Productorio

El operador productorio o productoria, también conocido como multiplicatoria o simplemente producto (por denotarse como una letra pi mayúscula), es un operador matemático que representa una multiplicación de una cantidad arbitraria (finita o infinita).

$\prod _{k=m}^{n}a_{k}=a_{m}\cdot a_{m+1}\cdot \quad \dots \quad \cdot a_{n}$

Para todos los valores m < n, si m = n tenemos que:

$m=n\;,\quad \prod _{k=m}^{n}a_{k}=\prod _{k=m}^{m}a_{k}=a_{m}$

En el caso de que m sea mayor que n, m > n, se le asigna el valor del elemento neutro de la multiplicación, el uno:

$m>n\;,\quad \prod _{k=m}^{n}a_{k}=1$

Se puede definir por inducción como sigue.

1. Se define

$\prod _{k=1}^{1}a_{k}=a_{1}$

2. Supuesta definida para un n ≥ 1 fijo, se define

$\prod _{k=1}^{n+1}a_{k}=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)a_{n+1}$

Ejemplo

Se puede usar el productorio para definir otras igualdades importantes.

Se puede tomar n=1 y aplicar la segunda igualdad para obtener:

$\prod _{k=1}^{2}a_{k}=\left(\prod _{k=1}^{1}a_{k}\right)(a_{2})=a_{1}a_{2}$.

Definida para n=2, se puede aplicar otra vez la segunda igualdad con n=2 para luego obtener

$\prod _{k=1}^{3}a_{k}=\left(\prod _{k=1}^{2}a_{k}\right)(a_{3})=(a_{1}a_{2})a_{3}$.

Así, usando la propiedad asociativa de la multiplicación, el producto ${\mathit {(a_{1}a_{2})a_{3}}}\,\!$ es el mismo que ${\mathit {a_{1}(a_{2}a_{3})}}\,\!$ y, por lo tanto, podemos prescindir del uso de paréntesis sin peligro de confusión y usar simplemente

${\mathit {a_{1}a_{2}a_{3}}}\,\!$ para $\prod _{k=1}^{3}a_{k}$.

Se puede entonces, usar este razonamiento para cualquier $n\in \mathbb {N}$ sin que haya peligro de confusión.

Luego, se puede aplicar la definición de Multiplicatoria, para definir n! (n factorial) como sigue:

$\prod _{k=1}^{n}k=n!$

Se define 0!=1!=1

Propiedades

Se puede usar el Método de Inducción Matemática para demostrar algunas propiedades. Para ello, nos basaremos en la definición formal por inducción descrita anteriormente.

Propiedad Multiplicativa

$\prod _{k=1}^{n}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{n}b_{k}\right)$

Demostración por Inducción i) Tomemos n=1 y veamos si se cumple la igualdad

$\prod _{k=1}^{1}{({a_{k}}{b_{k}})}=a_{1}b_{1}=\left(\prod _{k=1}^{1}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{1}b_{k}\right)$

y la igualdad es cierta para n=1

ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n+1

$\prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left[\prod _{k=1}^{n}{({a_{k}}{b_{k}})}\right](a_{n+1}b_{n+1})$

$\prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{n}b_{k}\right)a_{n+1}b_{n+1}$

(Definición por inducción)

$\prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left[\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)(a_{n+1})\right]\left[\left(\prod _{k=1}^{n}b_{k}\right)(b_{n+1})\right]$

(Asociatividad en IR) Luego,

$\prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left(\prod _{k=1}^{n+1}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{n+1}b_{k}\right)$

Propiedad Telescópica

$\prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{n}}{a_{0}}}$ si cada $a_{k}\neq 0$

Demostración por Inducción

i) Analicemos para n=1

$\prod _{k=1}^{1}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{1}}{a_{0}}}$ con $a_{0}\neq 0$ y la igualdad es cierta para n=1

ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n+1

$\prod _{k=1}^{n+1}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}=(\prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}})({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}})$ (Definición por inducción)

Luego,

$\prod _{k=1}^{n+1}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{n}}{a_{0}}}{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ que es lo que queríamos demostrar.

Nótese que nuestra exigencia era que para cada ${\mathit {k}}\,\!$, $a_{k}\neq 0$. En particular, para ${\mathit {k=n}}\,\!$, $a_{k}=a_{n}\neq 0$. Luego la simplificación es posible y

$\prod _{k=1}^{n+1}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{n+1}}{a_{0}}}$.

Véase también

• Sumatoria
• Factorial
• Suma
• Multiplicación