Unita matrico

En matematiko, unita matrico estas n×n kompleksa matrico U kontentiganta kondiĉon

U^*U = UU^* = I_n

kie I_n estas la n×n identa matrico kaj U^* estas la konjugita transpono (ankaŭ nomata kiel la hermita adjunkta) de U.

Ĉi tiu kondiĉo, laŭ difino de inversa matrico, implicas ke matrico U estas unita se kaj nur se ĝi havas inverson kiu estas egala al ĝia konjugita transpono

U⁻¹ = U^*

Unita matrico en kiu ĉiuj elementoj estas reelaj estas orta matrico. Simile al tio kiel orta matrico Q konservas la reelan enan produton de du reelaj vektoroj

<Qx, Qy> = <x, y>

tiel ankaŭ unita matrico U kontentigas

<Ux, Uy> = <x, y>

por ĉiuj kompleksaj vektoroj x kaj y, kie <·, ·> estas la norma ena produto sur C_n.

Se U estas n×n matrico tiam jeno estas ĉiuj ekvivalentaj kondiĉoj:

U estas unita
U^* estas unita
La kolumnoj de U formas ortonormalan bazo de C_n kun respekto al ĉi tiu ena produto
La linioj de U formas ortonormalan bazon de C_n kun respekto al ĉi tiu ena produto
U estas izometrio kun respekto al la normo de ĉi tiu ena produto, kio estas ke multipliko je U konservas longon de ĉiu vektoro x: ||Ux||₂=||x||₂.
U estas normala matrico (kio estas ke U^*U = UU^*) kun ĉiu el la ejgenoj estas de modulo 1 (|λ_i|=1 por i=1...n, kio estas ke ĉiuj ejgeno kuŝas sur unuobla cirklo en kompleksa ebeno).

Ecoj de unitaj matricoj

Ĉiuj unitaj matricoj estas normala, kaj la spektra teoremo pro tio aplikas al ili. Tial ĉiu unita matrico U havas malkomponaĵon de formo

U = VΣV^*

kie V estas unita, kaj Σ estas diagonala kaj unita. Tio estas, unita matrico estas diagonaligebla per unita matrico.

La absoluta valoro de determinanto de ĉiu unita matrico estas 1. Ĉi tio sekvas de propraĵoj de determinanto:

1 = det(I) = det(U^*U) = det(U^*)det(U) = (det(U))^*det(U) = |det(U)|²

Produto de ĉiuj du unitaj matricoj U kaj V de la sama amplekso estas unita matrico. Pro tio ke U⁻¹ kaj V⁻¹ ekzistas, ekzistas ankaŭ UV⁻¹ kaj

(UV)⁻¹ = V⁻¹U⁻¹

kaj

(UV)^* = V^*U^* = V⁻¹U⁻¹

kaj

(UV)⁻¹ = (UV)^*

kaj do UV estas unita.

Ĉiu kvadrata matrico estas la averaĝo de du unitaj matricoj. Sekve de tio, ĉiu kvadrata matrico matrico estas lineara kombinaĵo de du unitaj matricoj.
Por ĉiu n, la aro de ĉiuj n×n unitaj matricoj kun matrica multipliko formas grupon U(n), nomatan la unita grupo.
Se determinanto de unita matrico egalas al 1 ĝi estas nomata kiel speciala unita matrico (analoge al speciala orta matrico). Por ĉiu n, la aro de ĉiuj n×n specialaj unitaj matricoj kun matrica multipliko formas subgrupon SU(n) de la grupo U(n), nomatan kiel la speciala unita grupo (analoge al la speciala perpendikulara grupo de specialaj ortaj matricoj).

Vidu ankaŭ

Eksteraj ligiloj

Todd Rowland, Unita matrico en MathWorld.
Unita matrico en Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, red. Michiel Hazewinkel, ISBN 978-1556080104.