Comunicación y redes 1

TRABAJO PRÁCTICO N° 5

Capacidad de los canales. Relación con la tasa

de información.

Grupo: 4
Alumnos: Dylan Bernardi Rodriguez, Lucas Elián
Fernández, Carla Viviana Choque Flores, Rosa Elena
Flores, Florencia Baigorria, Walter German Paz,
Patricio Macció, Jesus Oscar Torres Maldonado,
Elias Steinkamp, Solis Jorge.
Carrera: Licenciatura en informática.
1. Teniendo en cuenta que en un canal telefónico el valor de la relación S/N típico es de 30
dB, FCI=300Hz, FCS=3300 Hz. ¿Cuál es el límite superior de la tasa de transmisión de
datos confiable?

Respuesta:

30db = 10 * Log(s / n)
30db / 10 = Log(s / n)
AntiLog(3) = s/n
1000 = s/n

C = AB * Log₂(1 + s / n) = [bps]
C = (FCI - FCS) * Log₂(1 + 1000) = [bps]
C = 3000hz * Log₂(1001) = [bps]
C = 3000hz * 9,967 = [bps]
C = 29901,67[bps]
C = 29,9 kpbs

2. Calcular la relación señal a ruido (S/N) expresada en dB para los siguientes casos:

a. Δf = 3000 Hz, C = 10.000 bps.

b. Δf = 10 KHz, C = 10.000 bps.
c. Δf = 1 KHz, C = 10 Kbps.

Respuesta:
A)
𝑆 dB = 10 * Log(9,079)
10000 = 3000 * Log₂(1 + 𝑁)

10 𝑆 dB = 10 * 0,958
= Log₂(1 + )
3 𝑁

𝑆 dB = 9,58
210/3 = 1 +
𝑁

𝑆
10,079 - 1 = 𝑁

𝑆
= 9,079
𝑁

B)
𝑆 dB = 10 * Log(1)
10000 = 10000 * Log₂(1 + 𝑁)

𝑆 dB = 10 * 0
1 = Log₂(1 + 𝑁
)

𝑆 dB = 0
21 = 1 + 𝑁
 𝑆
2-1=𝑁

𝑆
=1
𝑁

C)
𝑆 dB = 10 * Log(1023)
10000 = 1000 * Log₂(1 + )
𝑁

𝑆 dB = 10 * 3,01
10 = Log₂(1 + 𝑁
)

𝑆 dB = 30,01
210 = 1 + 𝑁

𝑆
1024 - 1 = 𝑁

𝑆
𝑁
= 1023

Graficar la variación de S/N (expresada en dB) en función del ancho de banda Δf

(expresada en Hz). Extraer conclusiones.

𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑆/𝑁.

¿Cuál es la capacidad máxima de un canal sin ruido?

Respuesta:
La capacidad máxima de un canal sin ruido, que sería un canal ideal, es de 2 veces el
ancho de banda. A partir del teorema de Nyquist, se determina que la capacidad de un
canal sin ruido de ancho de banda finito AB, resulta: C= Vmax = 2 AB, en bit por
segundos(bps).
3. Necesitamos duplicar la capacidad de transporte de información de un canal de
datos cuyo ancho de banda (AB) es de 4KHz y su SNR=20dB. Sabiendo que
utilizaremos el mismo canal, necesitamos saber cuántas veces debemos aumentar la
potencia de señal original para lograrlo. ¿Cuál es la nueva SNR medida en dB?

Respuesta:

20 = 10 * Log(s / n)
20/10 = Log(s / n)
Antilog(2) = s / n
100 = s / n

C = 4khz * Log₂(1 + 100) = bps

C = 4khz * 6,658
C = 26632bps

Duplicamos la capacidad del canal:

C = 26632bps * 2 = 53264bps
2C = 4khz * Log₂(1 + s/n)
53264 / 4000 = Log₂(1 + s/n)
AntiLog₂(13,316) = 1 + s/n
10.198,0097 - 1 = s / n
10197 = s/n

A decibel:
db = 10 * Log(10197)
db = 40,08

4. Demostrar que el límite al cual tiende la capacidad máxima de un canal real cuando
el ancho de banda (Δf) crece ilimitadamente es igual a 1,44 S/α. Considerar que el
límite cuando x tiende a infinito de la expresión (1+x) ^ (1/x) es igual a la base del
logaritmo neperiano (e). (Consultar bibliografía).

Respuesta:

C = △ 𝑓 ∗ 𝐿𝑜𝑔2 (1 + 𝑆𝑁𝑅)
● Donde:
C es la capacidad del canal.
△ 𝑓 es el ancho de banda del canal.
SNR es la relación señal a ruido.

● Considerando: 𝑙𝑖𝑚 𝐶
△𝑓→∞
1
● Utilizamos: 𝑙𝑖𝑚 (1 + 𝑥)1/𝑥 = 𝑒 ⇒ 𝑙𝑖𝑚 (1 + )𝑥 = 𝑒
𝑥→∞ 𝑥→∞ 𝑥

𝑙𝑖𝑚 𝐶 = 𝑙𝑖𝑚 △ 𝑓 ∗ 𝐿𝑜𝑔2 (1 + 𝑆𝑁𝑅)

△𝑓→∞ △𝑓→∞

● Donde 𝐿𝑜𝑔2 (1 + 𝑆𝑁𝑅) es una constante.

● Podemos quitarlo del límite:
𝑙𝑖𝑚 𝐶 = 𝐿𝑜𝑔2 (1 + 𝑆𝑁𝑅) ∗ 𝑙𝑖𝑚 △ 𝑓
△𝑓→∞ △𝑓→∞

● Evaluamos: 𝑙𝑖𝑚 △ 𝑓
△𝑓→∞
1
𝑙𝑖𝑚 (1 + 𝑥)1/𝑥 = 𝑒 ⇒ 𝑙𝑖𝑚 (1 +△ 𝑓)△𝑓 = 𝑒
𝑥→∞ △𝑓→∞

● Volvemos a la expresión original:

𝑙𝑖𝑚 𝐶 = 𝑒 ∗ 𝐿𝑜𝑔2 (1 + 𝑆𝑁𝑅)
△𝑓→∞

● Podemos notar que 𝐿𝑜𝑔2 (1 + 𝑆𝑁𝑅) se puede expresar en términos de S y 𝛼

● Como 𝐿𝑜𝑔2 (1 + 𝑆𝑁𝑅) = 𝐿𝑜𝑔2 (1 + 𝑆/𝛼)
● Entonces:
𝐶 = 𝑒 ∗ 𝐿𝑜𝑔2 (1 + 𝑆/𝛼)
𝐶 = 1.44 𝑆/𝛼)

5. Dado un canal real continuo con ancho de banda Δf y densidad espectral de ruido α
= 0,001 Watts / Hz, por el cual pasa una señal cuya potencia media es igual a 10
watts. Graficar cualitativamente la capacidad máxima en función del ancho de banda.

Respuesta:
a = 0,001 Watts/Hz
s = 10 Watts
Cmax = 1,44 * s / a
Cmax = (1,44*10)/0.001 = 14400bps

6. Tenemos un canal cuyo ancho de banda (AB) es de 4KHz y su SNR=20dB.

Sabiendo que por desperfectos aumenta al doble su potencia de ruido, estimar en
forma porcentual la caída en la capacidad de transporte. ¿Cuál es la nueva SNR
medida en dB?
 20
𝑆𝑁𝑅 = 10 ̂ = 100
10
Si la potencia del ruido se duplica, la nueva SNR será la mitad de la original.
𝑆𝑁𝑅 = 100/2 = 50 db
𝑐1 = 4000 𝐻𝑧 ∗ 𝑙𝑜𝑔2(1+100)=266632 bps
𝑐2 =4000 Hz *log2(1+50)=22689 bps
Calculamos la caída de capacidad
26632 − 22689
∗ 100% = 0.148
26632
de forma porcentual nos queda 14.8% esa es la caída de capacidad de transporte.

7. Necesitamos transmitir datos sobre un canal de comunicación en condiciones

extremadamente desfavorables. Sabemos que en dicho canal la potencia de ruido
duplica a la potencia de señal y que la capacidad transmisión requerida es de 64Kbps.
¿Qué sistema recomendaría? ¿Cuál sería el ancho de banda requerido? ¿Cuál es la
SNR expresada en dB?

64Kbps = AB*log2(1+SNR)
SNR = 0.5
64𝐾𝑏𝑝𝑠
AB = 𝑙𝑜𝑔 2(1+0.5)
= 109.48𝐾𝐻𝑧
SNR = 10 * log10(0.5) = -3dB

El sistema que es recomendable usar en situaciones donde la potencia de ruido

duplica a la potencia de señal es el FKS, es una técnica de modulación digital que es
bastante resistente al ruido y a las interferencias. Además, FSK es más eficiente en
términos de ancho de banda que otras técnicas de modulación digital.

8. Se mide el rendimiento de una línea telefónica (3.1KHz de ancho de banda). Cuando la

señal es 10 voltios, el ruido es de 5 milivoltios. ¿Cuál es la tasa de datos máxima soportada
por esta línea telefónica?

Respuesta:

10𝑣
𝑆𝑁𝑅(𝑑𝐵) = 20 ∗ 𝐿𝑜𝑔( )
0,005𝑣
𝑆𝑁𝑅(𝑑𝐵) = 20 ∗ 𝐿𝑜𝑔(2000)
𝑆𝑁𝑅(𝑑𝐵) = 20 ∗ 3,301
𝑆𝑁𝑅(𝑑𝐵) = 66𝑑𝐵

66 = 10 ∗ 𝐿𝑜𝑔(𝑆𝑁𝑅)
66
= 𝐿𝑜𝑔(𝑆𝑁𝑅)
10
 66
1010 = 𝑆𝑁𝑅
𝑆𝑁𝑅 = 3981071.70 veces

𝐶 = 3100 ∗ 𝐿𝑜𝑔2 (1 + 𝑆𝑁𝑅)

𝐶 = 3100 ∗ 𝐿𝑜𝑔2 (1 + 3981071.70)
𝐶 = 3100 ∗ 𝐿𝑜𝑔2 (3981072.70)
𝐶 = 3100 ∗ 21.92
𝐶 = 67952 𝑏𝑝𝑠

9. Cuál es el SNR necesario para un dispositivo periférico (una impresora por ejemplo) si
se supone una capacidad máxima de un canal de 4 Kbps con un ancho de banda de 500Hz.

Respuesta:
C = AB∗log2 (1+sn)
4000bps = 500hz∗log2 (1 +sn)
4000bps500hz= log2 (1 +sn) ⟹ 28 = sn ⟹ 256 sn veces

10. Una línea telefónica estándar tiene un ancho de banda de 3100Hz. Si se puede
mantener un SNR de 30 dB, ¿Cuál es la capacidad máxima, en bps, del canal?

Respuesta:
Convertir dB S/N a veces:
dB = 10∗log10 (sn veces) ⟹ 30db = 10∗log10 (sn) ⟹ 103 = sn ⟹ 1000veces
C = 3100hz ∗ log2 (1 +sn)
C = 3100hz ∗ log2(1 + 1000veces) ⟹ C = 3100hz ∗ 9.967 ⟹ C = 30898,40bps

11. Cómo varía la capacidad máxima de un canal de comunicaciones con el SNR para
un ancho de banda del canal constante Dar algunos valores.

Respuesta:
C = AB ∗ log2 (1 +sn)
Con un AB=2500Hz constante:
S/N=20 veces
C = 2.500hz ∗ log2(1 + 20) ⟹ C = 2500hz ∗ 3.459 ⟹ C = 10.980,79

S/N=50 veces
C = 2.500hz ∗ log2 (1 + 50) ⟹ C = 2500hz ∗ 6.658 ⟹ C = 14.181,81
12. Suponer que en el espectro de un canal está situado entre los 3 MHz y los 4 MHz y que
la relación señal ruido es de 24 dB. Calcular la capacidad del canal y la cantidad de niveles
de señalización necesaria.

Respuesta:
C = AB ∗ log2 (1 +sn)
Convertir dB S/N a veces:
dB = 10 ∗ log10 (sn) ⟹ 24dB = 10 ∗ log10 (sn) ⟹ 102.4
= sn ⟹ 251.18veces

C = AB ∗ log2 (1 +sn)
C = 1.000.000hz∗ log2(1 + 251.18veces)
C = 7.978.310,05bps ∨ 7.97mbps

Canales:
C = 2AB ∗ log2(N)7.978.310,05 = 2(1.000.000)hz ∗ log2(N) ⟹ 3.989 = log2 N⟹ 23.98 = N ⟹ 15.77
= N ∨ 16Canales