In der zweiten Hälfte der 1960er und der ersten Hälfte der 1970er Jahre galt Davidson als einer der weltbesten Doppel- und Mixed-Spieler. Zusammen mit seinen Spielpartnern gelang es ihm, zehn Turniere im Doppel zu gewinnen. Zwei von ihnen waren in den Jahren 1972 und 1973 die Titel bei den wichtigen Grand-Slam-Wettbewerben der Australian Championships (die heutigen Australian Open) und U.S. Championships (die heutigen US Open). Zusätzlich erreichte Davidson vier Grand-Slam-Finalspiele, die allerdings verloren wurden. Insgesamt stehen seinen zehn Doppelsiegen 13 sieglose Finalteilnahmen gegenüber.
Wesentlich erfolgreicher gestaltete sich seine Karriere im Mixed. Insgesamt erlangte er bei zwölf Grand-Slam-Finalteilnahmen innerhalb von neun Jahren elf Titel. 1967 – Davidson war als einer der wenigen Spieler neben Lew Hoad und Luis Ayala unabhängig, während die meisten anderen vertragliche Bindungen hatten – schaffte er das seltene Kunststück eines Grand Slam, indem er in jenem Jahr alle vier entsprechen Turniere gewann. Dies gelang ihm allerdings nicht durchgehend mit der gleichen Partnerin. Bei den Australian Championships zu Jahresbeginn spielte er noch an der Seite von Lesley Turner, während ihn bei den restlichen drei Grand-Slam-Turnieren des Jahres sowie auch den fünf siegreichen Auftritten bei Grand-Slam-Turnieren in den folgenden Jahren stets Billie Jean King begleitete.
Auch in der Einzelkonkurrenz war Davidson aktiv. Hier weist er zwar eine negative Karrierebilanz auf, doch in der Pre-Open-Ära, also den Jahren bis einschließlich 1967, gelang es ihm innerhalb von sechs Jahren acht Viertel- und ein Halbfinale bei Grand-Slam-Turnieren zu erreichen. In Letzteres zog er bei den Wimbledon Championships 1966 ein.
Davidson war bei den Wimbledon Championships mehrere Male offizieller Sprecher der Athleten. Von 1971 bis 1980 leitete er als Direktor die John Newcombe Tennis Ranch im texanischenNew Braunfels. Bemerkenswert bei Davidson ist die Tatsache, dass er bereits während seiner aktiven Spielerlaufbahn als Trainer arbeitete. So betreute er von 1967 bis 1970 das britische Team im Davis Cup. Ab 1974 spielte Davidson in der US-amerikanischen Liga World TeamTennis. Dort trat er 1974 zusammen mit Bob Hewitt für die Minnesota Buckskins an. Anschließend wechselte er zu den Hawaii Leis und hatte dort 1975 John Newcombe und 1976 Ken Rosewall sowie Ilie Năstase als Spielpartner. Er avancierte schnell zum Publikumsliebling[2] in dieser Liga. Insbesondere die Partien mit seinem guten Freund Newcombe[2] erfreuten sich großer Popularität und die Zuschauer bejubelten den großen Kameradschaftsgeist der beiden Landsleute und amüsierten sich über ihre jeweils abgepasst übereinstimmenden Schnurrbärte. 1982 wurde Davidson in der World TeamTennis Trainer der Houston Astro-Knots und kehrte vier Jahre darauf als Spieler und Trainer der Boston Bays kurzzeitig zurück.
Seinen endgültigen Rücktritt vom aktiven Profisport erklärte er 1991. Im Juli 2009 verpflichtete ihn der Giammalva Racquet Club in der texanischen Kleinstadt Spring in der Nähe von Houston als einen seiner Übungsleiter. Wenige Monate später, im September, erfolgte die Nominierung Davidsons für die Aufnahme in die International Tennis Hall of Fame. Zuteil wurde ihm diese Ehre im folgenden Jahr.