(f)-{\frac {1}{2}}\operatorname {Cov} _{\mu }(f,f)},\quad f\in U$

Literatur

• Vladimir I. Bogachev: Gaussian Measures. Hrsg.: American Mathematical Society. 1998, ISBN 978-1-4704-1869-4. 
• Giuseppe Da Prato, Jerzy Zabczyk: Stochastic Equations in Infinite Dimensions. Hrsg.: Cambridge University Press. 2014, doi:10.1017/CBO9781107295513. 
• N. N. Vakhania, V. I. Tarieladze, S. A. Chobanyan Vakhania: Probability Distributions on Banach Spaces. In: Springer Dordrecht (Hrsg.): Mathematics and its Applications. Band 14, 1987, S. 144–183, doi:10.1007/978-94-009-3873-1.