Simple koneksa spaco

En topologio, geometria objekto aŭ spaco estas nomata kiel simple koneksa (aŭ 1-koneksa) se ĝi estas vojkoneksa kaj ĉiu vojo inter du punktoj povas esti kontinue konvertita en ĉiun la alian. Neformale, objekto estas simple koneksa se ĝi konsistas de unu peco kaj ne havi iujn ajn truojn, tra kiuj ne eblas pasigi la vojojn. Ekzemple, nek benjeto nek kafa taso (kun anso) estas simple koneksa, sed globo estas simple koneksa. En du dimensioj, cirklo estas ne simple koneksa, sed disko kaj linio estas. Spaco kiu estas koneksa sed ne simple koneksa estas nomata kiel nesimple koneksa aŭ multe koneksa.

Sfero estas simple koneksa ĉar ĉiu ciklo povas esti malpligrandigita (sur la surfaco) al punkto.

Rimarku ke la difino nur malebligas eksteraj anso-formitajn truoj. Sfero estas simple koneksa, ĉar iu ciklo sur la surfaco de sfero povas iĝi punkton, eĉ kvankam ĝi havas truon en la centro. La pli forta kondiĉo, ke la objekto ne havas ne truoj de ĉiu dimensio, estas nomata kiel punktigebleco.

Formala difino kaj ekvivalentoj

Topologia spaco X estas nomita simple koneksa se ĝi estas vojkoneksa kaj ĉiu kontinua mapo f : S¹ → X (kie S¹ estas la unuobla cirklo en eŭklida 2-spaco) povas esti igita en punkton en jeno senso: tie ekzistas kontinua mapo F : D² → X (kie D² estas la unuobla disko en eŭklida 2-spaco) tia ke F en S¹ estas f.

Ekvivalenta formulaĵo estas ĉi tiu: X estas simple koneksa se kaj nur se ĝi estas vojkoneksa, kaj por ĉiu p : [0,1] → X kaj q : [0,1] → X estas du vojoj (do, kontinuaj mapoj) kun la sama starta kaj fina punktoj (p(0) = q(0) kaj p(1) = q(1)), do p kaj q estas homotopaj relative de {0,1}. Intuicie, ĉi tio signifas ke p povas esti "kontinue reformita" al q sen ŝanĝo de finaj punktoj dum la reformado.

La tria vojo por esprimi la samon estas jena: X estas simple koneksa se kaj nur se X estas vojkoneksa kaj la fundamenta grupo de X estas bagatela, do konsistas nur el la identa ero.

Ankoraŭ alia formulaĵo estas ofte uzita en kompleksa analitiko: malfermita subaro X de C estas simple koneksa se kaj nur se ambaŭ X kaj ĝia komplemento en la Rimana sfero estas koneksaj.

Ekzemploj

Toro estas ne simple koneksa. Neniu el la kolorigitaj cikloj povas esti kontraktita al punkto sen laso de la surfaco.

• La Eŭklida ebeno R² estas simple koneksa, sed R² minus punkto (0,0) ne estas. Se n > 2 do kaj Rⁿ kaj Rⁿ minus punkto (0, 0, ... ,0) estas simple koneksaj.
• n-dimensia sfero Sⁿ estas simple koneksa se kaj nur se n ≥ 2.
• Toro, (elipsa) cilindro, filmo de Möbius kaj botelo de Klein estas ne simple koneksaj.
• Ĉiu topologia vektora spaco estas simple koneksa; ĉi tio inkluzivas banaĥajn spacojn kaj hilbertajn spacojn.
• La speciala perpendikulara grupo SO(n,R) estas ne simple koneksa por n ≥ 2; la speciala unuargumenta grupo SU(n) estas simple koneksa.
• La longa linio L estas simple koneksa, sed ĝia kompaktigo, la etendita longa linio L* ne estas, ĉar ĝi estas ne vojkoneksa.

Propraĵoj

Surfaco (2-dimensia sternaĵo) estas simple koneksa se kaj nur se ĝi estas koneksa kaj ĝia genro estas 0. Intuicie, la genro estas kvanto de ansoj de la surfaco.

Se spaco X estas ne simple koneksa oni povas ofte konstrui de ĝi simple koneksan spacon per uzado de universala kovro.

Se X kaj Y estas homotopece ekvivalentaj kaj X estas simple koneksa do Y estas simple koneksa.

Notu, ke surĵeto de simple koneksa aro per kontinua funkcio ne nepre estas simple koneksa. La ekzemplo - la kompleksa ebeno sub la eksponenta funkcia surĵeto, la rezulto de la surĵeto estas C - {0}, kiu klare estas ne simple koneksa.

La nocio de simpla konekseco estas grava en kompleksa analitiko pro jenaj faktoj:

• Se U estas simple koneksa malfermita subaro de la kompleksa ebeno C, kaj f : U → C estas holomorfa funkcio, tiam f havas malderivaĵon F sur U, kaj la valoro de ĉiu linia integralo en U kun integralato f dependas nur de la finaj punktoj u kaj v de la vojo, kaj povas esti komputita kiel F(v) - F(u). La integralo tial ne dependas de la aparta vojo konektanta na u kaj v.
• La rimanaj surĵetaj teoremaj donas ke ĉiu ne-malplena malfermita simple koneksa subaro de C (krom C mem) povas esti konforme kaj reciproke mapita al la unuobla disko.

Vidu ankaŭ

• Konjekto de Poincaré koncernas simple koneksajn spacojn